東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第2部 2026年9月実施 問題 1

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• 东京大学
• 桁架
• 轴向变形
• 弯曲应力

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AnonTokyo #83056

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全問に解答すること。日本語または英語で解答すること。

図 1-1 のような，長さ $L$ の棒 AB と棒 BC がピン結合されたトラス構造を考える．棒 AB と棒 BC の横断面は一辺の長さ $d$ の正方形であり，ヤング率は $E$ である．点 B に鉛直下向きに荷重 $P$ が作用している．

(1) 棒 AB の応力を求めよ．

(2) 点 B の変位を求めよ．

次に，図 1-2 のような，棒 AB と棒 BC を点 B で溶接したフレーム構造 ABC を考える．フレーム構造 ABC は，点 A ではピン支持，点 C ではローラー支持されている．点 B に鉛直下向きに荷重 $P$ が作用している．

(3) 点 A における反力を求めよ．

(4) AB の中央 D における棒の横断面のせん断力と曲げモーメントを求めよ．

(5) AB の中央 D における棒の横断面の垂直応力分布を求めよ．

English

Problem 1

Consider a truss structure in which bars AB and BC, each of length $L$, are connected by pin joints as shown in Figure 1-1. The cross section of the bars is square with side length $d$. Young’s modulus is $E$. Downward load $P$ acts at point B.

(1) Obtain the stress of bar AB.

(2) Obtain the displacement of point B.

Next, consider the frame structure ABC which is formed by welding bars AB and BC at point B, as shown in Figure 1-2. The frame structure ABC has pin support at point A and roller support at point C. Downward load $P$ acts at point B.

(3) Obtain the reaction force at point A.

(4) Obtain the shear force and bending moment on the cross section of the bar at D which is at the center of AB.

(5) Obtain the distribution of normal stress on the cross section of the bar at D which is at the center of AB.

题目描述

全问均须作答，使用日语或英语作答。

考虑图 1-1 所示的桁架结构：长度均为 $L$ 的杆 AB 与杆 BC 采用铰接。杆 AB、BC 的横截面均为边长 $d$ 的正方形，杨氏模量为 $E$。B 点承受竖直向下的荷载 $P$。

(1) 求杆 AB 的应力。

(2) 求 B 点的位移。

接着，考虑图 1-2 所示的框架结构 ABC：将杆 AB 与杆 BC 在 B 点焊接。框架结构 ABC 在 A 点采用铰支承，在 C 点采用滚动支承。B 点承受竖直向下的荷载 $P$。

(3) 求 A 点的支座反力。

(4) 求 AB 中点 D 处杆件横截面上的剪力和弯矩。

(5) 求 AB 中点 D 处杆件横截面上的正应力分布。

Kai

微小変形の線形弾性理論を用い，棒の自重を無視する。全体座標の $x$ 軸を右向き，$y$ 軸を上向きにとり，引張応力を正とする。断面積と断面二次モーメントは

$$A=d^2,\qquad I=\frac{d^4}{12}.$$

(1)

図 1-1 では両端 A，C の並進が拘束されている。対称性より両棒の軸力は等しい。引張りを正とした軸力を $N$ とすると，節点 B の鉛直方向のつり合いは

$$-2N\sin30^\circ-P=0.$$

したがって $N=-P$ となり，棒 AB の一様な圧縮応力は

$$\boxed{\sigma_{AB}=-\frac{P}{d^2}}.$$

(2)

対称性より B 点の水平変位は零である。上向きを正とする鉛直変位を $v_B$ とすると，棒 AB の伸びは

$$\Delta L_{AB}=v_B\sin30^\circ =\frac{N L}{EA}=-\frac{PL}{Ed^2}.$$

よって

$$\boxed{u_B=0,\qquad v_B=-\frac{2PL}{Ed^2}}.$$

すなわち B 点は鉛直下向きに $2PL/(Ed^2)$ だけ変位する。

(3)

図 1-2 の C はローラー支持なので反力は鉛直成分 $R_{Cy}$ のみである。全体の水平力のつり合いから $R_{Ax}=0$，A 点まわりのモーメントのつり合いから

$$R_{Cy}(2L\cos30^\circ)-P(L\cos30^\circ)=0.$$

さらに鉛直力のつり合いを用いると

$$\boxed{R_{Ax}=0,\qquad R_{Ay}=\frac P2\quad\text{（上向き）}}, \qquad R_{Cy}=\frac P2.$$

A はピン支持なので反力モーメントは零である。

(4)

AB に沿って A から B へ向かう単位ベクトルと，それに直交する左上向きの単位ベクトルを

$$\boldsymbol e_s=(\cos30^\circ,\sin30^\circ),\qquad \boldsymbol e_n=(-\sin30^\circ,\cos30^\circ)$$

と定義する。D で切断して左側の A–D 部分を取り出し，切断面に働く軸力 $N_D$，せん断力 $Q_D$ の正方向をそれぞれ $\boldsymbol e_s$，$\boldsymbol e_n$ とする。切断面の曲げモーメント $M_D$ は反時計回りを正とする。

A 点の反力は $(0,P/2)$ なので，D の切断面に働く合力は $(0,-P/2)$ である。各方向への射影より

$$N_D=-\frac P4,\qquad \boxed{Q_D=-\frac{\sqrt3P}{4}}.$$

A 点の反力は D まわりに時計回りのモーメントを与えるため，

$$\boxed{M_D=\frac P2\frac L2\cos30^\circ =\frac{\sqrt3PL}{8}}.$$

したがってせん断力の大きさは $\sqrt3P/4$，曲げモーメントの大きさは $\sqrt3PL/8$ である。

(5)

D 断面の図心を原点とし，$\boldsymbol e_n$ 方向を正とする断面内座標を $\eta$ とする。$-d/2\le\eta\le d/2$ である。(4) の符号規約では，軸方向垂直応力 $\sigma_s$ と断面力の関係は

$$N_D=\int_A\sigma_s\,\mathrm dA,\qquad M_D=-\int_A\eta\sigma_s\,\mathrm dA.$$

軸力と曲げによる応力を重ね合わせると

$$\begin{aligned} \sigma_s(\eta) &=\frac{N_D}{A}-\frac{M_D}{I}\eta\\ &=\boxed{-\frac{P}{4d^2}-\frac{3\sqrt3PL}{2d^4}\eta}, \qquad -\frac d2\le\eta\le\frac d2. \end{aligned}$$

応力は $\eta$ に関して線形で，紙面に垂直な方向には一様である。上下縁の値は

$$\begin{aligned} \sigma_s(d/2)&=-\frac{P}{4d^2}-\frac{3\sqrt3PL}{4d^3},\\ \sigma_s(-d/2)&=-\frac{P}{4d^2}+\frac{3\sqrt3PL}{4d^3}. \end{aligned}$$

$\eta>0$ 側で圧縮応力が大きく，反対側の応力が引張りになるかどうかは $L/d$ によって決まる。

Reference

• 原題：東京大学大学院工学系研究科機械工学専攻，2027 年度入学試験「機械工学第2部」（2026 年 9 月 1 日実施），投稿者提供のスキャン：表紙，日本語 1 ページ目，日本語 2 ページ目，英語 1 ページ目，英語 2 ページ目。
• cdc95-04 の投稿原稿。

原題・原図の著作権は東京大学に帰属する。