東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2026年9月実施 問題 1-II

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AnonTokyo #83056

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全問に解答すること。日本語または英語で解答すること。

下記の I，II の両方について解答せよ。なお，I の解答に答案用紙1枚を，II の解答に答案用紙1枚を，それぞれ用いること。

II．内径 $D$，無限長さの円管内を流れる流体の伝熱を考える。流体の密度を $\rho$，定圧比熱を $c_p$ とする。流れは定常で完全に発達しており，その断面平均流速を $U_0$ とする。円管に平行に $x$ 軸をとり，流れ方向を正とする。位置 $x$ での流体の混合平均温度を $T_{\mathrm m}(x)$ とし，$x=0$ での混合平均温度を $T_0$ とする。円管の内表面の温度を $T_{\mathrm w}(x)$，内表面と流体の間の熱伝達率を $h$ とする。ただし，$\rho,c_p,h$ は一定とする。輻射および $x$ 軸方向の流体の熱伝導は無視する。以下の設問に答えよ。

(1) $x$ および $x+\mathrm dx$ の断面と円管の内表面で囲まれた空間を検査体積とする。この検査体積内の流体における熱収支を表す関係式を示せ。

(2) 円管の内表面の温度 $T_{\mathrm w}(x)$ が以下のように分布する場合について考える。

$$\begin{cases} T_{\mathrm w}(x)=T_0 & (x<0),\\ T_{\mathrm w}(x)=T_0+ax & (x\ge0). \end{cases}$$

ただし，$a$ は温度勾配であり，一定とする。このとき，$x=0$ から正の方向に十分に離れた位置において，温度差 $T_{\mathrm w}(x)-T_{\mathrm m}(x)$ は定数 $\Delta T$ に収束する。$\Delta T$ を求めよ。また，$x\ge0$ における $T_{\mathrm m}(x)$ を求めよ。

English

Problem 1

Answer both the following Questions I and II. Use one answer sheet for Question I and use another answer sheet for Question II.

II. Consider heat transfer in a fluid flowing through a circular pipe of infinite length with an inner diameter of $D$. The density and specific heat at constant pressure of the fluid are given by $\rho$ and $c_p$, respectively. The flow is steady and fully developed; let the cross-sectional average velocity be $U_0$. Set the $x$-axis to be parallel to the pipe and define the direction of flow as positive. The mixed-mean temperature of the fluid at a position $x$ is $T_{\mathrm m}(x)$, and the mixed-mean temperature at $x=0$ is $T_0$. The temperature of the inner surface of the pipe is $T_{\mathrm w}(x)$, and the heat transfer coefficient between the inner surface and the fluid is $h$. Note that $\rho$, $c_p$ and $h$ are constants. Ignore the thermal radiation and the heat conduction of the fluid in the $x$-direction. Answer the following questions.

(1) Consider the space enclosed by the cross-sections at $x$ and $x+\mathrm dx$ and the inner surface of the circular pipe as the control volume. Obtain the equation that represents the thermal balance of the fluid in the control volume.

(2) Consider the case where the temperature of the inner surface, $T_{\mathrm w}(x)$, is distributed as follows:

$$\begin{cases} T_{\mathrm w}(x)=T_0 & (x<0)\\ T_{\mathrm w}(x)=T_0+ax & (x\ge0) \end{cases}$$

where $a$ is the temperature gradient and given as a constant. In this case, at a point sufficiently far from $x=0$ in the positive direction, the temperature difference, $T_{\mathrm w}(x)-T_{\mathrm m}(x)$, converges to a constant $\Delta T$. Determine $\Delta T$. Furthermore, determine $T_{\mathrm m}(x)$ for $x\ge0$.

题目描述

所有题目均须作答，使用日语或英语作答。请回答以下 I、II 两题，I、II 各使用一张答题纸。

II．考虑在内径为 $D$、无限长的圆管中流动的流体的传热。流体的密度为 $\rho$，定压比热容为 $c_p$。流动处于稳态且已充分发展，其截面平均流速为 $U_0$。取与圆管平行的 $x$ 轴，以流动方向为正方向。位置 $x$ 处流体的混合平均温度为 $T_{\mathrm m}(x)$，$x=0$ 处的混合平均温度为 $T_0$。圆管内表面温度为 $T_{\mathrm w}(x)$，内表面与流体之间的换热系数为 $h$。其中，$\rho,c_p,h$ 均为常数。忽略辐射以及流体沿 $x$ 轴方向的热传导。回答下列问题。

(1) 将 $x$ 和 $x+\mathrm dx$ 处的截面与圆管内表面围成的空间作为控制体。写出表示该控制体内流体热量收支的关系式。

(2) 考虑圆管内表面温度 $T_{\mathrm w}(x)$ 按以下形式分布的情况。

$$\begin{cases} T_{\mathrm w}(x)=T_0 & (x<0),\\ T_{\mathrm w}(x)=T_0+ax & (x\ge0). \end{cases}$$

其中，$a$ 为温度梯度，是常数。此时，在沿正方向距 $x=0$ 足够远的位置，温差 $T_{\mathrm w}(x)-T_{\mathrm m}(x)$ 收敛于常数 $\Delta T$。求 $\Delta T$，并求 $x\ge0$ 时的 $T_{\mathrm m}(x)$。

Kai

(1)

管の断面積は $A=\pi D^2/4$，周長は $P=\pi D$ であり，質量流量は $\dot m=\rho U_0A$ である。混合平均温度を用いると，流体のエンタルピー流量の変化は $\dot m c_p\,\mathrm dT_{\mathrm m}$ と書ける。定常状態において，壁面から流体への伝熱量とエンタルピー流量の増加が等しいので，$\mathrm dx$ の一次までで

$$\dot m c_p\bigl[T_{\mathrm m}(x+\mathrm dx)-T_{\mathrm m}(x)\bigr] =h\pi D\bigl[T_{\mathrm w}(x)-T_{\mathrm m}(x)\bigr]\,\mathrm dx.$$

したがって，求める熱収支は

$$\boxed{\rho c_p U_0\frac{\pi D^2}{4} \frac{\mathrm dT_{\mathrm m}}{\mathrm dx} =h\pi D(T_{\mathrm w}-T_{\mathrm m})}.$$

(2)

$$\lambda=\frac{4h}{\rho c_pU_0D}>0, \qquad \theta(x)=T_{\mathrm w}(x)-T_{\mathrm m}(x)$$

とおく。$x\ge0$ では $T_{\mathrm w}=T_0+ax$ であるから，(1) より

$$\theta'+\lambda\theta=a, \qquad \theta(0)=0.$$

積分因子 $e^{\lambda x}$ を用いると

$$\theta(x)=\frac{a}{\lambda}(1-e^{-\lambda x}).$$

よって，下流での温度差は

$$\boxed{\Delta T=\lim_{x\to\infty}\theta(x) =\frac{a}{\lambda}=\frac{a\rho c_pU_0D}{4h}}.$$

また，流体の混合平均温度は

$$\boxed{T_{\mathrm m}(x) =T_0+ax-\frac{a}{\lambda}(1-e^{-\lambda x})}, \qquad x\ge0.$$

この式は $a$ の正負によらず成り立ち，$a=0$ では $T_{\mathrm m}(x)=T_0$ となる。

Reference

• 東京大学大学院 2027 年度入学試験・機械工学第1部（2026年9月1日実施）、投稿者提供の原題スキャン：
  • 表紙（年度・試験日時・作答言語）
  • 日本語 2 ページ目
  • English page 2
  • English page 3