東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第2部 2026年9月実施 問題 2

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• 东京大学
• 拉格朗日力学
• 线性化
• 传递函数
• 二阶系统阻尼
• PID 与 I-PD 控制

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AnonTokyo #83056

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全問に解答すること．日本語または英語で解答すること．

図 2-1 に示す，ピンに接続された棒に球がついた倒立振子を考える．ここで，ピンと棒の間には摩擦は無く，棒は平面内でピン回りに回転する．球は質量 $m$ の質点とする．棒の長さは $l$ である．水平な床に垂直な軸に対する回転角を $\theta$ とし，トルク $\tau$ を入力として回転角 $\theta$ を制御する．また，$g$ は重力加速度である．なお，棒の質量と変形は無視する．以下の設問に答えよ．

(1) 倒立振子のポテンシャルエネルギー $P$ と運動エネルギー $T$ を求めよ．また，ラグランジュの方程式を用いて，倒立振子の運動方程式を求めよ．

以降の設問では，回転角 $\theta$ は微小角とし，線形化した運動方程式を考える．また，$\dot\theta_{\mathrm r}(t)$，$\dot\theta(t)$ はそれぞれ $\theta_{\mathrm r}(t)$，$\theta(t)$ の時間微分を表す．ここで，$\theta_{\mathrm r}(t)$ は回転角 $\theta(t)$ の目標値である．

(2) 回転角 $\theta$ を制御するために，図 2-2 に示す閉ループ系を構成する．この系において，トルクを $\tau(t)=k(\theta_{\mathrm r}(t)-\theta(t))$ で与える．$k$ は定数である．$\theta_{\mathrm r}(t)$ から $\theta(t)$ への閉ループ系の伝達関数を求めよ．また，応答が発散しないための $k$ の条件を示せ．

(3) $\theta_{\mathrm r}(t)$ を $0$ とした場合を考える．設問 (2) の条件および初期条件 $\theta(t=0)=\theta_0$，$\dot\theta(t=0)=0$ のもとで $\theta(t)$ を求めよ．

(4) 回転角 $\theta$ を制御するために，図 2-3 に示す閉ループ系を構成する．この系において，トルクを $\tau(t)=k(\theta_{\mathrm r}(t)-\theta(t))+c(\dot\theta_{\mathrm r}(t)-\dot\theta(t))$ で与える．$k$ と $c$ は定数である．$\theta_{\mathrm r}(t)$ から $\theta(t)$ への閉ループ系の伝達関数を求めよ．また，閉ループ系が臨界減衰となる $k$ と $c$ の関係を求めよ．

English

Answer all questions in Japanese or English.

Problem 2

Consider an inverted pendulum in which a ball is attached to a bar connected to a pin, as shown in Figure 2-1. Here, there is no friction between the pin and the bar, and the bar rotates around the pin in the plane. The ball is assumed to be a point mass with mass $m$. $l$ is the length of the bar. $\theta$ is the rotation angle with respect to the vertical axis to the horizontal floor. The rotation angle $\theta$ is controlled by a torque $\tau$ as input. $g$ is the gravitational acceleration. The mass and deformation of the bar are negligible. Answer the following questions.

(1) Find the potential energy $P$ and kinetic energy $T$ of the inverted pendulum. In addition, obtain the equation of motion for the inverted pendulum using Lagrange’s equation.

In the following questions, assume that $\theta$ is small, and consider the linearized equation of motion. $\dot\theta_{\mathrm r}(t)$ and $\dot\theta(t)$ express the time derivatives of $\theta_{\mathrm r}(t)$ and $\theta(t)$, respectively. Here, $\theta_{\mathrm r}(t)$ is the reference value of the rotation angle $\theta(t)$.

(2) To control the rotation angle $\theta$, the closed-loop system shown in Figure 2-2 is constructed. In this system, the torque is given by $\tau(t)=k(\theta_{\mathrm r}(t)-\theta(t))$. Here, $k$ is a constant. Derive the transfer function of the closed-loop system from $\theta_{\mathrm r}(t)$ to $\theta(t)$. In addition, show the condition on $k$ for the response to be bounded.

(3) Consider when $\theta_{\mathrm r}(t)$ is set to $0$. Obtain the response $\theta(t)$ under the condition of Question (2) with the initial conditions $\theta(t=0)=\theta_0$ and $\dot\theta(t=0)=0$.

(4) To control the rotation angle $\theta$, the closed-loop system shown in Figure 2-3 is constructed. In this system, the torque is given by $\tau(t)=k(\theta_{\mathrm r}(t)-\theta(t))+c(\dot\theta_{\mathrm r}(t)-\dot\theta(t))$. Here, $k$ and $c$ are constants. Derive the transfer function of the closed-loop system from $\theta_{\mathrm r}(t)$ to $\theta(t)$. In addition, show the relationship between $k$ and $c$ so that the closed-loop system has critical damping.

