跳到主要内容

東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2025年度 機械工学 問題1 II

标签：

Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

半径 r1r_1 の十分長い冷却円管を大きな水槽内に置く。円管表面での熱流束は半径方向内向きで、大きさ qw>0q_w>0 は一定である。水は初め一様温度にあり、流れ・放射・相変化を無視する。密度 ρ\rho、比熱 CC、熱伝導率 λ\lambda は一定とする。

  1. 半径 rr、厚さ drdr、軸方向単位長さの円筒殻を考え、内側の面を通って円筒殻へ流入する熱量の時間率 Q(r)Q(r) を λ,T\lambda,T で表せ。
  2. ρC(∂T/∂t)2πr dr=Q(r)−Q(r+dr)\rho C(\partial T/\partial t)2\pi r\,dr=Q(r)-Q(r+dr) から非定常熱伝導方程式を導け。
  3. 時刻 t0t_0 の温度場を定常と近似し、T(r2)=T2T(r_2)=T_2（r2>r1r_2>r_1）のとき r1<r<r2r_1<r<r_2 の温度を求めよ。

题目描述​

半径为 r1r_1 的长冷却管置于大水槽内。管壁处热流向内，大小恒为 qw>0q_w>0。忽略水流、辐射和相变，物性为常数。对单位轴长的薄圆环控制体，求内表面传入的热量率，导出径向非稳态导热方程，再在准稳态及 T(r2)=T2T(r_2)=T_2 下求温度分布。

Kai​

(1)​

半径方向外向きを熱流の正方向にとると、フーリエの法則より

Q(r)=−2πrλ∂T∂r.\boxed{Q(r)=-2\pi r\lambda\frac{\partial T}{\partial r}}.

(2)​

Q(r+dr)=Q(r)+Q′(r)dr+o(dr)Q(r+dr)=Q(r)+Q'(r)dr+o(dr) を熱収支式に代入すると

ρC 2πr∂T∂t=2πλ∂∂r(r∂T∂r).\rho C\,2\pi r\frac{\partial T}{\partial t} =2\pi\lambda\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right).

したがって

∂T∂t=λρC1r∂∂r(r∂T∂r).\boxed{\frac{\partial T}{\partial t} =\frac{\lambda}{\rho C}\frac1r\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)}.

(3)​

定常近似では (rT′)′=0(rT')'=0 より T=Aln⁡r+BT=A\ln r+B。表面熱流は内向きなので

−λT′(r1)=−qw,A=r1qwλ.-\lambda T'(r_1)=-q_w, \qquad A=\frac{r_1q_w}{\lambda}.

T(r2)=T2T(r_2)=T_2 を用いて

T(r)=T2+r1qwλln⁡rr2.\boxed{T(r)=T_2+\frac{r_1q_w}{\lambda}\ln\frac r{r_2}}.

r<r2r<r_2 では T(r)<T2T(r)<T_2 となり、熱は水から冷却管へ流れる。

Reference​

本页目录