東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第2部 2025年8月実施 問題 1

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• Tokyo-University
• Beam-Deflection
• Thermal-Deformation-Compatibility
• Yielding
• Euler-Buckling

Author

Andrea

Description

図 1-1 に示すような両端において単純支持された，高さ $h$ の矩形横断面を有する長さ $2L$ のはり AB が，中央の点 D において長さ $L$，断面積 $S$ の棒 CD にピン結合されている構造を考える．また，棒 CD は点 C において水平な床面とピン結合されている．はり AB は水平方向，棒 CD は鉛直方向を向いている．はり AB は降伏応力 $\sigma_Y$ の弾塑性体，棒 CD は線膨張係数 $\alpha$ の線形弾性体である．ヤング率，断面二次モーメントは，はり AB と棒 CD で共通で，それぞれ $E$, $I$ である．初期状態では，はり AB と棒 CD には応力は加わっていない．はり AB，棒 CD の自重は無視してよい．

いま，棒 CD のみ温度が $\Delta T (>0)$ 上昇した．以下の設問に答えよ．

(1) 点 D において，はり AB と棒 CD 間が互いに及ぼしあっている力を $R_D$ とする．このとき，はり AB の変形は，図 1-2 に示すようにはりの中央に集中荷重 $R_D$ が加わる単純支持はりの変形として考えることができる．点 D におけるはり AB のたわみ $\delta_{AB}$ を $R_D, L, E, I$ を用いて表せ．

(2) 棒 CD の伸び $\delta_{CD}$ を $R_D, L, E, S, \alpha, \Delta T$ を用いて表せ．

(3) $R_D$ を $L, E, I, S, \alpha, \Delta T$ を用いて表せ．

(4) $\Delta T$ が $\Delta T_Y$ に達すると，はり AB は降伏を始める．$\Delta T_Y$ を求めよ．ただし，本設問(4)において棒 CD は座屈しないものとする． 5. 棒 CD が座屈する最低の温度上昇量を $\Delta T_{cr}$ とする．$\Delta T_{cr} < \Delta T_Y$ となるための条件を，$L, h, E, \sigma_Y$ を用いて表せ． ただし，両端が回転軸に支持されている長さ $L$，ヤング率 $E$，断面二次モーメント $I$ の棒の臨界座屈荷重 $P_{cr}$ は

$$P_{cr} = \frac{\pi^2}{L^2}EI$$

で与えられるものとする．

题目描述

长度 $2L$、矩形截面高度 $h$ 的简支梁 AB，在跨中 D 与竖直杆 CD 铰接；杆长 $L$、截面积 $S$，下端 C 与地面铰接。梁为屈服应力 $\sigma_Y$ 的弹塑性体，杆为线膨胀系数 $\alpha$ 的线弹性体；两者杨氏模量均为 $E$、截面二次矩均为 $I$。初始无应力，忽略自重，仅使杆 CD 升温 $\Delta T>0$。

1. 设 D 点梁、杆之间的相互作用力为 $R_D$。把 AB 看成跨中受集中力的简支梁，用 $R_D,L,E,I$ 表示 D 点挠度 $\delta_{AB}$。
2. 综合自由热膨胀与轴向弹性压缩，用 $R_D,L,E,S,\alpha,\Delta T$ 表示杆的净伸长 $\delta_{CD}$。
3. 用 D 点位移协调条件求 $R_D$ 关于结构参数和温升的表达式。
4. 假定杆不座屈，求梁最外缘首次达到 $\sigma_Y$ 时的温升 $\Delta T_Y$。
5. 杆两端均为铰支，其 Euler 临界力为 $P_{\rm cr}=\pi^2EI/L^2$。求杆在梁屈服前先发生座屈，即 $\Delta T_{\rm cr}<\Delta T_Y$，所需的 $L,h,E,\sigma_Y$ 条件。

考点

• 梁挠度：积分 Euler–Bernoulli 挠曲线方程，并用支座位移和跨中对称条件求集中荷载下的中央挠度。
• 热变形协调：把杆的热伸长与受压力产生的弹性缩短叠加，再令连接点的杆伸长等于梁挠度。
• 屈服：由跨中最大弯矩和 $\sigma_{\max}=Mc/I$ 求梁开始屈服对应的相互作用力及温升。
• Euler 屈曲：比较铰支杆临界压力与梁屈服载荷，得到哪种失效模式先发生的判据。

