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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2024年8月実施 機械工学 問題1 II

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

II​

十分大きい水槽内に置かれた十分長い一本の冷却円管を用いて，水槽内の水を冷却する。冷却円管の外径は 2r12r_1 である。図1-2に示すように，この冷却円管の中心軸を zz 軸とし，rr は半径方向の位置である。冷却円管の外表面（r=r1r=r_1）における熱流束は，任意の位置 zz，時刻 tt において半径方向内向きで，その大きさは一定値 qwq_w である。時刻 t=0t=0 における水槽内の水の温度は均一で，冷却円管外表面の温度と等しかった。水槽内の水の流れと輻射，相変化は無視できるとする。水の密度 ρ\rho，比熱 CC，熱伝導率 λ\lambda は一定である。

(1) 図1-3は冷却円管を zz 軸方向から見た図である。図1-3において微小厚さ drdr，軸方向単位長さの検査体積を考えたとき，検査体積に流入する熱量 Q(r)Q(r) を，熱伝導率 λ\lambda と水の温度 TT を含む式で記述せよ。

(2) 図1-3の検査体積における熱収支は，Q(r)Q(r) を用いて式(1.1)のように書ける。設問(1)で得られた Q(r)Q(r) の式を，式(1.1)に代入して，T(t,r)T(t,r) に関する非定常熱伝導方程式を導け。

ρC∂T∂t⋅2πr⋅dr=Q(r)−Q(r+dr).(1.1)\rho C\frac{\partial T}{\partial t}\cdot 2\pi r\cdot dr =Q(r)-Q(r+dr).\tag{1.1}

(3) 各時刻において水の温度分布は定常状態と近似できるとする。ある時刻 t=t0t=t_0 で r=r2 (>r1)r=r_2\ (>r_1) における水の温度が T2T_2 であったとき，この時刻における r1<r<r2r_1<r<r_2 の水の温度分布 TT を，rr の関数として示せ。

図1-2・図1-3：冷却円管と円筒状検査体積

题目描述​

II

用一根放置在足够大水槽内的足够长冷却圆管冷却槽中的水。冷却圆管的外径为 2r12r_1。如图1-2所示，以冷却圆管的中心轴为 zz 轴，rr 表示径向位置。在任意位置 zz 和时刻 tt，冷却圆管外表面（r=r1r=r_1）上的热流密度均沿径向向内，大小恒为 qwq_w。在 t=0t=0 时，水槽内水温均匀，且等于冷却圆管外表面的温度。忽略水槽中水的流动、辐射及相变。水的密度 ρ\rho、比热容 CC 和热导率 λ\lambda 均为常数。

(1) 图1-3为沿 zz 轴方向观察冷却圆管的图。在图1-3中，考虑厚度为微小量 drdr、轴向长度为单位长度的控制体，用包含热导率 λ\lambda 和水温 TT 的式子表示流入控制体的热量 Q(r)Q(r)。

(2) 图1-3中控制体的热量平衡可用 Q(r)Q(r) 写成式(1.1)。将第(1)问所得 Q(r)Q(r) 代入式(1.1)，导出关于 T(t,r)T(t,r) 的非稳态导热方程。

ρC∂T∂t⋅2πr⋅dr=Q(r)−Q(r+dr).(1.1)\rho C\frac{\partial T}{\partial t}\cdot2\pi r\cdot dr =Q(r)-Q(r+dr).\tag{1.1}

(3) 假设每一时刻的水温分布均可近似为稳态。在某时刻 t=t0t=t_0，r=r2 (>r1)r=r_2\ (>r_1) 处的水温为 T2T_2。请将此时 r1<r<r2r_1<r<r_2 区域内的水温分布 TT 表示为 rr 的函数。

图1-2、图1-3：冷却圆管及圆筒形控制体

Kai​

(1)​

半径方向外向きを熱流の正方向にとると、フーリエの法則より

Q(r)=−2πrλ∂T∂r.\boxed{Q(r)=-2\pi r\lambda\frac{\partial T}{\partial r}}.

(2)​

Q(r+dr)=Q(r)+Q′(r)dr+o(dr)Q(r+dr)=Q(r)+Q'(r)dr+o(dr) を熱収支式に代入すると

ρC 2πr∂T∂t=2πλ∂∂r(r∂T∂r).\rho C\,2\pi r\frac{\partial T}{\partial t} =2\pi\lambda\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right).

したがって

∂T∂t=λρC1r∂∂r(r∂T∂r).\boxed{\frac{\partial T}{\partial t} =\frac{\lambda}{\rho C}\frac1r\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)}.

(3)​

定常近似では (rT′)′=0(rT')'=0 より T=Aln⁡r+BT=A\ln r+B。表面熱流は内向きなので

−λT′(r1)=−qw,A=r1qwλ.-\lambda T'(r_1)=-q_w, \qquad A=\frac{r_1q_w}{\lambda}.

T(r2)=T2T(r_2)=T_2 を用いて

T(r)=T2+r1qwλln⁡rr2.\boxed{T(r)=T_2+\frac{r_1q_w}{\lambda}\ln\frac r{r_2}}.

r<r2r<r_2 では T(r)<T2T(r)<T_2 となり、熱は水から冷却管へ流れる。

Reference​

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