東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2026年度 機械工学第2部 問題 2

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• Tokyo-University
• Rigid-Body-Moment-of-Inertia
• Damped-Harmonic-Motion
• Transfer-Function
• Bode-Plot-and-Stability-Margins

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

半径 $R$ の薄い円板1が、中心を通る鉛直な固定軸のまわりで水平面内を回転する。単位面積あたりの質量は $\rho$ で、中心から距離 $R/2$ の円周上に半径 $r$ の穴が等間隔で4個ある。穴は重ならない。円板1の慣性モーメントを $J_1$ とする。

地面と円板の間に、中心を一致させたばね定数 $k$ の渦巻ばね、および粘性減衰係数 $c_1$ の減衰器が設けられている。回転角 $\theta(t)$ に対する復元トルクは $-k\theta$、減衰トルクは $-c_1\dot\theta$ であり、臨界減衰条件が成立している。回転以外の運動は無視する。

1. 円板1の運動方程式を求めよ。$J_1$ を用いてよい。
2. $c_1$ を求めよ。$J_1$ を用いてよい。
3. $J_1$ を $R,r,\rho$ で表せ。
4. 半径、面密度、回転軸が円板1と同じ円板2を考える。距離 $R/2$ の円周上に半径 $r/2$ の穴が等間隔に8個あり、互いに重ならない。同じばね定数 $k$ と、新たな減衰係数 $c_2$ で臨界減衰を実現したとき、$c_1,c_2$ の大小を根拠となる数式とともに答えよ。

以下では円板1の減衰器を取り外し、ばねの反対側に地面に固定したモータを同軸に設ける。目標角度 $\theta_{\rm ref}(t)$ に対する PD 制御でトルク $\tau(t)$ を与える。比例ゲインは $k_p$、微分ゲインは $k_d$、初期状態は静止している。$\theta,\theta_{\rm ref},\tau$ のラプラス変換を $\Theta,\Theta_{\rm ref},T$ とする。

5. $\Theta_{\rm ref}(s)$ から $\Theta(s)$ までの伝達関数 $G(s)$ を求めよ。$J_1$ を用いてよい。
6. 次表の値に対する $G(s)$ のボード線図を折れ線近似で描け。横軸は角周波数 $[10^{-4},10^5]\ {\rm rad/s}$ とし、$\log_{10}1.01\simeq0$ と近似してよい。

$J_1\,[{\rm kg\,m^2}]$	$k\,[{\rm N\,m/rad}]$	$k_p\,[{\rm N\,m/rad}]$	$k_d\,[{\rm N\,m\,s/rad}]$
$1.000$	$98.99$	$1.010$	$101.0$

题目描述

半径 $R$、面密度 $\rho$ 的薄圆板1绕中心竖直轴转动，在半径 $R/2$ 的圆周上等间隔挖去4个半径 $r$ 的圆孔。圆板连接扭转刚度 $k$ 的涡卷弹簧和阻尼系数 $c_1$ 的阻尼器，处于临界阻尼状态。求运动方程、$c_1$ 和转动惯量 $J_1$；若改成同半径、同面密度但有8个半径 $r/2$ 圆孔的圆板2，以相同弹簧实现临界阻尼，比较 $c_1,c_2$。随后移去圆板1的阻尼器，施加以目标角为输入的 PD 控制转矩，求闭环传递函数；按表中数值画出指定频率范围内的增益、相位渐近折线。

Kai

(1)

回転の運動方程式は

$$\boxed{J_1\ddot\theta+c_1\dot\theta+k\theta=0}.$$

(2)

臨界減衰では特性方程式の判別式が零なので、

$$c_1^2-4J_1k=0,\qquad\boxed{c_1=2\sqrt{J_1k}}.$$

(3)

穴1個の質量は $\pi\rho r^2$。平行軸の定理により

$$\boxed{J_1=\frac{\pi\rho R^4}{2} -4\pi\rho r^2\left(\frac{r^2}{2}+\frac{R^2}{4}\right) =\frac{\pi\rho}{2}(R^4-4r^4-2r^2R^2)}.$$

(4)

同様に

$$J_2=\frac{\pi\rho}{2}\left(R^4-\frac{r^4}{2}-r^2R^2\right),\qquad J_2-J_1=\frac{\pi\rho}{2}\left(\frac72r^4+r^2R^2\right)>0.$$

$c_i=2\sqrt{kJ_i}$ より、$\boxed{c_2>c_1}$。

(5)

減衰器を外した運動方程式と PD 制御則は

$$(J_1s^2+k)\Theta=T,\qquad T=(k_p+k_ds)(\Theta_{\rm ref}-\Theta).$$

したがって

$$\boxed{G(s)=\frac{k_p+k_ds}{J_1s^2+k_ds+k+k_p}}.$$

(6)

数値を代入して因数分解すると

$$G(s)=\frac{1.01+101s}{s^2+101s+100} =0.0101\frac{1+100s}{(1+s)(1+0.01s)}.$$

折点は $10^{-2},1,10^2\ {\rm rad/s}$。ゲインの傾きは順に $0,+20,0,-20\ {\rm dB/dec}$ となる。

$$L(\omega)\simeq \begin{cases} -40,&\omega\le10^{-2},\\ -40+20\log_{10}(\omega/10^{-2}),&10^{-2}\le\omega\le1,\\ 0,&1\le\omega\le10^2,\\ -20\log_{10}(\omega/10^2),&\omega\ge10^2. \end{cases}$$

位相は $\tan^{-1}(100\omega)-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}(0.01\omega)$。各一次因子の位相変化を折点の $1/10$ 倍から10倍までの直線で近似すると、対数周波数軸上で次の点を結ぶ。

$\omega$	$10^{-4}$	$10^{-3}$	$10^{-1}$	$10$	$10^3$	$10^5$
位相	$0^\circ$	$0^\circ$	$90^\circ$	$0^\circ$	$-90^\circ$	$-90^\circ$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2026年度・第2部、問題2）
• zzy：2026年度機械力学・制御