東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2025年度 機械工学 問題 4

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• Normal-Modes-and-Coupled-Oscillators
• Transfer-Function
• Routh-Hurwitz-Stability
• Steady-State-Error

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

ばね定数 $k$ のばねと減衰係数 $c$ の粘性減衰器で結合された台車1、2を考える。質量は $m_1,m_2$、初期位置からの右向き変位は $x_1(t),x_2(t)$ である。台車1には右向き外力 $f(t)$、台車2には右向き制御力 $u(t)$ が作用する。初期状態は静止している。車輪の質量、空気抵抗、床との摩擦は無視し、水平運動のみを考える。

1. 相対変位 $x(t)=x_1(t)-x_2(t)$ を変数として運動方程式を求めよ。

以下では粘性減衰器を取り外し、$f(t)$ を単位インパルス入力とする。相対変位の目標値 $x_T(t)$ を入力、$x(t)$ を出力とするフィードバック制御を考える。各関数のラプラス変換を大文字で表し、正の定数 $\tau,k_d,k_p$ により

$$U(s)=-\frac{k_ds[X_T(s)-X(s)]+k_p[X_T(s)-X(s)]}{1+\tau s}$$

とする。

2. フィードバック制御系が安定となる条件を導け。
3. $x_T(t)$ が単位ステップ入力のとき、$\lim_{t\to\infty}x(t)$ を求めよ。閉ループは安定とする。

题目描述

质量 $m_1,m_2$ 的两台车用刚度 $k$ 的弹簧及阻尼 $c$ 的阻尼器相连，位移 $x_1,x_2$ 以向右为正。台车1受外力 $f$，台车2受控制力 $u$，初始静止，无摩擦。求相对位移 $x=x_1-x_2$ 的运动方程。随后去掉阻尼器，使 $f$ 为单位脉冲，并采用上式带负号的一阶滞后 PD 控制律，求闭环稳定条件，以及单位阶跃目标下的稳态相对位移。

Kai

(1)

二台車の運動方程式は

$$m_1\ddot x_1=f-c\dot x-kx,\qquad m_2\ddot x_2=u+c\dot x+kx.$$

前式の $m_2$ 倍から後式の $m_1$ 倍を引けば

$$\boxed{m_1m_2\ddot x+(m_1+m_2)c\dot x+(m_1+m_2)kx=m_2f-m_1u}.$$

(2)

$M=m_1m_2$、$K=(m_1+m_2)k$ とおく。$c=0,F=1$ および制御則より

$$X(s)=\frac{m_2(1+\tau s)+m_1(k_ds+k_p)X_T(s)}{D(s)},$$

$$D(s)=M\tau s^3+Ms^2+(K\tau+m_1k_d)s+K+m_1k_p.$$

全パラメータが正なので、三次多項式のラウス条件は

$$M(K\tau+m_1k_d)>M\tau(K+m_1k_p).$$

したがって

$$\boxed{k_d>\tau k_p}.$$

(3)

$X_T(s)=1/s$ と最終値の定理を用いると、

$$\boxed{\lim_{t\to\infty}x(t) =\lim_{s\to0}sX(s) =\frac{m_1k_p}{(m_1+m_2)k+m_1k_p}}.$$

インパルス外力の項はこの極限に寄与しない。

Reference

• 東京大学 公式過去問（2025年度、問題4）
• zzy：2025年度機械力学・制御