東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2024年8月実施 機械工学 問題 4

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• 简正模与耦合振子
• 传递函数
• 劳斯–赫尔维茨稳定判据
• 稳态误差

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図4に示すように，ばね定数 $k$ のばねと，減衰係数 $c$ の粘性減衰器で結合された台車1と台車2から構成される系がある。それぞれの台車の質量を $m_1$ と $m_2$，時刻 $t$ における初期位置からの変位を $x_1(t)$ と $x_2(t)$ とする。台車1には外力 $f(t)$ が作用しており，台車2は力 $u(t)$ で制御されている。初期状態は静止しているものとする。台車の車輪の質量，空気抵抗および床からの摩擦抵抗は無視できるものとする。それぞれの台車の水平方向の運動のみを考えるものとする。以下の設問に答えよ。

(1) 相対変位を $x(t)=x_1(t)-x_2(t)$ とする。$x(t)$ を変数として，この系の運動方程式を求めよ。

以降の設問では粘性減衰器を取り外す。また，$f(t)$ を単位インパルス入力で与える。入力 $x_T(t)$ は相対変位の目標値であり，$x(t)$ を出力とするフィードバック制御系を考える。$f(t),u(t),x(t),x_T(t)$ をラプラス変換したものをそれぞれ $F(s),U(s),X(s),X_T(s)$ とする。$\tau,k_d,k_p$ をそれぞれ正の定数とし，$U(s)$ を以下の式で与える。

$$U(s)=-\frac{k_ds[X_T(s)-X(s)]+k_p[X_T(s)-X(s)]}{1+\tau s}.$$

(2) フィードバック制御系が安定となるための条件を導け。

(3) $x_T(t)$ を単位ステップ入力で与える。$\displaystyle\lim_{t\to\infty}x(t)$ を求めよ。なお，このフィードバック制御系は安定とする。

题目描述

图4所示系统由台车1和台车2组成，两者通过刚度为 $k$ 的弹簧及阻尼系数为 $c$ 的黏性阻尼器连接。两台车的质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$，时刻 $t$ 相对于初始位置的位移分别为 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$。台车1受到外力 $f(t)$，台车2由力 $u(t)$ 控制。初始状态为静止。忽略台车车轮质量、空气阻力及地板的摩擦阻力，仅考虑各台车的水平运动。回答下列问题。

(1) 定义相对位移 $x(t)=x_1(t)-x_2(t)$。以 $x(t)$ 为变量，求该系统的运动方程。

以下各问中移去黏性阻尼器，并令 $f(t)$ 为单位脉冲输入。考虑以相对位移目标值 $x_T(t)$ 为输入、以 $x(t)$ 为输出的反馈控制系统。$f(t),u(t),x(t),x_T(t)$ 的拉普拉斯变换分别记为 $F(s),U(s),X(s),X_T(s)$。$\tau,k_d,k_p$ 均为正常数，$U(s)$ 由下式给出。

$$U(s)=-\frac{k_ds[X_T(s)-X(s)]+k_p[X_T(s)-X(s)]}{1+\tau s}.$$

(2) 导出使反馈控制系统稳定的条件。

(3) 令 $x_T(t)$ 为单位阶跃输入，求 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}x(t)$。假设该反馈控制系统稳定。

Kai

(1)

二台車の運動方程式は

$$m_1\ddot x_1=f-c\dot x-kx,\qquad m_2\ddot x_2=u+c\dot x+kx.$$

前式の $m_2$ 倍から後式の $m_1$ 倍を引けば

$$\boxed{\begin{aligned}m_1m_2\ddot x+(m_1+m_2)c\dot x\\{}+(m_1+m_2)kx=m_2f-m_1u\end{aligned}}.$$

(2)

$M=m_1m_2$、$K=(m_1+m_2)k$ とおく。$c=0,F=1$ および制御則より

$$X(s)=\frac{m_2(1+\tau s)+m_1(k_ds+k_p)X_T(s)}{D(s)},$$

$$D(s)=M\tau s^3+Ms^2+(K\tau+m_1k_d)s+K+m_1k_p.$$

全パラメータが正なので、三次多項式のラウス条件は

$$M(K\tau+m_1k_d)>M\tau(K+m_1k_p).$$

したがって

$$\boxed{k_d>\tau k_p}.$$

(3)

$X_T(s)=1/s$ と最終値の定理を用いると、

$$\boxed{\lim_{t\to\infty}x(t) =\lim_{s\to0}sX(s) =\frac{m_1k_p}{(m_1+m_2)k+m_1k_p}}.$$

インパルス外力の項はこの極限に寄与しない。

Reference

• 東京大学 公式過去問（2025年度、問題4）
• zzy：2025年度機械力学・制御