Kai

(1) 梁 AB 的挠度推导

设梁 AB 左端为原点 $x=0$，梁长 $2L$。 由于结构对称，支座反力为 $R_A = R_D/2$（方向向下）。 任意位置 $x$ ($0 \le x \le L$) 的弯矩为 $M(x) = - \frac{R_D}{2}x$。 根据挠曲线微分方程 $EI y'' = -M(x)$：

$$EI \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{R_D}{2}x$$

积分两次并利用以下边界条件确定积分常数：

1. 对称性：在梁中点 ($x=L$)，转角为 0 $\Rightarrow y'(L) = 0$
2. 支持条件：在支座处 ($x=0$)，位移为 0 $\Rightarrow y(0) = 0$ 解得挠度方程：

$$EI y(x) = \frac{R_D}{12}x^3 - \frac{R_D L^2}{4}x$$

当 $x=L$ 时，即为 D 点挠度 $\delta_{AB}$（取绝对值）：

$$\delta_{AB} = |y(L)| = \left| \frac{R_D L^3}{12EI} - \frac{R_D L^3}{4EI} \right| = \frac{R_D L^3}{6EI}$$

(2) 棒 CD 的伸长量 $\delta_{CD}$

应用叠加原理，棒 CD 的总变形由以下两部分组成：

1. 热膨胀（向上伸长）： 由温度升高 $\Delta T$ 引起：$\delta_T = \alpha L \Delta T$
2. 弹性压缩（向下收缩）： 由梁的反力 $R_D$（压力）引起：$\delta_F = \frac{R_D L}{ES}$

因此，棒 CD 的总伸长量为：

$$\delta_{CD} = \delta_T - \delta_F = \alpha L \Delta T - \frac{R_D L}{ES}$$

(3) 求相互作用力 $R_D$

利用几何协调条件：在连接点 D，梁的向上位移必须等于棒的向上伸长量。

$$\delta_{AB} = \delta_{CD}$$

代入 (1) 和 (2) 的结果：

$$\frac{R_D L^3}{6EI} = \alpha L \Delta T - \frac{R_D L}{ES}$$

我们需要解出 $R_D$。首先消去等式两边的 $L$，并将含有 $R_D$ 的项移到左边：

$$\frac{R_D L^2}{6EI} + \frac{R_D}{ES} = \alpha \Delta T$$

提取公因式 $R_D$：

$$R_D \left( \frac{L^2}{6EI} + \frac{1}{ES} \right) = \alpha \Delta T$$

通分括号内的项（公分母为 $6EIS$）：

$$R_D \left( \frac{S L^2 + 6I}{6EIS} \right) = \alpha \Delta T$$

解得最终结果：

$$R_D = \frac{6EIS \alpha \Delta T}{S L^2 + 6I}$$

(4) 求梁 AB 开始降伏时的温度 $\Delta T_Y$

梁 AB 发生降伏的条件是最大弯曲正应力达到降伏应力 $\sigma_Y$。

对于跨度为 $2L$、中点受力 $R_D$ 的简支梁，最大弯矩 $M_{max}$ 发生在跨中：

$$M_{max} = \frac{R_D \cdot (2L)}{4} = \frac{R_D L}{2}$$

最大弯曲应力 $\sigma_{max}$ 发生在截面最外缘（距离中性轴 $y = h/2$ 处）：

$$\sigma_{max} = \frac{M_{max} \cdot \frac{h}{2}}{I} = \frac{\frac{R_D L}{2} \cdot \frac{h}{2}}{I} = \frac{R_D L h}{4I}$$

令 $\sigma_{max} = \sigma_Y$，解出对应的临界力 $R_{D,Y}$：

$$\frac{R_{D,Y} L h}{4I} = \sigma_Y \implies R_{D,Y} = \frac{4I \sigma_Y}{L h}$$

将 $R_{D,Y}$ 代入第 (3) 问求得的 $R_D$ 与 $\Delta T$ 的关系式中：

$$\frac{6EIS \alpha \Delta T_Y}{S L^2 + 6I} = \frac{4I \sigma_Y}{L h}$$

消去两边的 $I$，解出 $\Delta T_Y$：

$$\Delta T_Y = \frac{4 \sigma_Y (S L^2 + 6I)}{6 E S \alpha L h} = \frac{2 \sigma_Y (S L^2 + 6I)}{3 E S \alpha L h}$$

(5) 棒 CD 发生座屈的条件

题目给定棒 CD 的临界座屈载荷为：

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$$

我们要求的是“棒 CD 在梁 AB 降伏之前发生座屈”（即 $\Delta T_{cr} < \Delta T_Y$）。 由于系统是线性的，内力 $R_D$ 与温升 $\Delta T$ 成正比。因此，这一条件等价于：使棒座屈所需的力，必须小于使梁降伏所需的力。

$$P_{cr} < R_{D,Y}$$

代入前面求出的表达式（注意 $R_{D,Y} = \frac{4I \sigma_Y}{L h}$）：

$$\frac{\pi^2 EI}{L^2} < \frac{4I \sigma_Y}{L h}$$

化简步骤：

1. 消去两边的 $I$（材料性质相同，截面二次矩相同）。
2. 两边同乘 $L$（消去分母中的一个 $L$）。

$$\frac{\pi^2 E}{L} < \frac{4 \sigma_Y}{h}$$

整理得到最终条件：

$$\sigma_Y > \frac{\pi^2 E h}{4 L}$$