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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学 2024年8月実施 問題 2

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Author​

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

両端が大気に開放された鉛直円管内を、密度 ρ\rho、粘度 μ\mu の液体が重力によって流下する。管内径を DD、液柱の長さを L≫DL\gg D、大気圧を p0p_0、重力加速度を gg とする。円管上端の中心を原点とし、鉛直下向きを zz、半径方向を rr、周方向を θ\theta とする。流れは旋回のない軸対称で十分発達した層流とし、管壁で滑りはない。液面付近と流出口付近の二次元的な流れ、周囲の空気の影響、表面張力を無視する。

円管内の流れと正方形管の断面

(1) 定常状態の連続の式および zz 方向の運動方程式は

1r∂(rur)∂r+1r∂uθ∂θ+∂uz∂z=0,\frac1r\frac{\partial(ru_r)}{\partial r} +\frac1r\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} +\frac{\partial u_z}{\partial z}=0,
ρ(ur∂uz∂r+uθr∂uz∂θ+uz∂uz∂z)=−∂p∂z+1r∂(rτrz)∂r+1r∂τθz∂θ+∂τzz∂z+ρg\rho\left(u_r\frac{\partial u_z}{\partial r} +\frac{u_\theta}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\theta} +u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\right) =-\frac{\partial p}{\partial z} +\frac1r\frac{\partial(r\tau_{rz})}{\partial r} +\frac1r\frac{\partial\tau_{\theta z}}{\partial\theta} +\frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z}+\rho g

である。ただし

τrz=μ(∂ur∂z+∂uz∂r),τθz=μ(1r∂uz∂θ+∂uθ∂z),τzz=2μ∂uz∂z.\tau_{rz}=\mu\left(\frac{\partial u_r}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial r}\right),\quad \tau_{\theta z}=\mu\left(\frac1r\frac{\partial u_z}{\partial\theta}+\frac{\partial u_\theta}{\partial z}\right),\quad \tau_{zz}=2\mu\frac{\partial u_z}{\partial z}.

必要な項のみを残して、uzu_z を記述する微分方程式を示せ。

(2) 境界条件と導出過程を示し、管内の速度分布を求めよ。

(3) 時間 Δt\Delta t に流出する液体の体積 VV を求めよ。

(4) Δt=250 s\Delta t=250\ \mathrm{s}、V=1.57×10−6 m3V=1.57\times10^{-6}\ \mathrm{m^3}、D=4.0×10−4 mD=4.0\times10^{-4}\ \mathrm{m}、ρ=1000 kg/m3\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3} のとき、動粘性係数を単位とともに求めよ。π=3.14\pi=3.14、g=10 m/s2g=10\ \mathrm{m/s^2} を用いよ。

(5) 断面が正方形で、内面の各辺の長さが DD の管に置き換える。同体積の液体が流出する時間は円管の場合の何倍か。ただし正方形管の摩擦係数は

Cf≡2τwρU2=14.2ReC_f\equiv\frac{2\tau_w}{\rho U^2}=\frac{14.2}{Re}

とする。τw\tau_w は壁面せん断応力、UU は断面平均流速、ReRe はレイノルズ数である。

题目描述​

液体在两端通大气的竖直圆管中靠重力流下，密度 ρ\rho、黏度 μ\mu、管径 DD、液柱长度 L≫DL\gg D。取 zz 向下，流动轴对称、无旋流、充分发展且为层流，壁面无滑移，忽略端部效应、空气影响和表面张力。化简柱坐标连续性与动量方程，求速度分布及 Δt\Delta t 内流出体积。给定 Δt=250 s\Delta t=250\ \mathrm{s}、V=1.57×10−6 m3V=1.57\times10^{-6}\ \mathrm{m^3}、D=4.0×10−4 mD=4.0\times10^{-4}\ \mathrm{m}、ρ=1000 kg/m3\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}，求运动黏度；取 π=3.14\pi=3.14、g=10 m/s2g=10\ \mathrm{m/s^2}。再换成各边长均为 DD 的方管，利用 Cf=2τw/(ρU2)=14.2/ReC_f=2\tau_w/(\rho U^2)=14.2/Re，求排出同体积液体所需时间的倍数。

Kai​

(1)​

旋回がなく十分発達しているので uθ=0u_\theta=0、∂zuz=0\partial_z u_z=0。連続の式から rurru_r は一定で、中心で有限なため ur=0u_r=0。したがって

0=−dpdz+μrddr(rduzdr)+ρg.0=-\frac{dp}{dz}+\frac\mu r\frac{d}{dr}\left(r\frac{du_z}{dr}\right)+\rho g.

十分発達した流れでは dp/dzdp/dz は一定である。液面と流出口の圧力がともに p0p_0 なので dp/dz=0dp/dz=0。よって

1rddr(rduzdr)=−ρgμ.\boxed{\frac1r\frac{d}{dr}\left(r\frac{du_z}{dr}\right)=-\frac{\rho g}{\mu}}.

(2)​

一度積分すると

rduzdr=−ρg2μr2+C1.r\frac{du_z}{dr}=-\frac{\rho g}{2\mu}r^2+C_1.

中心で速度勾配が有限であることから C1=0C_1=0。さらに積分し、壁面条件 uz(D/2)=0u_z(D/2)=0 を用いると

uz(r)=ρg4μ(D24−r2).\boxed{u_z(r)=\frac{\rho g}{4\mu}\left(\frac{D^2}{4}-r^2\right)}.

(3)​

Q=∫0D/22πruz(r) dr=πρgD4128μ,V=πρgD4128μΔt.Q=\int_0^{D/2}2\pi r u_z(r)\,dr=\frac{\pi\rho gD^4}{128\mu},\qquad \boxed{V=\frac{\pi\rho gD^4}{128\mu}\Delta t}.

(4)​

ν=μρ=πgD4Δt128V=1.00×10−6 m2/s.\boxed{\nu=\frac\mu\rho=\frac{\pi gD^4\Delta t}{128V} =1.00\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}}.

(5)​

正方形管の水力直径は Dh=4D2/(4D)=DD_h=4D^2/(4D)=D。長さ LL の液体の力の釣合いから、周平均の壁面せん断応力は

4DLτw=ρgD2L,τw=ρgD4.4DL\tau_w=\rho gD^2L,\qquad \tau_w=\frac{\rho gD}{4}.

Re=UD/νRe=UD/\nu を摩擦係数の式に代入すると

gD2U2=14.2νUD,U=gD228.4ν,Q□=D2U=gD428.4ν.\frac{gD}{2U^2}=\frac{14.2\nu}{UD},\qquad U=\frac{gD^2}{28.4\nu},\qquad Q_{\square}=D^2U=\frac{gD^4}{28.4\nu}.

同体積を流出させる時間は流量に反比例するので、

Δt□Δt∘=Q∘Q□=14.2π64≃0.697.\boxed{\frac{\Delta t_{\square}}{\Delta t_{\circ}} =\frac{Q_{\circ}}{Q_{\square}}=\frac{14.2\pi}{64}\simeq0.697}.

Reference​

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