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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2023年8月実施 問題 2 設問 I

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

I​

速度 U0U_0 で一様な空気の流れの下流に置かれた風車のモデルとして、図2-1に示す単純化された系を考える。空気の密度 ρ\rho は一定とする。風車は、流れ方向（xx 軸方向）の厚さを無視して、面積 ATA_T の断面Tに置き換えて考えることにする。断面Tを通過する空気の流速は UTU_T である。図2-1の破線は、断面Tを通過する流れの流管を示している。断面0を風車よりも十分上流の位置に、断面1を風車よりも十分下流の位置にとる。断面0および断面1における圧力は大気圧とみなせる。それぞれの断面における流管の面積は A0,A1A_0,A_1 である。断面0および断面1における流速はそれぞれ U0,U1U_0,U_1 である。流れは定常であり、流管内の任意の断面において流速は均一である。また、流れの損失は無視できる。風車の効率 η\eta は、風車が流体から受ける仕事率を W˙\dot W として、

η=W˙12ρATU03\eta=\frac{\dot W}{\frac12\rho A_TU_0^3}

と定義される。以下の設問に答えよ。

(1) 断面0から断面1までの流管を検査体積にとり、xx 軸方向の運動量保存則を考えることで、風車が流体から受ける力 FF を、ρ,A0,U0,U1\rho,A_0,U_0,U_1 を用いて表せ。ただし、流管の表面における圧力は大気圧とみなしてよい。

(2) エネルギー保存則より、W˙\dot W を ρ,AT,U0,U1,UT\rho,A_T,U_0,U_1,U_T を用いて表せ。

(3) FUT=W˙FU_T=\dot W の関係を利用して、UTU_T を U0,U1U_0,U_1 を用いて表せ。

(4) η\eta を U0,U1U_0,U_1 を用いて表せ。

(5) η\eta の最大値を求めよ。

図2-1

题目描述​

I. 考虑图2-1的简化系统，以模拟置于速度为 U0U_0 的均匀气流下游的风车。空气密度 ρ\rho 恒定。忽略风车沿流动方向（xx 轴方向）的厚度，将其替换为面积 ATA_T 的截面T。空气通过截面T的流速为 UTU_T。图中的虚线表示通过截面T的流管。截面0位于风车的足够远上游，截面1位于足够远下游；两截面的压力可视为大气压。流管在这两个截面的面积分别为 A0,A1A_0,A_1，流速分别为 U0,U1U_0,U_1。流动定常，流管内任意截面上的流速均匀，流动损失可忽略。设风车从流体获得的功率为 W˙\dot W，定义风车效率为

η=W˙12ρATU03.\eta=\frac{\dot W}{\frac12\rho A_TU_0^3}.

回答以下问题。

(1) 取截面0至截面1之间的流管为控制体，考虑 xx 轴方向的动量守恒，用 ρ,A0,U0,U1\rho,A_0,U_0,U_1 表示风车从流体受到的力 FF。可将流管表面的压力视为大气压。

(2) 根据能量守恒，用 ρ,AT,U0,U1,UT\rho,A_T,U_0,U_1,U_T 表示 W˙\dot W。

(3) 利用 FUT=W˙FU_T=\dot W，用 U0,U1U_0,U_1 表示 UTU_T。

(4) 用 U0,U1U_0,U_1 表示 η\eta。

(5) 求 η\eta 的最大值。

图2-1

Kai​

(1)​

連続の式より Q=A0U0=ATUT=A1U1Q=A_0U_0=A_TU_T=A_1U_1。流体が受ける力は −F-F なので、

−F=ρQ(U1−U0),F=ρA0U0(U0−U1).-F=\rho Q(U_1-U_0),\qquad \boxed{F=\rho A_0U_0(U_0-U_1)}.

(2)​

流体の運動エネルギー流束の減少が出力であるから、

W˙=12ρQ(U02−U12)=12ρATUT(U02−U12).\boxed{\dot W=\frac12\rho Q(U_0^2-U_1^2)=\frac12\rho A_TU_T(U_0^2-U_1^2)}.

(3)​

FUT=W˙FU_T=\dot W に (1)、(2) を代入して、

UT=U0+U12.\boxed{U_T=\frac{U_0+U_1}{2}}.

(4)​

η=(U0+U1)(U02−U12)2U03.\boxed{\eta=\frac{(U_0+U_1)(U_0^2-U_1^2)}{2U_0^3}}.

(5)​

a=U1/U0  (0<a<1)a=U_1/U_0\;(0<a<1) とおくと、

η=12(1+a)2(1−a),dηda=12(1+a)(1−3a).\eta=\frac12(1+a)^2(1-a),\qquad \frac{d\eta}{da}=\frac12(1+a)(1-3a).

したがって a=1/3a=1/3 で最大となり、

ηmax⁡=1627.\boxed{\eta_{\max}=\frac{16}{27}}.

Reference​

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