题目描述

请回答全部问题。请用日语或英语作答。

考虑图 2-1 所示的倒立摆：一根与销轴相连的杆上装有一个球。销轴与杆之间无摩擦，杆在平面内绕销轴转动。将球视为质量为 $m$ 的质点，杆长为 $l$。相对于水平地面的竖直轴定义转角 $\theta$，以转矩 $\tau$ 为输入来控制转角 $\theta$。$g$ 为重力加速度，忽略杆的质量和变形。回答以下问题。

(1) 求倒立摆的势能 $P$ 和动能 $T$，并利用拉格朗日方程求倒立摆的运动方程。

以下各问中，假设转角 $\theta$ 为微小角，考虑线性化后的运动方程。$\dot\theta_{\mathrm r}(t)$ 和 $\dot\theta(t)$ 分别表示 $\theta_{\mathrm r}(t)$ 和 $\theta(t)$ 对时间的导数。其中，$\theta_{\mathrm r}(t)$ 为转角 $\theta(t)$ 的目标值。

(2) 为控制转角 $\theta$，构成图 2-2 所示的闭环系统。在该系统中，转矩为 $\tau(t)=k(\theta_{\mathrm r}(t)-\theta(t))$，其中 $k$ 为常数。求从 $\theta_{\mathrm r}(t)$ 到 $\theta(t)$ 的闭环传递函数，并给出使响应不发散的 $k$ 的条件。

(3) 考虑 $\theta_{\mathrm r}(t)=0$ 的情形。在第 (2) 问的条件及初始条件 $\theta(t=0)=\theta_0$、$\dot\theta(t=0)=0$ 下，求 $\theta(t)$。

(4) 为控制转角 $\theta$，构成图 2-3 所示的闭环系统。在该系统中，转矩为 $\tau(t)=k(\theta_{\mathrm r}(t)-\theta(t))+c(\dot\theta_{\mathrm r}(t)-\dot\theta(t))$，其中 $k$ 和 $c$ 为常数。求从 $\theta_{\mathrm r}(t)$ 到 $\theta(t)$ 的闭环传递函数，并求使闭环系统达到临界阻尼时 $k$ 与 $c$ 的关系。

Kai

(1)

図の $\theta$ と $\tau$ の向きを正とする。ピンの高さを位置エネルギーの基準に選べば，質点の座標は $x=l\sin\theta$，$y=l\cos\theta$ である。したがって

$$P=mgl\cos\theta,\qquad T=\frac12m(\dot x^2+\dot y^2)=\frac12ml^2\dot\theta^2.$$

ラグランジアン $L=T-P$ に対して

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta} -\frac{\partial L}{\partial\theta}=\tau$$

より，運動方程式は

$$\boxed{ml^2\ddot\theta-mgl\sin\theta=\tau}.$$

微小角では $\sin\theta\simeq\theta$ なので，線形化した式は $ml^2\ddot\theta-mgl\theta=\tau$ となる。

(2)

零初期条件でラプラス変換し，$\Theta(s)$，$\Theta_{\mathrm r}(s)$ をそれぞれ $\theta(t)$，$\theta_{\mathrm r}(t)$ の変換とすると，

$$(ml^2s^2-mgl)\Theta=k(\Theta_{\mathrm r}-\Theta).$$

したがって，閉ループ伝達関数は

$$\boxed{\frac{\Theta(s)}{\Theta_{\mathrm r}(s)} =\frac{k}{ml^2s^2+k-mgl}}.$$

零入力時の任意の有限な初期状態に対して応答が有界となる条件は

$$\boxed{k>mgl}.$$

このとき特性根は $s=\pm\mathrm j\omega_n$，$\omega_n=\sqrt{(k-mgl)/(ml^2)}$ であり，自由応答は振幅一定の振動となる。$k<mgl$ では正の実特性根が存在する。$k=mgl$ では自由応答が $A+Bt$ となり，初期角速度が非零なら発散する。

なお，ここでの「発散しない」は自由応答，または一定目標値に対する応答の有界性として解釈した条件である。$k>mgl$ でも漸近安定ではなく，任意の有界な目標値に対する BIBO 安定性もない。例えば $\theta_{\mathrm r}(t)=a\sin\omega_nt$ に対する零初期応答は

$$\theta(t)=\frac{ka}{2ml^2\omega_n^2} \left(\sin\omega_nt-\omega_nt\cos\omega_nt\right)$$

となり，共振によって振幅が増大する。

(3)

$\theta_{\mathrm r}=0$ のとき，

$$\ddot\theta+\omega_n^2\theta=0.$$

初期条件より，$\theta=A\cos\omega_nt+B\sin\omega_nt$ において $A=\theta_0$，$B=0$ である。よって

$$\boxed{\theta(t)=\theta_0\cos\left(\sqrt{\frac{k-mgl}{ml^2}}\,t\right)}.$$

(4)

零初期条件で，制御則は $\Tau(s)=(k+cs)(\Theta_{\mathrm r}(s)-\Theta(s))$ となる。これを運動方程式に代入すると

$$\boxed{\frac{\Theta(s)}{\Theta_{\mathrm r}(s)} =\frac{cs+k}{ml^2s^2+cs+k-mgl}}.$$

特性方程式が負の実重根をもつときに臨界減衰となるから，

$$\boxed{k>mgl,\qquad c=2\sqrt{ml^2(k-mgl)}}.$$

すなわち $c^2=4ml^2(k-mgl)$ かつ $c>0$ であり，重根は $s=-c/(2ml^2)<0$ である。負の $c$ も許す単なる判別式の条件だけでは，減衰は保証されない。

Reference

• 東京大学 2027 年度大学院修士課程入学試験（2026 年 9 月 1 日実施），機械工学第 2 部・問題 2。投稿者提供の原題スキャン：日本語 1 ページ，日本語 2 ページ。
• 英語版原題スキャン：1 ページ，2 ページ。
• 試験表紙。原題・原図の権利は東京大学に帰属する。
• cdc95-04 の参考解答（PR #151）。