東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2024年度 第II部 問題1

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• Tokyo-University
• Stress-Transformation
• Strain-Gauge
• Bending-Stress

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

I

横 $30\sqrt3\,\mathrm{mm}$、縦 $30\,\mathrm{mm}$、厚さ $1\,\mathrm{mm}$ の長方形板は、二つの三角形板を、$x$ 軸と $30^\circ$ をなす対角線に沿って溶接したものである。溶接部の幅は十分に薄く、母材と弾性定数が等しい。ヤング率 $E=192\,\mathrm{GPa}$、ポアソン比 $\nu=0.2$ とし、応力は板内で一様とする。

板に $x$ 方向の引張応力 $20\,\mathrm{MPa}$ と $y$ 方向の圧縮応力 $10\,\mathrm{MPa}$ が作用する。

1. 溶接線に作用する内力ベクトルを求めよ。
2. 溶接線に垂直な方向の垂直応力を求めよ。
3. 次に、同じ板に未知の平面応力 $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_{xy}$ が作用する。$x$ 方向、$y$ 方向、溶接線に平行な方向にひずみゲージ a、b、c を配置したところ、$\varepsilon_a=1100\times10^{-6},\varepsilon_b=200\times10^{-6},\varepsilon_c=200\times10^{-6}$ を得た。各応力を求めよ。正の $\sigma_{xy}$ は、$+x$ 面では $+y$ 向きに作用する。

II

長さ $L$、直径 $d\ll L$、質量密度 $\rho$ の一様な円柱棒について答えよ。重力加速度は $g$、引張応力を正とする。

1. 棒を水平な床に鉛直に置く。上端 A から下向きに距離 $x$ の横断面の垂直応力を求めよ。
2. 横断面の中心を原点とする直交座標 $(y,z)$ をとる。$y$ 軸まわりの断面二次モーメントが $\pi d^4/64$ であることを導け。
3. 下端 B を床にピン結合し、上端 A を滑らかな鉛直壁で支える。棒と床のなす角度を $\theta>0$ とする。壁から A に働く水平な支持反力の大きさを求めよ。
4. (3) の状態で、A から棒に沿って距離 $x_0$ の横断面に作用する曲げモーメントを求めよ。
5. 同じ横断面内の最大の垂直応力を求めよ。

题目描述

I：宽 $30\sqrt3\,\mathrm{mm}$、高 $30\,\mathrm{mm}$、厚 $1\,\mathrm{mm}$ 的矩形板沿与 $x$ 轴成 $30^\circ$ 的对角线焊接，焊缝很薄且与母材弹性性质相同。$E=192\,\mathrm{GPa},\nu=0.2$。先施加 $x$ 向 $20\,\mathrm{MPa}$ 拉应力和 $y$ 向 $10\,\mathrm{MPa}$ 压应力，求焊缝内力矢量及法向应力。再由沿 $x$、$y$、焊缝方向的三个应变片读数 $1100,200,200\,\mu\varepsilon$，求未知平面应力分量。

II：均匀圆杆长 $L$、直径 $d\ll L$、密度 $\rho$，拉应力为正。先求竖直放置时距顶端 $x$ 的自重应力，并推导圆截面的直径轴惯性矩。再令下端 B 与地面铰接、上端 A 靠在光滑竖直墙面，杆与地面夹角为 $\theta$，求墙面反力、距 A 为 $x_0$ 的截面弯矩及该截面的最大正应力。

Kai

I (1)

溶接線より上側の三角形板を取り出す。左辺には $-600\,\mathrm N$、上辺には $-300\sqrt3\,\mathrm N$ の外力が働くので、溶接線から受ける内力は

$$\boxed{\boldsymbol F=600\boldsymbol e_x+300\sqrt3\boldsymbol e_y\quad[\mathrm N]}.$$

下側の三角形板が受ける内力は $-\boldsymbol F$ である。

I (2)

上側三角形板の溶接面の外向き単位法線と面積は

$$\boldsymbol n=\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right),\qquad A_n=\sqrt{30^2+(30\sqrt3)^2}\times1=60\,\mathrm{mm^2}.$$

したがって

$$\boxed{\sigma_n=\frac{\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n}{A_n} =\frac{300-450}{60}=-2.50\,\mathrm{MPa}}.$$

I (3)

平面応力のフックの法則より

$$\sigma_x=\frac E{1-\nu^2}(\varepsilon_a+\nu\varepsilon_b),\qquad \sigma_y=\frac E{1-\nu^2}(\varepsilon_b+\nu\varepsilon_a).$$

よって

$$\boxed{\sigma_x=228\,\mathrm{MPa}},\qquad \boxed{\sigma_y=84\,\mathrm{MPa}}.$$

ゲージ c は $x$ 軸から $30^\circ$ の方向にあるので

$$\varepsilon_c=\frac34\varepsilon_a+\frac14\varepsilon_b+ \frac{\sqrt3}{4}\gamma_{xy}.$$

したがって

$$\gamma_{xy}=\frac{4\varepsilon_c-3\varepsilon_a-\varepsilon_b}{\sqrt3} =-900\sqrt3\times10^{-6}.$$

$G=E/[2(1+\nu)]=80.0\,\mathrm{GPa}$ より

$$\boxed{\sigma_{xy}=G\gamma_{xy}=-72\sqrt3\,\mathrm{MPa}\simeq-125\,\mathrm{MPa}}.$$

II (1)

断面積を $A=\pi d^2/4$ とする。切断面より上側の部分の重さは $\rho Agx$ であり、軸力は圧縮だから

$$\boxed{\sigma(x)=-\frac{\rho Agx}{A}=-\rho gx}.$$

II (2)

$y=r\cos\varphi,z=r\sin\varphi$ とおけば

$$I_y=\int_Az^2\,dA =\int_0^{2\pi}\sin^2\varphi\,d\varphi \int_0^{d/2}r^3\,dr =\pi\frac{d^4}{64}.$$

よって $\boxed{I_y=\pi d^4/64}$。

II (3)

壁からの反力を $R_A$、棒全体の重さを $W=\rho AgL$ とする。B まわりのモーメントの釣り合いより

$$R_AL\sin\theta=W\frac L2\cos\theta.$$

したがって

$$\boxed{R_A=\frac{\rho AgL}{2}\cot\theta =\frac{\pi d^2\rho gL}{8\tan\theta}}.$$

II (4)

A から距離 $x_0$ までの部分を取り出す。その自重 $\rho Agx_0$ は中央に作用するので、曲げモーメントの大きさは

$$M(x_0)=R_Ax_0\sin\theta-\rho Agx_0\frac{x_0}{2}\cos\theta.$$

したがって

$$\boxed{M(x_0)=\frac{\rho Ag\cos\theta}{2}x_0(L-x_0) =\frac{\pi d^2\rho g\cos\theta}{8}x_0(L-x_0)}.$$

II (5)

棒の軸方向の釣り合いより、引張を正とする軸力は

$$N(x_0)=-R_A\cos\theta-\rho Agx_0\sin\theta.$$

断面両縁の応力は $N/A\pm Md/(2I_y)$ であり、最大値は $+$ 側で生じる。よって

$$\boxed{ \sigma_{\max}(x_0)=\rho g\left[ \frac{4x_0(L-x_0)\cos\theta}{d} -x_0\sin\theta-\frac{L\cos^2\theta}{2\sin\theta} \right]}.$$

Reference

• 東京大学公式問題（2024年度、第II部、PDF 3–5ページ）
• zzy：2024年度材料力学I
• zzy：2024年度材料力学II