東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2023年度 機械工学第1部 問題1 II

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

厚さ $x_0$ の平板 $0\le x\le x_0$ で、$x=0$ 面を断熱、$x=x_0$ 面を $T_0+\delta T$（$\delta T>0$）に保つ。材料は $T\le T_0$ で固相 A、$T>T_0$ で固相 B となり、A から B への単位質量当たりの潜熱は $l>0$。密度 $\rho$、熱伝導率 $\lambda$ は相によらず一定である。相界面を $x=s(t)$ とし、与えられた温度分布は

$$T(t,x)=\begin{cases} T_0,&0\le x<s(t),\\ T_0+\delta T\dfrac{x-s(t)}{x_0-s(t)},&s(t)\le x\le x_0. \end{cases}$$

初期条件は $s(0)=x_0$。以下を求めよ。

1. $+x$ 方向を正とした各相の熱流束 $q_A,q_B$。
2. 相界面での熱収支。
3. $s(t)$。
4. 平板全体が B となる時刻。

题目描述

厚度 $x_0$ 的平板左端绝热，右端温度为 $T_0+\delta T$。相界面 $x=s(t)$ 左侧的 A 相温度恒为 $T_0$，右侧 B 相温度线性升高到端面温度。物性相同，A 转变为 B 的单位质量潜热为 $l$，初始 $s(0)=x_0$。求两相热流、界面能量平衡、界面位置和完全转相时间。

Kai

(1)

フーリエの法則から

$$\boxed{q_A=0,\qquad q_B=-\frac{\lambda\delta T}{x_0-s(t)}}.$$

(2)

単位面積・単位時間に B となる質量は $-\rho\dot s$ である。界面に供給される熱 $q_A-q_B$ は潜熱に等しいから

$$\boxed{-\rho l\dot s=q_A-q_B =\frac{\lambda\delta T}{x_0-s}}.$$

(3)

$y=x_0-s\ge0$ とおけば $y\dot y=\lambda\delta T/(\rho l)$。$y(0)=0$ より

$$\boxed{s(t)=x_0-\sqrt{\frac{2\lambda\delta T}{\rho l}\,t}}.$$

(4)

$s(t_f)=0$ を用いて

$$\boxed{t_f=\frac{\rho l x_0^2}{2\lambda\delta T}}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答