東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2023年8月実施 問題 2 設問 I

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

一様流中の風車を面積 $A_T$ の薄い円板 T でモデル化する。密度 $\rho$ は一定、流れは定常、各断面の速度は一様で、損失を無視する。流管の十分上流 0、円板 T、十分下流 1 における面積と速度を $(A_0,U_0),(A_T,U_T),(A_1,U_1)$ とする。断面 0、1 および流管側面の圧力は大気圧である。風車の出力を $\dot W$ として

$$\eta=\frac{\dot W}{\frac12\rho A_TU_0^3}$$

と定義する。

(1) 運動量保存則から風車に働く力 $F$ を $\rho,A_0,U_0,U_1$ で表せ。

(2) エネルギー保存則から $\dot W$ を $\rho,A_T,U_0,U_1,U_T$ で表せ。

(3) $FU_T=\dot W$ より $U_T$ を求めよ。

(4) $\eta$ を $U_0,U_1$ で表せ。(5) $\eta$ の最大値を求めよ。

题目描述

将风车看成面积 $A_T$ 的薄圆盘；远上游、圆盘和远下游的截面积及均匀流速分别为 $(A_0,U_0),(A_T,U_T),(A_1,U_1)$。密度恒定，无流动损失，上下游及流管侧面的压力均为大气压。求风车受力、功率、圆盘处速度、按 $\rho A_TU_0^3/2$ 归一化的效率及其最大值。

Kai

(1)

連続の式より $Q=A_0U_0=A_TU_T=A_1U_1$。流体が受ける力は $-F$ なので、

$$-F=\rho Q(U_1-U_0),\qquad \boxed{F=\rho A_0U_0(U_0-U_1)}.$$

(2)

流体の運動エネルギー流束の減少が出力であるから、

$$\boxed{\dot W=\frac12\rho Q(U_0^2-U_1^2)=\frac12\rho A_TU_T(U_0^2-U_1^2)}.$$

(3)

$FU_T=\dot W$ に (1)、(2) を代入して、

$$\boxed{U_T=\frac{U_0+U_1}{2}}.$$

(4)

$$\boxed{\eta=\frac{(U_0+U_1)(U_0^2-U_1^2)}{2U_0^3}}.$$

(5)

$a=U_1/U_0\;(0<a<1)$ とおくと、

$$\eta=\frac12(1+a)^2(1-a),\qquad \frac{d\eta}{da}=\frac12(1+a)(1-3a).$$

したがって $a=1/3$ で最大となり、

$$\boxed{\eta_{\max}=\frac{16}{27}}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2024年度）
• SN の解答・解説
• zzy の解答・解説