東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2025年8月実施 機械工学第2部 問題 2

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• 东京大学
• 刚体转动惯量
• 阻尼谐振动
• 传递函数
• 波德图与稳定裕度

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図2-1に示す水平面内で回転する円板1の運動を考える。回転軸は円板1の中心を通り，地面に垂直に固定されている。なお，円板1の回転運動以外は無視できるものとする。円板1の半径は $R$ であり，中心から距離 $R/2$ の円上に半径 $r$ の4個の穴が等間隔に存在している。なお，穴は重ならないものとする。円板1の慣性モーメントは $J_1$ とする。地面と円板の間には渦巻ばねが設置されており，渦巻ばねの中心は円板1の中心と一致している。時刻 $t$ における回転角度 $\theta(t)\ [\mathrm{rad}]$ に比例した復元トルクが働き，そのばね定数を $k$ とする。さらに，地面と円板の間に設置された粘性減衰器によって，円板1の角速度 $\dot\theta(t)$ に比例した減衰トルクが生じており，その粘性減衰係数を $c_1$ とする。また，この系においては臨界減衰条件が成立しているものとする。円板1の厚みは無視できるものとし，単位面積あたりの質量を $\rho$ とする。以下の設問に答えよ。

(1) 円板1の回転に関する運動方程式を求めよ。なお，$J_1$ を用いて解答してよい。

(2) 粘性減衰係数 $c_1$ を求めよ。なお，$J_1$ を用いて解答してよい。

(3) $J_1$ を $R,r,\rho$ を用いて表せ。

(4) 半径 $R$ の新しい円板2の回転運動を考える。回転軸は円板2の中心を通り，地面に垂直に固定されている。なお，円板2の水平面内の回転運動以外は無視できるものとする。円板2の単位面積あたりの質量も $\rho$ であり，厚みも無視できるものとする。また，円板2では中心から距離 $R/2$ の円上に半径 $r/2$ の8個の穴が等間隔に存在している。なお，穴は重ならないものとする。円板2にもばね定数 $k$ の渦巻ばねを，円板1と同様に設置する。また，円板2に粘性減衰係数 $c_2$ の新しい粘性減衰器を設置し，臨界減衰条件を再度成立させた。$c_1$ と $c_2$ のどちらが大きいか，根拠となる数式とともに答えよ。

以降の設問では，円板1の回転運動を再度考える。円板1の粘性減衰器を取り外し，円板1に対して渦巻ばねとは反対側に新たにモータを同軸上に設置する。このとき，モータは地面に対して固定されているものとする。モータのトルク $\tau(t)$ は，目標角度を $\theta_{\mathrm{ref}}(t)$ とする PD 制御によって出力されるものとする。比例ゲインは $k_p$，微分ゲインは $k_d$ とする。なお，初期状態は静止しているものとする。$\theta(t),\theta_{\mathrm{ref}}(t),\tau(t)$ をラプラス変換したものをそれぞれ $\Theta(s),\Theta_{\mathrm{ref}}(s),T(s)$ とする。

(5) $\Theta_{\mathrm{ref}}(s)$ から $\Theta(s)$ までの伝達関数 $G(s)$ を求めよ。なお，$J_1$ を用いて解答してよい。

(6) $J_1,k,k_p,k_d$ の値が表2-1に従うときの $G(s)$ のボード線図を折れ線で近似して描け。なお，横軸の角周波数 $[\mathrm{rad/s}]$ は $[10^{-4},10^5]$ の範囲で記載せよ。また，$\log_{10}1.01\approx0$ と近似してよい。

表2-1

	$J_1\ [\mathrm{kg\cdot m^2}]$	$k\ [\mathrm{N\cdot m/rad}]$	$k_p\ [\mathrm{N\cdot m/rad}]$	$k_d\ [\mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}]$
数値	$1.000$	$98.99$	$1.010$	$101.0$

题目描述

考虑图2-1所示在水平面内旋转的圆板1。转轴通过圆板1的中心，垂直固定于地面。忽略圆板1的旋转以外的运动。圆板1半径为 $R$，在距中心 $R/2$ 的圆周上等间隔分布着4个半径为 $r$ 的孔，各孔互不重叠。设圆板1的转动惯量为 $J_1$。地面与圆板之间安装有涡卷弹簧，弹簧中心与圆板1的中心重合，产生与时刻 $t$ 的转角 $\theta(t)\ [\mathrm{rad}]$ 成正比的回复力矩，弹簧常数为 $k$。此外，地面与圆板之间的黏性阻尼器产生与圆板1角速度 $\dot\theta(t)$ 成正比的阻尼力矩，黏性阻尼系数为 $c_1$。系统满足临界阻尼条件。忽略圆板1的厚度，单位面积质量为 $\rho$。回答下列问题。

