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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2026年9月実施 問題 1-I

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全問に解答すること。日本語または英語で解答すること。

下記の I，II の両方について解答せよ。なお，I の解答に答案用紙1枚を，II の解答に答案用紙1枚を，それぞれ用いること。

I．冷凍サイクルは，低温熱源から熱を受け取り，高温熱源へ熱を放出する機械における，一連の連続した熱力学過程を表す。冷媒（冷凍サイクルの作動物質）が，図1-1に示す圧力–エンタルピー（pp–hh）線図のように 1→2→3→41\to2\to3\to4 と状態変化しながら，定常的に流れる冷凍サイクルについて考える。状態 1→21\to2 は圧縮機での可逆断熱圧縮過程，状態 2→32\to3 は凝縮器における等圧冷却過程（圧力 pHp_{\mathrm H}），状態 3→43\to4 は膨張弁を通過するときの等エンタルピー膨張過程，状態 4→14\to1 は蒸発器における等圧加熱過程（圧力 pLp_{\mathrm L}）を示す。冷媒は純物質とし，図1-1中の曲線はその飽和液線と飽和蒸気線を表す。以下の設問に答えよ。

(1) 比エントロピーの微小変化量 ds\mathrm ds について，式(1-1)が成り立つことを示せ。

ds=cpT dT−(∂v∂T)pdp.(1-1)\mathrm ds=\frac{c_p}{T}\,\mathrm dT -\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p\mathrm dp. \tag{1-1}

ただし，TT は温度，cpc_p は定圧比熱，vv は比体積である。以下のマクスウェルの熱力学的関係式を用いてよい。

(∂s∂p)T=−(∂v∂T)p.\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T =-\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p.

(2) 冷凍サイクルにおいては，状態 3→43\to4 の過程で冷媒の温度が下がる。等エンタルピー膨張によって温度が下がる条件を示せ。式(1-1)を用いてよい。

(3) この冷凍サイクルの加熱目的の動作係数（COP）（＝高温熱源への放熱量／入力仕事）を求めよ。ただし，状態 1→21\to2 においては，冷媒を理想気体と仮定せよ。また，圧力 pHp_{\mathrm H} における冷媒の凝縮熱を l [kJ/kg]l\ [\mathrm{kJ/kg}] とし，cp [kJ/(kg⋅K)]c_p\ [\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}] は温度，圧力によらずに一定とせよ。状態1，2，3の温度 T1,T2,T3T_1,T_2,T_3 を用いてよい。

図 1-1：冷凍サイクルの圧力–エンタルピー線図

English

Problem 1

Answer both the following Questions I and II. Use one answer sheet for Question I and use another answer sheet for Question II.

I. A refrigeration cycle describes a series of consecutive thermodynamic processes in a machine that absorbs heat from a low-temperature heat source and releases it to a high-temperature heat source. Consider a refrigeration cycle in which a refrigerant (working substance used in the refrigeration cycle) flows steadily, while changing the states from 1→2→3→41\to2\to3\to4 as shown in the pressure–enthalpy (p−hp-h) diagram shown in Figure 1-1. The process from state 1→21\to2 represents a reversible adiabatic compression process in the compressor, the process from state 2→32\to3 represents an isobaric cooling process in the condenser (at pHp_{\mathrm H}), the process from state 3→43\to4 represents an isenthalpic expansion process as the refrigerant passes through the expansion valve, while the process from state 4→14\to1 represents an isobaric heating process in the evaporator (at pLp_{\mathrm L}). The refrigerant is assumed to be a pure substance, and the curves in Figure 1-1 represent its saturated liquid line and saturated vapor line. Answer the following questions.

(1) Show that Equation (1-1) holds for the infinitesimal change in specific entropy ds\mathrm ds.

ds=cpT dT−(∂v∂T)pdp(1-1)\mathrm ds=\frac{c_p}{T}\,\mathrm dT -\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p\mathrm dp \tag{1-1}

where TT is the temperature, cpc_p is the specific heat at constant pressure, and vv is the specific volume. The following Maxwell thermodynamic relation may be used.

(∂s∂p)T=−(∂v∂T)p\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T =-\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p

(2) In the refrigeration cycle, the temperature of the refrigerant decreases during the process from state 3→43\to4. Indicate the conditions under which the temperature of the refrigerant decreases during isenthalpic expansion. You may use Equation (1-1).

(3) Determine the coefficient of performance (COP) for the heating operation (= the amount of heat released to the high-temperature heat source / work input) of this refrigeration cycle. Assume that the refrigerant is an ideal gas during the process from state 1→21\to2. Furthermore, let l [kJ/kg]l\ [\mathrm{kJ/kg}] be the heat of condensation of the refrigerant at pressure pHp_{\mathrm H}, and cp [kJ/(kg⋅K)]c_p\ [\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}] be constant regardless of temperature and pressure. You may use the temperatures for states 1, 2 and 3, T1T_1, T2T_2 and T3T_3.

Figure 1-1: Pressure–enthalpy diagram of the refrigeration cycle

题目描述​

所有题目均须作答，使用日语或英语作答。请回答以下 I、II 两题，I、II 各使用一张答题纸。

I．制冷循环描述从低温热源吸收热量、向高温热源放出热量的机械中一系列连续的热力学过程。考虑一个制冷剂（制冷循环的工质）按照图 1-1 所示的压力—焓（pp–hh）图，以 1→2→3→41\to2\to3\to4 的顺序改变状态并稳定流动的制冷循环。状态 1→21\to2 表示压缩机中的可逆绝热压缩过程，状态 2→32\to3 表示冷凝器中的等压冷却过程（压力为 pHp_{\mathrm H}），状态 3→43\to4 表示通过膨胀阀时的等焓膨胀过程，状态 4→14\to1 表示蒸发器中的等压加热过程（压力为 pLp_{\mathrm L}）。假设制冷剂是纯物质，图 1-1 中的曲线表示其饱和液线和饱和蒸气线。回答下列问题。

(1) 证明比熵的微小变化量 ds\mathrm ds 满足式 (1-1)。

ds=cpT dT−(∂v∂T)pdp.(1-1)\mathrm ds=\frac{c_p}{T}\,\mathrm dT -\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p\mathrm dp. \tag{1-1}

其中，TT 为温度，cpc_p 为定压比热容，vv 为比体积。可以使用以下 Maxwell 热力学关系式。

(∂s∂p)T=−(∂v∂T)p.\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T =-\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p.

(2) 在制冷循环中，制冷剂的温度在状态 3→43\to4 的过程中下降。给出等焓膨胀使温度下降的条件。可以使用式 (1-1)。

(3) 求这个制冷循环用于供热时的性能系数（COP）（＝向高温热源放出的热量／输入功）。在状态 1→21\to2 的过程中，假设制冷剂为理想气体。另外，设压力 pHp_{\mathrm H} 下制冷剂的凝结热为 l [kJ/kg]l\ [\mathrm{kJ/kg}]，cp [kJ/(kg⋅K)]c_p\ [\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}] 不随温度和压力变化，为常数。可以使用状态 1、2、3 的温度 T1,T2,T3T_1,T_2,T_3。

Reference​

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