東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2024年度 機械工学第1部 問題1 I

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• Tokyo-University
• Carnot-Cycle-and-Heat-Engine-Efficiency
• Brayton-Cycle

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

一定比熱 $c_p$、比熱比 $\kappa$ の理想気体が、二つの定圧過程 $a\to b$（圧力 $p_1$）・$c\to d$（圧力 $p_0<p_1$）と、二つの可逆断熱過程 $b\to c$・$d\to a$ からなる熱機関サイクルを行う。各状態の温度を $T_a,T_b,T_c,T_d$ とする。

1. 効率 $\eta$ を四つの温度で表せ。
2. $\eta$ を $p_0,p_1,\kappa$ で表し、導出せよ。
3. 最高・最低温度の状態を選び、$T$–$s$ 線図を描け。
4. 同じ最高・最低温度間のカルノーサイクルの効率 $\eta_C$ が $\eta$ より大きいことを説明せよ。

题目描述

理想气体进行布雷顿循环：$a\to b$ 为高压 $p_1$ 定压吸热，$b\to c$ 可逆绝热膨胀，$c\to d$ 在 $p_0<p_1$ 定压放热，$d\to a$ 可逆绝热压缩。用各状态温度及压力比分别表示效率，指出最高、最低温度，画出 $T$–$s$ 图，并证明同温限卡诺循环的效率更高。

Kai

(1)

吸熱量 $q_H=c_p(T_b-T_a)$、放熱量 $q_L=c_p(T_c-T_d)$ より

$$\boxed{\eta=1-\frac{T_c-T_d}{T_b-T_a}}.$$

(2)

$a=(\kappa-1)/\kappa$ とおく。可逆断熱関係から

$$\frac{T_a}{T_d}=\frac{T_b}{T_c}=\left(\frac{p_1}{p_0}\right)^a.$$

したがって

$$\boxed{\eta=1-\left(\frac{p_0}{p_1}\right)^{(\kappa-1)/\kappa}}.$$

(3)

最高温度は状態 $b$、最低温度は状態 $d$ である。定圧線は $ds=c_p\,dT/T$ より指数曲線、可逆断熱線は鉛直線となる。

(4)

$T_b>T_a$ であるから

$$\eta_C-\eta =\left(1-\frac{T_d}{T_b}\right)-\left(1-\frac{T_d}{T_a}\right) =\frac{T_d(T_b-T_a)}{T_aT_b}>0.$$

よって $\boxed{\eta_C>\eta}$。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答