東京大学 工学系研究科 技術経営戦略学専攻 2021年8月実施 セッション 1 Author Miyake , 祭音Myyura
Description 以下の微分方程式に関する問いに答えよ。
d y d x − x 2 y + e − x 3 y 4 = 0 \frac{dy}{dx} - x^2y + e^{-x^3}y^4 = 0 d x d y − x 2 y + e − x 3 y 4 = 0
u = y − 3 u=y^{-3} u = y − 3 u u u 問 I.1 の結果を用いて式の一般解を求めよ。
II.
以下の行列 A A A
A = ( 1 − 1 − 2 2 4 2 1 1 4 ) A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 1 & 4
\end{pmatrix} A = 1 2 1 − 1 4 1 − 2 2 4
行列 A A A
問 II.1 の結果を用いて A n A^n A n
III.
以下の問いに答えよ。
次の積分の値を求めよ。I 1 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ exp ( − x 2 + y 2 2 ) d x d y I_1 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{x^2+y^2}{2})dxdy I 1 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ exp ( − 2 x 2 + y 2 ) d x d y r r r θ \theta θ x = r cos θ , y = r sin θ ( 0 ≤ r < ∞ , 0 ≤ θ < 2 π ) x = r \cos \theta, y = r\sin \theta \ (0 \leq r < \infty, 0 \leq \theta < 2 \pi) x = r cos θ , y = r sin θ ( 0 ≤ r < ∞ , 0 ≤ θ < 2 π )
問 III.1 で得た結果を用いて，以下の積分の値を求めよ。I 2 = ∫ − ∞ ∞ exp ( − a x 2 ) d x I_2 = \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-ax^2) dx I 2 = ∫ − ∞ ∞ exp ( − a x 2 ) d x a a a
IV.
人がウイルスに感染しているかどうかの検査を考える。当該ウイルスの市中の感染者の割合 x x x x = 0.001 x=0.001 x = 0.001 x x x y y y z z z
y = 0.8 , z = 0.001 y=0.8, z=0.001 y = 0.8 , z = 0.001 y y y z z z z = 0.001 y 2 + 0.0005 ( 0 ≤ y ≤ 1 ) z=0.001y^2 + 0.0005 \ (0 \leq y \leq 1) z = 0.001 y 2 + 0.0005 ( 0 ≤ y ≤ 1 ) y y y
Kai u = y − 3 u=y^{-3} u = y − 3
d u d x = − 3 y − 4 d y d x = − 3 y − 4 ( x 2 y − e − x 3 y 4 ) ( ∵ (1) ) = − 3 x 2 u + 3 e − x 3 \begin{aligned}
\frac{du}{dx}
&= -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}
\\
&= -3 y^{-4} \left( x^2 y - e^{-x^3} y^4 \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ (\because \text{(1)})
\\
&= - 3x^2u + 3e^{-x^3}
\end{aligned} d x d u = − 3 y − 4 d x d y = − 3 y − 4 ( x 2 y − e − x 3 y 4 ) ( ∵ (1) ) = − 3 x 2 u + 3 e − x 3 なので、 u u u
d u d x = − 3 x 2 u + 3 e − x 3 \begin{align}
\frac{du}{dx} &= - 3x^2u + 3e^{-x^3}
\tag{2}
\end{align} d x d u = − 3 x 2 u + 3 e − x 3 ( 2 ) を得る。
まず、微分方程式
d u d x = − 3 x 2 u \begin{aligned}
\frac{du}{dx} &= - 3x^2u
\end{aligned} d x d u = − 3 x 2 u は、
d u u = − 3 x 2 d x ∴ u = A e − x 3 ( A は積分定数 ) \begin{aligned}
\frac{du}{u} &= - 3x^2 dx
\\
\therefore \ \
u &= A e^{-x^3}
\ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $A$ は積分定数 )}
\end{aligned} u d u ∴ u = − 3 x 2 d x = A e − x 3 ( A は積分定数 ) と一般解が求まる。
そこで、 A ( x ) A(x) A ( x ) x x x 2 2 2 u = A ( x ) e − x 3 u=A(x)e^{-x^3} u = A ( x ) e − x 3
d A ( x ) d x = 3 ∴ A ( x ) = 3 x + C ( C は積分定数 ) \begin{aligned}
\frac{dA(x)}{dx} &= 3
\\
\therefore \ \
A(x) &= 3x + C
\ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )}
\end{aligned} d x d A ( x ) ∴ A ( x ) = 3 = 3 x + C ( C は積分定数 ) と求まるので、 (2 2 2
u = ( 3 x + C ) e − x 3 ( C は積分定数 ) \begin{aligned}
u &= (3x + C) e^{-x^3}
\ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )}
\end{aligned} u = ( 3 x + C ) e − x 3 ( C は積分定数 ) とわかる。
よって、(1) の一般解は
y = ( 3 x + C ) − 1 3 e x ( C は積分定数 ) \begin{aligned}
y &= (3x + C)^{- \frac{1}{3}} e^x
\ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )}
\end{aligned} y = ( 3 x + C ) − 3 1 e x ( C は積分定数 ) とわかる。
II.
− λ 3 + 9 λ 2 − 26 λ + 24 = 0 ⇒ λ 1 = 4 , λ 2 = 3 , λ 3 = 2 -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 26\lambda + 24 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 4, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 2 − λ 3 + 9 λ 2 − 26 λ + 24 = 0 ⇒ λ 1 = 4 , λ 2 = 3 , λ 3 = 2 v 1 = ( − 1 , 1 , 1 ) , v 2 = ( − 1 , 0 , 1 ) , v 3 = ( − 1 , 1 , 0 ) v_1 = (-1, 1, 1), v_2 = (-1, 0, 1), v_3 = (-1, 1, 0) v 1 = ( − 1 , 1 , 1 ) , v 2 = ( − 1 , 0 , 1 ) , v 3 = ( − 1 , 1 , 0 ) A n = ( 2 n + 3 n − 4 n 3 n − 4 n 2 n − 4 n 4 n − 2 n 4 n 4 n − 2 n 4 n − 3 n 4 n − 3 n 4 n ) A^n = \begin{pmatrix}
2^n+3^n-4^n & 3^n-4^n & 2^n-4^n \\
4^n-2^n & 4^n & 4^n-2^n \\
4^n-3^n & 4^n-3^n & 4^n
\end{pmatrix} A n = 2 n + 3 n − 4 n 4 n − 2 n 4 n − 3 n 3 n − 4 n 4 n 4 n − 3 n 2 n − 4 n 4 n − 2 n 4 n III.
See 高斯函数、高斯积分和正态分布 .
IV.