(1) 求圆板1的旋转运动方程，可以使用 $J_1$ 表示。

(2) 求黏性阻尼系数 $c_1$，可以使用 $J_1$ 表示。

(3) 用 $R,r,\rho$ 表示 $J_1$。

(4) 考虑新的半径为 $R$ 的圆板2的旋转运动。转轴通过圆板2的中心，垂直固定于地面。忽略圆板2在水平面内旋转以外的运动。其单位面积质量也为 $\rho$，厚度也可忽略。在距圆板2中心 $R/2$ 的圆周上等间隔分布着8个半径为 $r/2$ 的孔，各孔互不重叠。与圆板1相同，为圆板2安装弹簧常数为 $k$ 的涡卷弹簧，并安装黏性阻尼系数为 $c_2$ 的新阻尼器，使其再次满足临界阻尼条件。比较 $c_1,c_2$ 的大小，并给出作为依据的公式。

以下重新考虑圆板1的旋转运动。移去圆板1的黏性阻尼器，在圆板1相对于涡卷弹簧的另一侧同轴安装新的电动机。电动机固定于地面，通过以 $\theta_{\mathrm{ref}}(t)$ 为目标角度的 PD 控制输出转矩 $\tau(t)$。比例增益为 $k_p$，微分增益为 $k_d$，初始状态静止。$\theta(t),\theta_{\mathrm{ref}}(t),\tau(t)$ 的拉普拉斯变换分别记为 $\Theta(s),\Theta_{\mathrm{ref}}(s),T(s)$。

(5) 求从 $\Theta_{\mathrm{ref}}(s)$ 到 $\Theta(s)$ 的传递函数 $G(s)$，可以使用 $J_1$ 表示。

(6) 当 $J_1,k,k_p,k_d$ 取表2-1中的值时，用折线近似画出 $G(s)$ 的伯德图。横轴角频率 $[\mathrm{rad/s}]$ 的范围须为 $[10^{-4},10^5]$。可以采用近似 $\log_{10}1.01\approx0$。

表2-1（数值及单位同日文原题）

	$J_1\ [\mathrm{kg\cdot m^2}]$	$k\ [\mathrm{N\cdot m/rad}]$	$k_p\ [\mathrm{N\cdot m/rad}]$	$k_d\ [\mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}]$
数值	$1.000$	$98.99$	$1.010$	$101.0$

Kai

(1)

回転の運動方程式は

$$\boxed{J_1\ddot\theta+c_1\dot\theta+k\theta=0}.$$

(2)

臨界減衰では特性方程式の判別式が零なので、

$$c_1^2-4J_1k=0,\qquad\boxed{c_1=2\sqrt{J_1k}}.$$

(3)

穴1個の質量は $\pi\rho r^2$。平行軸の定理により

$$\boxed{\begin{aligned}J_1&=\frac{\pi\rho R^4}{2} -4\pi\rho r^2\left(\frac{r^2}{2}+\frac{R^2}{4}\right)\\ &=\frac{\pi\rho}{2}(R^4-4r^4-2r^2R^2)\end{aligned}}.$$

(4)

同様に

$$J_2=\frac{\pi\rho}{2}\left(R^4-\frac{r^4}{2}-r^2R^2\right),$$

$$J_2-J_1=\frac{\pi\rho}{2}\left(\frac72r^4+r^2R^2\right)>0.$$

$c_i=2\sqrt{kJ_i}$ より、$\boxed{c_2>c_1}$。

(5)

減衰器を外した運動方程式と PD 制御則は

$$(J_1s^2+k)\Theta=T,\qquad T=(k_p+k_ds)(\Theta_{\rm ref}-\Theta).$$

したがって

$$\boxed{G(s)=\frac{k_p+k_ds}{J_1s^2+k_ds+k+k_p}}.$$

(6)

数値を代入して因数分解すると

$$G(s)=\frac{1.01+101s}{s^2+101s+100} =0.0101\frac{1+100s}{(1+s)(1+0.01s)}.$$

折点は $10^{-2},1,10^2\ {\rm rad/s}$。ゲインの傾きは順に $0,+20,0,-20\ {\rm dB/dec}$ となる。

$$L(\omega)\simeq \begin{cases} -40,&\omega\le10^{-2},\\ -40+20\log_{10}(\omega/10^{-2}),&10^{-2}\le\omega\le1,\\ 0,&1\le\omega\le10^2,\\ -20\log_{10}(\omega/10^2),&\omega\ge10^2. \end{cases}$$

位相は $\tan^{-1}(100\omega)-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}(0.01\omega)$。各一次因子の位相変化を折点の $1/10$ 倍から10倍までの直線で近似すると、対数周波数軸上で次の点を結ぶ。

$\omega$	$10^{-4}$	$10^{-3}$	$10^{-1}$	$10$	$10^3$	$10^5$
位相	$0^\circ$	$0^\circ$	$90^\circ$	$0^\circ$	$-90^\circ$	$-90^\circ$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2026年度・第2部、問題2）
• zzy：2026年度機械力学・制御