東京大学 工学系研究科 技術経営戦略学専攻 2021年8月実施 セッション 1

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

I.

以下の微分方程式に関する問いに答えよ。

1. とおき，式を の一階線形微分方程式として表せ。
2. 問 I.1 の結果を用いて式の一般解を求めよ。

II.

以下の行列 に関する問いに答えよ。

1. 行列 の全ての固有値と，これらに対応する固有ベクトルを求めよ。
2. 問 II.1 の結果を用いて を求めよ。

III.

以下の問いに答えよ。

1. 次の積分の値を求めよ。 ただし，実変数 と を用いて, と置換してもよい。
2. 問 III.1 で得た結果を用いて，以下の積分の値を求めよ。 ただし， は正の定数とする。

IV.

人がウイルスに感染しているかどうかの検査を考える。当該ウイルスの市中の感染者の割合 について， であると仮定し，市中のある人が当該ウイルスに感染している事前確率は に等しいとする。また，感染者が陽性と判定される確率を ，感染していない人が陽性と誤判定される確率を とする。以下の問いに答えよ。

1. とする。ある人がこの検査で陽性と判定された場合に，実際に当該ウイルスに感染している確率を求めよ。
2. と の間に， の関係が成り立つものとする。このとき， ある人が検査で陽性と判定された場合，実際に当該ウイルスに感染している確率が最大となる を求めよ。

Kai

I.

1.

とおくと、

なので、 に関する微分方程式

を得る。

2.

まず、微分方程式

は、

と一般解が求まる。 そこで、 を の適当な関数として、 () に を代入して整理すると、

と求まるので、 () の一般解は

とわかる。 よって、(1) の一般解は

とわかる。

II.

1.

2.

III.

See 高斯函数、高斯积分和正态分布.

IV.