東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2023年8月実施 問題 2 設問 II

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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

水平に対して角度 $\theta$ の斜面を、密度 $\rho$、粘度 $\mu$、一定厚さ $\delta$ の非圧縮性液膜が流れる。定常で十分発達した二次元層流とし、斜面下向きを $x$、壁面から液面に向かう法線方向を $y$ とする。速度成分は $(u,v)$、重力加速度は $g$。自由表面 $y=\delta$ の圧力は $p_0$、せん断応力は零である。

(1) $v$ の分布を導け。(2) 圧力分布を導け。

(3) 壁面から自由表面まで、流れ方向長さ $dx$ の検査体積について運動量保存則を用い、壁面に働くせん断応力 $\tau_w$ を求めよ。

(4) 平均流速 $U_0$ に対して $c_f=\tau_w/(\frac12\rho U_0^n)$ が無次元となる整数 $n$ を求めよ。

(5) $c_f$ を $g,U_0,\delta,\theta$ で表せ。

题目描述

密度 $\rho$、黏度 $\mu$、厚度 $\delta$ 恒定的液膜沿倾角 $\theta$ 的斜面作充分发展、二维定常层流。$x$ 沿斜面向下，$y$ 为离壁法线方向；液面压力为 $p_0$、切应力为零。求法向速度及压力分布，用控制体动量方程求壁面切应力，再确定 $c_f=\tau_w/(\rho U_0^n/2)$ 中使其无量纲的 $n$，并求 $c_f$。

Kai

(1)

十分発達しているので $\partial u/\partial x=0$。連続の式より $\partial v/\partial y=0$ であり、壁面の不透過条件 $v(0)=0$ から

$$\boxed{v=0}.$$

(2)

$y$ 方向の運動方程式は

$$0=-\frac{\partial p}{\partial y}-\rho g\cos\theta.$$

$p(\delta)=p_0$ を用いて積分すると、

$$\boxed{p(x,y)=p_0+\rho g(\delta-y)\cos\theta}.$$

(3)

単位奥行きの検査体積をとる。流入・流出の運動量流束と圧力合力はそれぞれ相殺され、自由表面のせん断力は零である。よって

$$\rho g\delta\sin\theta\,dx-\tau_w\,dx=0,\qquad \boxed{\tau_w=\rho g\delta\sin\theta}.$$

壁面が受ける力の向きは斜面下向きである。

(4)

$[\tau_w/\rho]=L^2T^{-2}$ より、$\boxed{n=2}$。

(5)

$$\boxed{c_f=\frac{2g\delta\sin\theta}{U_0^2}}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2024年度）
• SN の解答・解説
• zzy の解答・解説