東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2023年8月実施 機械工学第1部 問題1 I

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• 东京大学
• 卡诺循环与热机效率
• 布雷顿循环

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

I

図1-1に示す $p$–$v$ 線図で表される熱機関サイクルを考える。作動流体は定圧比熱 $c_p$、比熱比 $\kappa$ の理想気体とする。ただし、$c_p$ と $\kappa$ は定数である。この熱機関サイクルは、圧力 $p_1$ と $p_0$（$p_1>p_0$）における二つの定圧過程（状態a → 状態b、状態c → 状態d）、および二つの可逆断熱過程（状態b → 状態c、状態d → 状態a）により構成される。また、状態a、b、c、dにおける温度をそれぞれ $T_a,T_b,T_c,T_d$ とする。

以下の設問に答えよ。

(1) この熱機関サイクルの効率 $\eta$ を $T_a,T_b,T_c,T_d$ を用いて表せ。

(2) 設問 (1) で表した効率 $\eta$ を $p_0,p_1,\kappa$ を用いて表せ。ただし、導出過程も示すこと。

(3) この熱機関サイクルにおいて、最高温度および最低温度となる状態を状態a、b、c、dの中から選べ。また、この熱機関サイクルの $T$–$s$ 線図を作成せよ。

(4) この熱機関サイクルと同じ最高温度と最低温度の間で動作するカルノーサイクルの効率 $\eta_c$ が、この熱機関サイクルの効率 $\eta$ よりも高いことを、式または $T$–$s$ 線図を利用して説明せよ。

题目描述

I. 考虑图1-1的 $p$–$v$ 图表示的热机循环。工质为定压比热 $c_p$、比热比 $\kappa$ 的理想气体，$c_p,\kappa$ 均为常数。该循环由压力 $p_1$、$p_0$（$p_1>p_0$）下的两个定压过程（状态a → 状态b、状态c → 状态d），以及两个可逆绝热过程（状态b → 状态c、状态d → 状态a）构成。状态a、b、c、d的温度分别为 $T_a,T_b,T_c,T_d$。

回答以下问题。

(1) 用 $T_a,T_b,T_c,T_d$ 表示该热机循环的效率 $\eta$。

(2) 用 $p_0,p_1,\kappa$ 表示第 (1) 问的效率 $\eta$，并写出推导过程。

(3) 从状态a、b、c、d中选出最高温度和最低温度的状态，并画出该循环的 $T$–$s$ 图。

(4) 利用公式或 $T$–$s$ 图说明：在与此循环相同的最高、最低温度之间工作的卡诺循环，其效率 $\eta_c$ 高于此循环的效率 $\eta$。

Kai

(1)

吸熱量 $q_H=c_p(T_b-T_a)$、放熱量 $q_L=c_p(T_c-T_d)$ より

$$\boxed{\eta=1-\frac{T_c-T_d}{T_b-T_a}}.$$

(2)

$a=(\kappa-1)/\kappa$ とおく。可逆断熱関係から

$$\frac{T_a}{T_d}=\frac{T_b}{T_c}=\left(\frac{p_1}{p_0}\right)^a.$$

したがって

$$\boxed{\eta=1-\left(\frac{p_0}{p_1}\right)^{(\kappa-1)/\kappa}}.$$

(3)

最高温度は状態 $b$、最低温度は状態 $d$ である。定圧線は $ds=c_p\,dT/T$ より指数曲線、可逆断熱線は鉛直線となる。

(4)

$T_b>T_a$ であるから

$$\eta_C-\eta =\left(1-\frac{T_d}{T_b}\right)-\left(1-\frac{T_d}{T_a}\right) =\frac{T_d(T_b-T_a)}{T_aT_b}>0.$$

よって $\boxed{\eta_C>\eta}$。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答