東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2022年8月実施 問題 2 設問 I

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• 东京大学
• 可压缩流动
• 控制体动量守恒

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の I、II の両方について解答せよ。なお、I の解答に答案用紙1枚を、II の解答に答案用紙1枚を、それぞれ用いること。

I

密度 $\rho_0$、圧力 $p_0$ の静止気体中における音の伝播のモデルとして、図2-1に示す一次元の流れを考える。気体の状態が不連続に変化する面が $x$ 軸正の向きに一定速度 $c_0$ で伝播している。この不連続面が到達することにより、気体の密度と圧力はそれぞれ $d\rho,dp$ だけ微小に増加し、流速 $du$（$x$ 軸正の向きを正と定義する）が誘起される。この不連続面を囲み、一定速度 $c_0$ で $x$ 軸正の向きに移動する検査体積を定義する。なお、検査体積の $x$ 軸方向の長さは一定である。気体は比熱が一定の理想気体である。気体の比熱比を $\gamma$ とする。以下の設問に答えよ。

(1) 検査体積に質量保存則を適用することにより、$c_0,\rho_0,d\rho,du$ の間に成り立つ関係式を示せ。

(2) 検査体積に運動量保存則を適用することにより、$c_0,\rho_0,dp,du$ の間に成り立つ関係式を示せ。

(3) $dp>0$、$dp<0$ のそれぞれの場合について、誘起される流速の向きを答えよ。

(4) 不連続面の伝播速度 $c_0$ を $\rho_0,p_0,d\rho,dp$ のうち必要なものを用いて表せ。

(5) 気体の状態変化が等エントロピー変化とみなせるとき、不連続面の伝播速度 $c_0$ を $p_0,\rho_0,\gamma$ を用いて表せ。

题目描述

I、II 均须作答，每部分各用一张答题纸。

I

将图2-1的一维流动作为声音在密度 $\rho_0$、压强 $p_0$ 的静止气体中传播的模型。气体状态发生不连续变化的界面沿 $x$ 轴正方向以恒速 $c_0$ 传播。界面到达后，气体密度、压强分别微增 $d\rho,dp$，并产生速度 $du$，以 $x$ 轴正方向为正。定义一个包围此界面、沿 $x$ 正方向以恒速 $c_0$ 移动的控制体，其沿 $x$ 方向长度恒定。气体为比热恒定的理想气体，比热比为 $\gamma$。回答以下问题。

(1) 对控制体应用质量守恒，写出 $c_0,\rho_0,d\rho,du$ 的关系。

(2) 对控制体应用动量守恒，写出 $c_0,\rho_0,dp,du$ 的关系。

(3) 分别说明 $dp>0$ 和 $dp<0$ 时诱导速度的方向。

(4) 从 $\rho_0,p_0,d\rho,dp$ 中选用必要的量表示界面传播速度 $c_0$。

(5) 若气体状态变化可视为等熵，用 $p_0,\rho_0,\gamma$ 表示界面传播速度 $c_0$。

Kai

(1)

波面に対する流入速度は $c_0$、流出速度は $c_0-du$ である。したがって

$$\rho_0c_0=(\rho_0+d\rho)(c_0-du).$$

二次の微小量を除くと、$\boxed{c_0d\rho=\rho_0du}$。

(2)

単位面積当たりの質量流量は $\rho_0c_0$ である。$+x$ 方向の圧力合力と運動量変化より、

$$\boxed{dp=\rho_0c_0du}.$$

(3)

(2) より、$dp>0$ なら $du>0$ で $+x$ 方向、$dp<0$ なら $du<0$ で $-x$ 方向である。

(4)

(1)、(2) から $du$ を消去して、

$$\boxed{c_0=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}}.$$

(5)

等エントロピー変化では $p\rho^{-\gamma}=\text{一定}$ より、

$$\frac{dp}{p}=\gamma\frac{d\rho}{\rho},\qquad \boxed{c_0=\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2023年度）
• SN の解答・解説