東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2023年8月実施 問題 2 設問 II

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• 东京大学
• 纳维–斯托克斯方程
• 重力降膜流
• 量纲分析与相似律

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

II

図2-2に示すような水平面に対して角度 $\theta$ を持つ傾斜壁面上を流れる二次元液膜流れを考える。液膜を構成する液体は非圧縮性であり、密度 $\rho$ と粘度 $\mu$ は一定である。流れは定常層流であり十分に発達している。液膜の厚さ $\delta$ は一定である。重力は鉛直下向きに作用し、重力加速度の大きさを $g$ とする。座標系 $(x,y)$ の原点を傾斜壁面上にとり、$x$ 軸を傾斜壁面に接する流れ方向に、$y$ 軸を壁面垂直方向にとる。各方向に対応する速度成分を $u,v$ とする。液膜表面における圧力は周囲の大気圧 $p_0$ と等しい。また、液膜表面に働くせん断応力は無視する。以下の設問に答えよ。

(1) 液膜内部における $v$ の空間分布を求めよ。導出過程も示せ。

(2) 液膜内部における圧力 $p$ の空間分布を求めよ。導出過程も示せ。

(3) 図2-2の検査体積ABCDにおける $x$ 方向の運動量保存則に基づき、傾斜壁面に働くせん断応力 $\tau_w$ を $g,\delta,\theta,\rho$ を用いて表せ。導出過程も示せ。

(4) 液膜内部の平均流速 $U_0$ を用いて、無次元の摩擦係数 $c_f$ は次式で定義される。

$$c_f=\frac{\tau_w}{\frac12\rho U_0^n}$$

適切な整数 $n$ の値を求めよ。

(5) 設問 (4) で定義した $c_f$ を $g,U_0,\delta,\theta$ を用いて表せ。

题目描述

II. 考虑图2-2所示、沿相对于水平面倾斜 $\theta$ 的壁面流动的二维液膜。液体不可压缩，密度 $\rho$、黏度 $\mu$ 恒定。流动为充分发展的定常层流，液膜厚度 $\delta$ 恒定。重力竖直向下，重力加速度大小为 $g$。坐标系 $(x,y)$ 的原点位于倾斜壁面上，$x$ 轴沿壁面切向的流动方向，$y$ 轴垂直于壁面，对应的速度分量为 $u,v$。液膜表面压力等于周围大气压 $p_0$，忽略液膜表面的剪应力。回答以下问题。

(1) 求液膜内 $v$ 的空间分布，并写出推导过程。

(2) 求液膜内压力 $p$ 的空间分布，并写出推导过程。

(3) 根据图2-2中控制体ABCD在 $x$ 方向的动量守恒，用 $g,\delta,\theta,\rho$ 表示倾斜壁面受到的剪应力 $\tau_w$，并写出推导过程。

(4) 利用液膜内的平均流速 $U_0$，无量纲摩擦系数 $c_f$ 定义为

$$c_f=\frac{\tau_w}{\frac12\rho U_0^n}.$$

求适当的整数 $n$。

(5) 用 $g,U_0,\delta,\theta$ 表示第 (4) 问定义的 $c_f$。

Kai

(1)

十分発達しているので $\partial u/\partial x=0$。連続の式より $\partial v/\partial y=0$ であり、壁面の不透過条件 $v(0)=0$ から

$$\boxed{v=0}.$$

(2)

$y$ 方向の運動方程式は

$$0=-\frac{\partial p}{\partial y}-\rho g\cos\theta.$$

$p(\delta)=p_0$ を用いて積分すると、

$$\boxed{p(x,y)=p_0+\rho g(\delta-y)\cos\theta}.$$

(3)

単位奥行きの検査体積をとる。流入・流出の運動量流束と圧力合力はそれぞれ相殺され、自由表面のせん断力は零である。よって

$$\rho g\delta\sin\theta\,dx-\tau_w\,dx=0,\qquad \boxed{\tau_w=\rho g\delta\sin\theta}.$$

壁面が受ける力の向きは斜面下向きである。

(4)

$[\tau_w/\rho]=L^2T^{-2}$ より、$\boxed{n=2}$。

(5)

$$\boxed{c_f=\frac{2g\delta\sin\theta}{U_0^2}}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2024年度）
• SN の解答・解説
• zzy の解答・解説