東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2022年8月実施 機械工学第1部 問題1 II

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• 东京大学
• 相变传热与斯特藩问题

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

II

一定の厚さ $x_0$ で十分大きな広がりを持つ平板（無限平板）の厚み方向（$x$ 方向）の熱伝導を考える（$0\le x\le x_0$）。図1-3に平板の温度分布を示す。平板の $x=0$ の面は断熱されている。時刻 $t\ (\ge0)$ における平板の温度分布を $T(t,x)$ とする。$x=x_0$ の表面温度は $T_0+\delta T$（ただし、$\delta T>0$）に保たれ、$\delta T$ は十分に小さいとする。この平板の材料は相変化し、$T\le T_0$ では固相 A、$T>T_0$ で固相 B となる。固相 A から B へと相変化する際の単位質量当たりの潜熱を $l$ とする（ただし、$l>0$）。平板の密度 $\rho$ および熱伝導率 $\lambda$ は一定とし、相変化によって変化しないとする。相界面の位置を $x=s(t)$ とする。平板は $0\le x<s(t)$ の範囲が固相 A、$s(t)\le x\le x_0$ の範囲が固相 B であり、その温度分布は

$$T(t,x)= \begin{cases} T_0 &(0\le x<s(t)),\\[2pt] T_0+\delta T\dfrac{x-s(t)}{x_0-s(t)} &(s(t)\le x\le x_0) \end{cases}$$

と表される。時刻 $t=0$ で、表面 $x=x_0$ を除く平板全体は固相 A（$s(0)=x_0$）である。以下の設問に答えよ。

(1) 与えられた温度分布から、固相 A（$0\le x<s(t)$）および固相 B（$s(t)\le x\le x_0$）における熱流束 $q_A(t)$ および $q_B(t)$ をそれぞれ求めよ。ただし、$x$ 軸正の向きの熱流束を正とする。

(2) $x=s(t)$ における熱収支を表す式を記せ。

(3) $s(t)$ を求めよ。

(4) 表面 $x=0$ を除く平板全体が固相 B になる時刻を求めよ。

题目描述

II

考虑厚度恒为 $x_0$、横向范围足够大的无限平板沿厚度方向（$x$ 方向）的导热，$0\le x\le x_0$。温度分布如图1-3；$x=0$ 面绝热。记时刻 $t\ge0$ 的温度分布为 $T(t,x)$。$x=x_0$ 表面的温度保持为 $T_0+\delta T$，其中 $\delta T>0$ 且足够小。材料会发生相变：$T\le T_0$ 时为固相 A，$T>T_0$ 时为固相 B；A 转变为 B 的单位质量潜热为 $l>0$。密度 $\rho$ 和导热系数 $\lambda$ 均恒定，且不因相变而改变。相界面位于 $x=s(t)$，$0\le x<s(t)$ 区域为固相 A，$s(t)\le x\le x_0$ 区域为固相 B，温度分布为

$$T(t,x)= \begin{cases} T_0 &(0\le x<s(t)),\\[2pt] T_0+\delta T\dfrac{x-s(t)}{x_0-s(t)} &(s(t)\le x\le x_0). \end{cases}$$

$t=0$ 时，除 $x=x_0$ 表面外，整块平板均为固相 A，即 $s(0)=x_0$。回答以下问题。

(1) 根据给定温度分布，分别求固相 A（$0\le x<s(t)$）和固相 B（$s(t)\le x\le x_0$）中的热流密度 $q_A(t),q_B(t)$，以沿 $x$ 轴正方向为正。

(2) 写出 $x=s(t)$ 处的热量平衡式。

(3) 求 $s(t)$。

(4) 求除 $x=0$ 表面外，整块平板均变为固相 B 的时刻。

Kai

(1)

フーリエの法則から

$$\boxed{q_A=0,\qquad q_B=-\frac{\lambda\delta T}{x_0-s(t)}}.$$

(2)

単位面積・単位時間に B となる質量は $-\rho\dot s$ である。界面に供給される熱 $q_A-q_B$ は潜熱に等しいから

$$\boxed{-\rho l\dot s=q_A-q_B =\frac{\lambda\delta T}{x_0-s}}.$$

(3)

$y=x_0-s\ge0$ とおけば $y\dot y=\lambda\delta T/(\rho l)$。$y(0)=0$ より

$$\boxed{s(t)=x_0-\sqrt{\frac{2\lambda\delta T}{\rho l}\,t}}.$$

(4)

$s(t_f)=0$ を用いて

$$\boxed{t_f=\frac{\rho l x_0^2}{2\lambda\delta T}}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答