東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2024年度 機械工学第2部 問題 2

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• Tokyo-University
• Damped-Harmonic-Motion
• Forced-Vibration
• Force-Transmissibility
• Bode-Plot-and-Stability-Margins
• Proportional-Integral-Derivative-and-Integral-Proportional-Derivative-Control
• Steady-State-Error

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

I

動かない机に、ばね定数 $k$ のばねと減衰係数 $c$ の粘性減衰器を介して質量 $m$ が取り付けられている。鉛直方向を $x$ 方向とし、振幅 $A$、角振動数 $\omega$ の正弦波外力 $F$ に対する定常応答を考える。質量の変位を $x$ とし、重力の影響は考慮しない。

1. 不減衰固有角振動数を $p$、減衰比を $\zeta$ とすると、運動方程式が $\ddot x+2p\zeta\dot x+p^2x=F/m$ となることを示せ。以下は $p,\zeta$ を用いて答えよ。
2. 変位 $x$ の振幅を求めよ。
3. 机に作用する力は $T=c\dot x+kx$ である。外力 $F$ に対する $T$ の伝達率（振幅比）を求めよ。
4. $\zeta$ の値によらず伝達率が同じになる角振動数 $\omega$ を求めよ。

II

PID 制御器のパラメータ調整を考える。

1. $G_0(s)=1/(2s+1)$ のゲイン $|G_0(j\omega)|$ と位相を求めよ。
2. 位相が $-45^\circ$ になる角周波数を求め、ゲイン線図を折れ線近似で描け。

次に、制御対象 $G(s)=1/(2s+1)^4$ とコントローラ $H(s)$ からなる単位負帰還系を考える。目標値、偏差、制御量のラプラス変換をそれぞれ $R(s),E(s),Y(s)$ とする。

3. P 制御で安定限界となる限界感度 $K_u$ と限界周期 $T_u$ を求めよ。
4. 次表に従って調整した P 制御器と PID 制御器について、単位ステップ目標値に対する定常偏差をそれぞれ求めよ。$K_p$ は比例ゲイン、$T_i$ は積分時間、$T_d$ は微分時間である。

制御器	$K_p$	$T_i$	$T_d$
P	$0.5K_u$	—	—
PID	$0.6K_u$	$0.5T_u$	$0.125T_u$

题目描述

I：质量 $m$ 通过刚度 $k$ 的弹簧及阻尼 $c$ 的阻尼器连接于固定桌面，受振幅 $A$、角频率 $\omega$ 的竖直简谐力，忽略重力影响。用无阻尼固有角频率 $p$、阻尼比 $\zeta$ 表示运动方程，求稳态位移振幅、传至桌面的力的振幅比，以及该比值不随阻尼变化的频率。

II：对 $G_0(s)=1/(2s+1)$，求增益、相位、相位为 $-45^\circ$ 的频率及增益渐近折线。对 $G(s)=1/(2s+1)^4$ 的单位负反馈控制，求 P 控制的临界增益 $K_u$ 与振荡周期 $T_u$，再按表中参数求 P、PID 控制对单位阶跃目标的稳态偏差。

Kai

I

(1) $m\ddot x=F-c\dot x-kx$ より、

$$p=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad\zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$

とおけば $\boxed{\ddot x+2p\zeta\dot x+p^2x=F/m}$ を得る。

(2) 複素振幅は $\hat x=(A/m)/(p^2-\omega^2+j2p\zeta\omega)$ なので、

$$\boxed{X=\frac{A/m}{\sqrt{(p^2-\omega^2)^2+(2p\zeta\omega)^2}}}.$$

(3) $\hat T=(k+jc\omega)\hat x$ より、

$$\boxed{\frac{|\hat T|}{A}= \sqrt{\frac{p^4+(2p\zeta\omega)^2}{(p^2-\omega^2)^2+(2p\zeta\omega)^2}}}.$$

(4) 正の角振動数について、$\zeta$ に依存しない条件は

$$p^4=(p^2-\omega^2)^2.$$

したがって $\boxed{\omega=\sqrt2p}$、伝達率は $1$ である。静的極限 $\omega=0$ でも伝達率は $1$ となる。

II

(1)

$$\boxed{|G_0(j\omega)|=\frac1{\sqrt{1+4\omega^2}}},\qquad \boxed{\angle G_0(j\omega)=-\tan^{-1}(2\omega)}.$$

(2) $\tan^{-1}(2\omega)=\pi/4$ より $\boxed{\omega=0.5\ {\rm rad/s}}$。ゲインの折れ線近似は

$$20\log_{10}|G_0(j\omega)|\simeq \begin{cases}0,&\omega\le0.5,\\-20\log_{10}(2\omega),&\omega\ge0.5.\end{cases}$$

(3) 安定限界では $\angle G(j\omega_u)=-4\tan^{-1}(2\omega_u)=-\pi$、したがって $\omega_u=1/2$。また

$$1=K_u|G(j\omega_u)|=\frac{K_u}{(1+4\omega_u^2)^2}$$

より、

$$\boxed{K_u=4},\qquad\boxed{T_u=\frac{2\pi}{\omega_u}=4\pi}.$$

(4) P 制御では $H=K_p=2$。$G(0)=1$ なので

$$\boxed{e_\infty=\lim_{s\to0}\frac1{1+H(s)G(s)}=\frac13}.$$

PID 制御では $K_p=2.4,T_i=2\pi,T_d=\pi/2$ で、

$$H(s)=2.4\left(1+\frac1{2\pi s}+\frac\pi2s\right).$$

この閉ループは安定であり、積分動作により $H(0)$ は発散するので、定常偏差は $\boxed{e_\infty=0}$ である。

Reference

• 東京大学 公式過去問（2024年度・第2部、問題2）
• zzy：機械力学 I
• zzy：制御 II