東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学 2024年8月実施 問題 2

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祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図2のように，円管内部を流れる液体を考える。液体の物性値は一定であり，密度と粘度はそれぞれ $\rho$ と $\mu$ である。円管の上下端は開口しており，液体は重力で円管の下端から流出する。液体高さ $L$ は円管の内径 $D$ よりも十分に長い（$L\gg D$）。円筒座標系の原点を円管上端の中心にとり，半径方向に $r$ 軸，周方向に $\theta$ 軸，円管の中心軸方向下向きに $z$ 軸を定義する。各方向に対応する速度成分を $u_r,u_\theta,u_z$ とする。重力は $z$ 軸方向のみに作用し，重力加速度を $g$ とする。流れは軸対称であり，旋回しない。壁面において，滑りなし境界条件を満たす。流れは層流で十分に発達している。液面における圧力は大気圧 $p_0$ に等しい。周囲気体が液体の流れに及ぼす影響は無視できる。また，下端出口付近と液面付近における二次流れ，および表面張力の影響は無視できる。以下の設問に答えよ。

(1) 定常状態の連続の式および $z$ 方向の運動方程式は以下のように表される。

$$\frac1r\frac{\partial(ru_r)}{\partial r} +\frac1r\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} +\frac{\partial u_z}{\partial z}=0,$$

$$\begin{aligned} \rho\left(u_r\frac{\partial u_z}{\partial r} +\frac{u_\theta}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\theta} +u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\right) ={}&-\frac{\partial p}{\partial z} +\frac1r\frac{\partial(r\tau_{rz})}{\partial r}\\ &+\frac1r\frac{\partial\tau_{\theta z}}{\partial\theta} +\frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z}+\rho g. \end{aligned}$$

ここで，$p$ は圧力である。上式において，必要な項のみを残し，$u_z$ に関する微分方程式を記述せよ。ただし，せん断応力は以下の式で表される。

$$\begin{aligned} \tau_{zz}&=\mu\left[2\frac{\partial u_z}{\partial z}\right],\\ \tau_{\theta z}&=\mu\left[\frac1r\frac{\partial u_z}{\partial\theta}+\frac{\partial u_\theta}{\partial z}\right],\\ \tau_{rz}&=\mu\left[\frac{\partial u_r}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial r}\right]. \end{aligned}$$

(2) 円管内の速度分布を求めよ。ただし，境界条件を示し，導出過程を記述せよ。

(3) 時間 $\Delta t$ の間に流出する液体の体積 $V$ を求めよ。

(4) 時間 $\Delta t=250\ \mathrm{s}$ の間に流出する液体の体積 $V$ が $1.57\times10^{-6}\ \mathrm{m^3}$ であった。円管の内径 $D$ が $4.0\times10^{-4}\ \mathrm{m}$，液体の密度が $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ であるとき，この液体の動粘性係数の値を単位とともに示せ。ただし，円周率を $3.14$，重力加速度を $10\ \mathrm{m/s^2}$ として計算してよい。

(5) 円管の代わりに，断面が正方形の管を用いる。この正方形管の内面の各辺の長さは，円管の内径 $D$ と等しいものとする。同じ体積の液体が流出するまでの時間は，円管の場合に対して何倍になるか。ただし，正方形管の摩擦係数 $C_f$ は以下で表される。

$$C_f\equiv\frac{2\tau_w}{\rho U^2}=\frac{14.2}{Re}.$$

ここで，$\tau_w$ は壁面せん断応力，$U$ は断面平均流速，$Re$ はレイノルズ数である。

题目描述

考虑图2中在圆管内部流动的液体。液体的物性为常数，密度和动力黏度分别为 $\rho$ 和 $\mu$。圆管上下端均开口，液体在重力作用下从管的下端流出。液柱高度 $L$ 远大于圆管内径 $D$（$L\gg D$）。以圆管上端中心为柱坐标系原点，径向为 $r$ 轴，周向为 $\theta$ 轴，沿圆管中心轴向下为 $z$ 轴。对应的速度分量为 $u_r,u_\theta,u_z$。重力仅沿 $z$ 轴方向作用，重力加速度为 $g$。流动轴对称且无旋流，在壁面满足无滑移边界条件，为充分发展的层流。液面压力等于大气压 $p_0$。忽略周围气体对液流的影响，同时忽略下端出口和液面附近的二次流以及表面张力的影响。回答下列问题。

