東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2025年8月実施 問題 2

标签：

• Tokyo-University
• Navier-Stokes-Equations
• Stokes-First-Problem

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

密度 $\rho$、動粘性係数 $\nu$ の非圧縮性流体が、無限に広い平面壁に接して半空間 $z\ge0$ に静止している。壁面の接線方向を $x$、法線方向を $z$ とし、壁面を $z=0$ とする。時刻 $t=0$ から壁が $x$ 軸の正方向へ一定速度 $u_0$ で動き始める。流体は $x$ 方向にのみ運動する。

(1) $u,w$ を $x,z$ 方向の速度成分、$p$ を圧力とする。次式から零となる項を消去し、$u$ の最も簡単な偏微分方程式を示せ。

$$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+w\frac{\partial u}{\partial z} =-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial x} +\nu\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right).$$

(2) $\eta=z/(2\sqrt{\nu t})$、$u=f(\eta)$ とおき、$f$ が満たす常微分方程式を求めよ。

(3) $u$ を $u_0,\nu,z,t$ で表せ。誤差関数

$$\operatorname{erf}(\alpha)=\frac2{\sqrt\pi}\int_0^\alpha e^{-s^2}\,ds, \qquad \operatorname{erf}(\infty)=1$$

を用いてよい。

(4) 壁が動き始めてから十分時間が経ったときの速度分布を、壁面 $z=0$ と無限遠方 $z\to\infty$ の速度が分かるように図示せよ。

题目描述

密度 $\rho$、运动黏度 $\nu$ 的不可压缩流体静止于无限平壁上方 $z\ge0$。壁面从 $t=0$ 起沿 $x$ 正方向以恒速 $u_0$ 运动，流体仅有 $x$ 向速度。将给出的动量方程化简，以 $\eta=z/(2\sqrt{\nu t})$ 化为常微分方程，求速度分布，并画出经过足够时间后的剖面，注明壁面和无穷远处的速度。

Kai

(1)

$w=0$ と連続の式より $u_x=0$。法線方向の運動方程式と無限遠方の静止条件から $p_x=0$ である。したがって

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial t}=\nu\frac{\partial^2u}{\partial z^2}}.$$

(2)

$$\frac{\partial\eta}{\partial t}=-\frac\eta{2t},\qquad \frac{\partial\eta}{\partial z}=\frac1{2\sqrt{\nu t}}$$

より、$u_t=-\eta f'/(2t)$、$u_{zz}=f''/(4\nu t)$。よって

$$\boxed{f''+2\eta f'=0}.$$

(3)

積分して $f'=C_1e^{-\eta^2}$、$f=C_1\int_0^\eta e^{-s^2}ds+C_2$。境界条件 $f(0)=u_0$、$f(\infty)=0$ より $C_2=u_0$、$C_1=-2u_0/\sqrt\pi$ となる。したがって

$$\boxed{u(z,t)=u_0\left[1-\operatorname{erf}\left(\frac{z}{2\sqrt{\nu t}}\right)\right]}.$$

$z>0$ に対して $t\downarrow0$ で $u\to0$ となり、初期条件も満たす。

(4)

壁面では $u=u_0$、壁から離れると単調に減少し、無限遠方では $u\to0$。時間とともに速度変化の及ぶ距離が $\sqrt{\nu t}$ に比例して広がる。

Reference

• 東京大学 公式過去問（2026年度）
• zzy の解答・解説