東京大学 工学系研究科 技術経営戦略学専攻 2021年8月実施 セッション 1

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• Matrix-Diagonalization
• Matrix-Power
• Gaussian-Integral
• Diagnostic-Test-Positive-Predictive-Value
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Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

I.

以下の微分方程式に関する問いに答えよ。

$$\frac{dy}{dx} - x^2y + e^{-x^3}y^4 = 0$$

1. $u=y^{-3}$ とおき，式を $u$ の一階線形微分方程式として表せ。
2. 問 I.1 の結果を用いて式の一般解を求めよ。

II.

以下の行列 $A$ に関する問いに答えよ。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$

1. 行列 $A$ の全ての固有値と，これらに対応する固有ベクトルを求めよ。
2. 問 II.1 の結果を用いて $A^n$ を求めよ。

III.

以下の問いに答えよ。

1. 次の積分の値を求めよ。$I_1 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{x^2+y^2}{2})dxdy$ ただし，実変数 $r$ と $\theta$ を用いて, $x = r \cos \theta, y = r\sin \theta \ (0 \leq r < \infty, 0 \leq \theta < 2 \pi)$ と置換してもよい。
2. 問 III.1 で得た結果を用いて，以下の積分の値を求めよ。$I_2 = \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-ax^2) dx$ ただし，$a$ は正の定数とする。

IV.

人がウイルスに感染しているかどうかの検査を考える。当該ウイルスの市中の感染者の割合 $x$ について，$x=0.001$ であると仮定し，市中のある人が当該ウイルスに感染している事前確率は $x$ に等しいとする。また，感染者が陽性と判定される確率を $y$，感染していない人が陽性と誤判定される確率を $z$ とする。以下の問いに答えよ。

1. $y=0.8, z=0.001$ とする。ある人がこの検査で陽性と判定された場合に，実際に当該ウイルスに感染している確率を求めよ。
2. $y$ と $z$ の間に，$z=0.001y^2 + 0.0005 \ (0 \leq y \leq 1)$ の関係が成り立つものとする。このとき， ある人が検査で陽性と判定された場合，実際に当該ウイルスに感染している確率が最大となる $y$ を求めよ。

题目描述

本题含四部分。

1. 对 Bernoulli 型方程

   $$y'-x^2y+e^{-x^3}y^4=0,$$

   令 $u=y^{-3}$，把它化为关于 $u$ 的一阶线性方程，并据此求原方程的一般解。

2. 对

   $$A=\begin{pmatrix}1&-1&-2\\2&4&2\\1&1&4\end{pmatrix},$$

   求全部特征值和对应特征向量，再利用对角化结果求自然数次幂 $A^n$。

3. 先用极坐标计算二维高斯积分

   $$I_1=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)/2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy,$$

   再利用结果求正参数 $a$ 下

   $$I_2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,\mathrm dx.$$

4. 某病毒人群感染率为 $x=0.001$，感染者检测阳性的概率为 $y$，未感染者假阳性的概率为 $z$。当 $y=0.8,z=0.001$ 时，求阳性者实际感染的概率；再在 $z=0.001y^2+0.0005$、$0\le y\le1$ 的约束下，求使这一阳性预测值最大的 $y$。

Kai

I.

1.

$u=y^{-3}$ とおくと、

$$\begin{aligned} \frac{du}{dx} &= -3 y^{-4} \frac{dy}{dx} \\ &= -3 y^{-4} \left( x^2 y - e^{-x^3} y^4 \right) \ \ \ \ \ \ \ \ (\because \text{(1)}) \\ &= - 3x^2u + 3e^{-x^3} \end{aligned}$$

なので、 $u$ に関する微分方程式

$$\begin{align} \frac{du}{dx} &= - 3x^2u + 3e^{-x^3} \tag{2} \end{align}$$

を得る。

2.

まず、微分方程式

$$\begin{aligned} \frac{du}{dx} &= - 3x^2u \end{aligned}$$

は、

$$\begin{aligned} \frac{du}{u} &= - 3x^2 dx \\ \therefore \ \ u &= A e^{-x^3} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $A$ は積分定数 )} \end{aligned}$$

と一般解が求まる。 そこで、 $A(x)$ を $x$ の適当な関数として、 ($2$) に $u=A(x)e^{-x^3}$ を代入して整理すると、

$$\begin{aligned} \frac{dA(x)}{dx} &= 3 \\ \therefore \ \ A(x) &= 3x + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{aligned}$$

と求まるので、 ($2$) の一般解は

$$\begin{aligned} u &= (3x + C) e^{-x^3} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{aligned}$$

とわかる。 よって、(1) の一般解は

$$\begin{aligned} y &= (3x + C)^{- \frac{1}{3}} e^{x^3/3} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{aligned}$$

とわかる。

ただし、この置換では $y=0$ を除いているので、$3x+C\ne0$ の各区間上の上記解に加えて $y\equiv0$ も解である。

II.

1.

$$-\lambda^3 + 9\lambda^2 - 26\lambda + 24 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 4, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 2$$

$$v_1 = (-1, 1, 1), v_2 = (-1, 0, 1), v_3 = (-1, 1, 0)$$

2.

$$A^n = \begin{pmatrix} 2^n+3^n-4^n & 3^n-4^n & 2^n-4^n \\ 4^n-2^n & 4^n & 4^n-2^n \\ 4^n-3^n & 4^n-3^n & 4^n \end{pmatrix}$$

III.

See 高斯函数、高斯积分和正态分布.

1.

極座標変換のヤコビアンは $r$ なので、

$$I_1=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2/2}r\,dr\,d\theta=2\pi.$$

2.

$u=\sqrt{2a}\,x$ とおけば、問 1 より $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2/2}du=\sqrt{2\pi}$ だから、

$$I_2=\frac{1}{\sqrt{2a}}\sqrt{2\pi}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.$$

IV.

1.

ベイズの定理より、

$$P(\text{感染}\mid\text{陽性}) =\frac{xy}{xy+(1-x)z} =\frac{0.001\cdot0.8}{0.001\cdot0.8+0.999\cdot0.001} =\frac{800}{1799}\simeq0.445.$$

2.

$x$ は一定なので、上の確率を最大化するには

$$\frac{y}{z}=\frac{y}{0.001y^2+0.0005}$$

を最大化すればよい。その導関数の符号は $0.0005-0.001y^2$ の符号に一致するから、

$$y=\frac{1}{\sqrt2}$$

で最大となる。

Reference

• 東京大学 公式過去問