(1) 稳态连续性方程及 $z$ 方向的运动方程如下。

$$\frac1r\frac{\partial(ru_r)}{\partial r} +\frac1r\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} +\frac{\partial u_z}{\partial z}=0,$$

$$\begin{aligned} \rho\left(u_r\frac{\partial u_z}{\partial r} +\frac{u_\theta}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\theta} +u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\right) ={}&-\frac{\partial p}{\partial z} +\frac1r\frac{\partial(r\tau_{rz})}{\partial r}\\ &+\frac1r\frac{\partial\tau_{\theta z}}{\partial\theta} +\frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z}+\rho g. \end{aligned}$$

其中 $p$ 为压力。仅保留上式中所需的项，写出关于 $u_z$ 的微分方程。应力分量由下式给出。

$$\begin{aligned} \tau_{zz}&=\mu\left[2\frac{\partial u_z}{\partial z}\right],\\ \tau_{\theta z}&=\mu\left[\frac1r\frac{\partial u_z}{\partial\theta}+\frac{\partial u_\theta}{\partial z}\right],\\ \tau_{rz}&=\mu\left[\frac{\partial u_r}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial r}\right]. \end{aligned}$$

(2) 求圆管内的速度分布。写明边界条件，并给出推导过程。

(3) 求时间 $\Delta t$ 内流出液体的体积 $V$。

(4) 在 $\Delta t=250\ \mathrm{s}$ 内流出液体的体积 $V$ 为 $1.57\times10^{-6}\ \mathrm{m^3}$。圆管内径 $D=4.0\times10^{-4}\ \mathrm{m}$，液体密度为 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$。求该液体的运动黏度并写明单位。计算时可取圆周率为 $3.14$，重力加速度为 $10\ \mathrm{m/s^2}$。

(5) 将圆管换成横截面为正方形的管，其内表面的每条边长均等于圆管内径 $D$。流出同样体积的液体所需的时间是圆管情形的多少倍？正方形管的摩擦系数 $C_f$ 为

$$C_f\equiv\frac{2\tau_w}{\rho U^2}=\frac{14.2}{Re},$$

其中 $\tau_w$ 为壁面剪切应力，$U$ 为截面平均流速，$Re$ 为雷诺数。

Kai

(1)

旋回がなく十分発達しているので $u_\theta=0$、$\partial_z u_z=0$。連続の式から $ru_r$ は一定で、中心で有限なため $u_r=0$。したがって

$$0=-\frac{dp}{dz}+\frac\mu r\frac{d}{dr}\left(r\frac{du_z}{dr}\right)+\rho g.$$

十分発達した流れでは $dp/dz$ は一定である。液面と流出口の圧力がともに $p_0$ なので $dp/dz=0$。よって

$$\boxed{\frac1r\frac{d}{dr}\left(r\frac{du_z}{dr}\right)=-\frac{\rho g}{\mu}}.$$

(2)

一度積分すると

$$r\frac{du_z}{dr}=-\frac{\rho g}{2\mu}r^2+C_1.$$

中心で速度勾配が有限であることから $C_1=0$。さらに積分し、壁面条件 $u_z(D/2)=0$ を用いると

$$\boxed{u_z(r)=\frac{\rho g}{4\mu}\left(\frac{D^2}{4}-r^2\right)}.$$

(3)

$$Q=\int_0^{D/2}2\pi r u_z(r)\,dr=\frac{\pi\rho gD^4}{128\mu},$$

$$\boxed{V=\frac{\pi\rho gD^4}{128\mu}\Delta t}.$$

(4)

$$\boxed{\nu=\frac\mu\rho=\frac{\pi gD^4\Delta t}{128V} =1.00\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}}.$$

(5)

正方形管の水力直径は $D_h=4D^2/(4D)=D$。長さ $L$ の液体の力の釣合いから、周平均の壁面せん断応力は

$$4DL\tau_w=\rho gD^2L,\qquad \tau_w=\frac{\rho gD}{4}.$$

$Re=UD/\nu$ を摩擦係数の式に代入すると

$$\frac{gD}{2U^2}=\frac{14.2\nu}{UD},$$

$$U=\frac{gD^2}{28.4\nu},$$

$$Q_{\square}=D^2U=\frac{gD^4}{28.4\nu}.$$

同体積を流出させる時間は流量に反比例するので、

$$\boxed{\frac{\Delta t_{\square}}{\Delta t_{\circ}} =\frac{Q_{\circ}}{Q_{\square}}=\frac{14.2\pi}{64}\simeq0.697}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問・問題訂正（2025年度）
• zzy の解答・解説