東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第2部 2025年8月実施 問題 1

Author

Andrea

Description

図 1-1 に示すような両端において単純支持された，高さ の矩形横断面を有する長さ のはり AB が，中央の点 D において長さ ，断面積 の棒 CD にピン結合されている構造を考える．また，棒 CD は点 C において水平な床面とピン結合されている．はり AB は水平方向，棒 CD は鉛直方向を向いている．はり AB は降伏応力 の弾塑性体，棒 CD は線膨張係数 の線形弾性体である．ヤング率，断面二次モーメントは，はり AB と棒 CD で共通で，それぞれ , である．初期状態では，はり AB と棒 CD には応力は加わっていない．はり AB，棒 CD の自重は無視してよい．

いま，棒 CD のみ温度が 上昇した．以下の設問に答えよ．

(1) 点 D において，はり AB と棒 CD 間が互いに及ぼしあっている力を とする．このとき，はり AB の変形は，図 1-2 に示すようにはりの中央に集中荷重 が加わる単純支持はりの変形として考えることができる．点 D におけるはり AB のたわみ を を用いて表せ．

(2) 棒 CD の伸び を を用いて表せ．

(3) を を用いて表せ．

(4) が に達すると，はり AB は降伏を始める． を求めよ．ただし，本設問(4)において棒 CD は座屈しないものとする． 5. 棒 CD が座屈する最低の温度上昇量を とする． となるための条件を， を用いて表せ． ただし，両端が回転軸に支持されている長さ ，ヤング率 ，断面二次モーメント の棒の臨界座屈荷重 は

で与えられるものとする．

Kai

(1) 梁 AB 的挠度推导

设梁 AB 左端为原点 ，梁长 。 由于结构对称，支座反力为 （方向向下）。 任意位置 () 的弯矩为 。 根据挠曲线微分方程 ：

积分两次并利用以下边界条件确定积分常数：

1. 对称性：在梁中点 ()，转角为 0
2. 支持条件：在支座处 ()，位移为 0 解得挠度方程：

当 时，即为 D 点挠度 （取绝对值）：

(2) 棒 CD 的伸长量

应用叠加原理，棒 CD 的总变形由以下两部分组成：

1. 热膨胀（向上伸长）： 由温度升高 引起：
2. 弹性压缩（向下收缩）： 由梁的反力 （压力）引起：

因此，棒 CD 的总伸长量为：

(3) 求相互作用力

利用几何协调条件：在连接点 D，梁的向上位移必须等于棒的向上伸长量。

代入 (1) 和 (2) 的结果：

我们需要解出 。首先消去等式两边的 ，并将含有 的项移到左边：

提取公因式 ：

通分括号内的项（公分母为 ）：

解得最终结果：

(4) 求梁 AB 开始降伏时的温度

梁 AB 发生降伏的条件是最大弯曲正应力达到降伏应力 。

对于跨度为 、中点受力 的简支梁，最大弯矩 发生在跨中：

最大弯曲应力 发生在截面最外缘（距离中性轴 处）：

令 ，解出对应的临界力 ：

将 代入第 (3) 问求得的 与 的关系式中：

消去两边的 ，解出 ：

(5) 棒 CD 发生座屈的条件

题目给定棒 CD 的临界座屈载荷为：

我们要求的是“棒 CD 在梁 AB 降伏之前发生座屈”（即 ）。 由于系统是线性的，内力 与温升 成正比。因此，这一条件等价于：使棒座屈所需的力，必须小于使梁降伏所需的力。

代入前面求出的表达式（注意 ）：

化简步骤：

1. 消去两边的 （材料性质相同，截面二次矩相同）。
2. 两边同乘 （消去分母中的一个 ）。

整理得到最终条件：