東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2024年8月実施 機械工学 問題3

标签：

• 东京大学
• 梁的挠度
• 扭转
• 应变片
• 应力变换与主应力

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図3に示すような原点 O において剛体壁面に固定された直径 $D$，長さ $L\ (\gg D)$ の真直な丸棒を考える。丸棒の先端（$x=L$）には集中荷重 $P$ およびねじりモーメント $T$ が作用している。丸棒表面上の点 A（$x=L/2,\ y=0,\ z=D/2$）には，3枚のひずみゲージ a，b，c が貼られている。丸棒の縦弾性係数を $E$，横弾性係数を $G$，ポアソン比を $\nu$ とする。ただし，丸棒の断面二次モーメントは $I=\pi D^4/64$，断面二次極モーメントは $I_p=\pi D^4/32$ である。自重による変形は考慮しなくてよい。以下の設問に答えよ。

(1) 点 A における垂直応力 $\sigma_x$ およびせん断応力 $\tau_{xy}$ を $P,T,L,D$ を用いて示せ。

(2) 点 B（$x=L/2,\ y=0,\ z=0$）における $z$ 方向の変位を $P,L,E,D$ を用いて示せ。

(3) 集中荷重 $P=31.4\ \mathrm{N}$，ねじりモーメント $T=15.7\ \mathrm{N\cdot m}$ のとき，点 A 上のひずみゲージ a，b，c によって測定される各ひずみ $\varepsilon_a,\varepsilon_b,\varepsilon_c$ の値を求めよ。有効数字は3桁とする。ただし，丸棒の直径 $D=20.0\ \mathrm{mm}$，長さ $L=1040\ \mathrm{mm}$，縦弾性係数 $E=208\ \mathrm{GPa}$，横弾性係数 $G=80.0\ \mathrm{GPa}$，ポアソン比 $\nu=0.300$ とする。

次に設問(3)で用いた材料を変更することによって軽量化することを考える。変更後の材料の縦弾性係数は $E=52.0\ \mathrm{GPa}$，横弾性係数は $G=20.0\ \mathrm{GPa}$，ポアソン比は $\nu=0.300$，質量密度は変更前の材料の $1/3$ である。点 B における $z$ 方向の変位が，材料の変更前と同じになるように丸棒の直径を大きくする。このときの直径を $D_1$ とする。以下の設問に答えよ。

(4) $D_1$ は変更前の直径に比べて何倍になるかを示せ。また材料と直径を変更した後の丸棒の重量は，変更前の重量に比べて何倍になるかを示せ。

(5) 材料と直径を変更した後の点 A における $\sigma_x$ は，変更前に比べて何倍になるかを示せ。また同様に，変更後の点 A における $\tau_{xy}$ は変更前に比べて何倍になるかを示せ。

题目描述

考虑图3所示的直圆杆，其直径为 $D$，长度为 $L\ (\gg D)$，在原点 O 处固定于刚性墙面。圆杆端部（$x=L$）作用有集中力 $P$ 和扭矩 $T$。圆杆表面上的 A 点（$x=L/2,\ y=0,\ z=D/2$）贴有三片应变片 a、b、c。设圆杆的纵向弹性模量为 $E$，剪切模量为 $G$，泊松比为 $\nu$。圆杆的截面二次矩为 $I=\pi D^4/64$，极截面二次矩为 $I_p=\pi D^4/32$。不必考虑自重引起的变形。回答下列问题。

(1) 用 $P,T,L,D$ 表示 A 点的正应力 $\sigma_x$ 和剪应力 $\tau_{xy}$。

(2) 用 $P,L,E,D$ 表示 B 点（$x=L/2,\ y=0,\ z=0$）沿 $z$ 方向的位移。

(3) 当集中力 $P=31.4\ \mathrm{N}$、扭矩 $T=15.7\ \mathrm{N\cdot m}$ 时，求 A 点三片应变片 a、b、c 测得的应变 $\varepsilon_a,\varepsilon_b,\varepsilon_c$，保留3位有效数字。圆杆直径 $D=20.0\ \mathrm{mm}$，长度 $L=1040\ \mathrm{mm}$，纵向弹性模量 $E=208\ \mathrm{GPa}$，剪切模量 $G=80.0\ \mathrm{GPa}$，泊松比 $\nu=0.300$。

接着考虑更换第(3)问所用的材料以减轻重量。新材料的纵向弹性模量为 $E=52.0\ \mathrm{GPa}$，剪切模量为 $G=20.0\ \mathrm{GPa}$，泊松比为 $\nu=0.300$，质量密度为原材料的 $1/3$。增大圆杆直径，使 B 点沿 $z$ 方向的位移与更换材料前相同，设此时的直径为 $D_1$。回答下列问题。

(4) $D_1$ 为原直径的多少倍？更换材料和直径后，圆杆重量为原重量的多少倍？

(5) 更换材料和直径后，A 点的 $\sigma_x$ 为原值的多少倍？同样，A 点的 $\tau_{xy}$ 为原值的多少倍？

Kai

(1)

A の断面の曲げモーメントは $PL/2$。A は引張側にあり、横荷重によるせん断応力はこの表面でゼロである。図示のねじり方向では $+x$ 面のせん断応力が $+y$ 向きなので

$$\boxed{\sigma_x=\frac{(PL/2)(D/2)}{I}=\frac{16PL}{\pi D^3}},$$

$$\boxed{\tau_{xy}=\frac{T(D/2)}{I_p}=\frac{16T}{\pi D^3}}.$$

(2)

$z$ 方向変位を $w(x)$ とすると、$EIw''=-P(L-x)$、$w(0)=w'(0)=0$ より

$$w(x)=-\frac{Px^2(3L-x)}{6EI}.$$

したがって

$$\boxed{w_B=w(L/2)=-\frac{5PL^3}{48EI}=-\frac{20PL^3}{3\pi ED^4}}.$$

(3)

A は平面応力状態で、$\sigma_y=0$ だから

$$\varepsilon_a=\frac{\sigma_x}{E},$$

$$\varepsilon_c=-\nu\frac{\sigma_x}{E},$$

$$\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}G.$$

$45^\circ$ ゲージでは

$$\varepsilon_b=\frac{\varepsilon_a+\varepsilon_c+\gamma_{xy}}2.$$

数値を代入すると、有効数字3桁で

$$\boxed{\varepsilon_a=9.99\times10^{-5}},$$

$$\boxed{\varepsilon_b=9.75\times10^{-5}},$$

$$\boxed{\varepsilon_c=-3.00\times10^{-5}}.$$

(4)

(2) より変位一定の条件は $E_1D_1^4=ED^4$。よって

$$\boxed{\frac{D_1}{D}=\left(\frac E{E_1}\right)^{1/4}=\sqrt2}.$$

重量を $W,W_1$ とすると、$W=\rho g\pi D^2L/4$ なので

$$\boxed{\frac{W_1}{W}=\frac{\rho_1}{\rho}\left(\frac{D_1}{D}\right)^2=\frac23}.$$

(5)

(1) の両応力は $D^{-3}$ に比例するため

$$\boxed{\frac{\sigma_{x,1}}{\sigma_x}=\frac{\tau_{xy,1}}{\tau_{xy}}=\left(\frac D{D_1}\right)^3=\frac1{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}}.$$

Reference

• 東京大学公式問題（2025年度、PDF 7–8ページ）
• zzy：2025年度材料力学