東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2022年8月実施 問題 2 設問 I

标签：

• Tokyo-University
• Compressible-Flow
• Control-Volume-Momentum

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

密度 $\rho_0$、圧力 $p_0$ の静止した理想気体中を、微小な不連続面が $+x$ 方向へ速さ $c_0$ で進む。通過後の状態は $(\rho_0+d\rho,p_0+dp,du)$、通過前は $(\rho_0,p_0,0)$ である。不連続面を囲み、その面と同じ速度で移動する一定長さの検査体積を考える。比熱は一定、比熱比は $\gamma$ とする。

(1) 質量保存則から $c_0,\rho_0,d\rho,du$ の関係を求めよ。

(2) 運動量保存則から $c_0,\rho_0,dp,du$ の関係を求めよ。

(3) $d\rho>0$ と $d\rho<0$ のそれぞれについて誘起流速の方向を答えよ。

(4) $c_0$ を $dp,d\rho$ で表せ。(5) 等エントロピー変化として $c_0$ を $p_0,\rho_0,\gamma$ で表せ。

题目描述

微小波面以速度 $c_0$ 沿 $+x$ 方向穿过原本密度 $\rho_0$、压力 $p_0$ 的静止理想气体。波后密度、压力和速度为 $\rho_0+d\rho,p_0+dp,du$。用随波面移动的控制体分别建立质量及动量关系，判断压缩波与稀疏波诱导的流速方向，求传播速度，并给出定比热、等熵条件下的声速。

Kai

(1)

波面に対する流入速度は $c_0$、流出速度は $c_0-du$ である。したがって

$$\rho_0c_0=(\rho_0+d\rho)(c_0-du).$$

二次の微小量を除くと、$\boxed{c_0d\rho=\rho_0du}$。

(2)

単位面積当たりの質量流量は $\rho_0c_0$ である。$+x$ 方向の圧力合力と運動量変化より、

$$\boxed{dp=\rho_0c_0du}.$$

(3)

(1) より、$d\rho>0$ なら $du>0$ で $+x$ 方向、$d\rho<0$ なら $du<0$ で $-x$ 方向である。

(4)

(1)、(2) から $du$ を消去して、

$$\boxed{c_0=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}}.$$

(5)

等エントロピー変化では $p\rho^{-\gamma}=\text{一定}$ より、

$$\frac{dp}{p}=\gamma\frac{d\rho}{\rho},\qquad \boxed{c_0=\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2023年度）
• SN の解答・解説