東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2022年8月実施 機械工学第1部 問題1 I

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• 东京大学
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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の I、II の両方について解答せよ。なお、I の解答に答案用紙1枚を、II の解答に答案用紙1枚を、それぞれ用いること。

I

図1-1に示すように、理想気体が定常状態で流れている系について考える。入口において、理想気体は圧力 $p_1$、温度 $T_1$ であり、周囲と熱および仕事をやりとりした結果、出口では、周囲圧力 $p_0$、周囲温度 $T_0$ と等しくなった。ここで、$r_p=p_1/p_0$、$r_T=T_1/T_0$ のように定義される量は $r_p\ge1$、$r_T\ge1$ であるとする。理想気体の定圧比熱を $c_p$、定積比熱を $c_v$ とする。これらの比熱は一定であり、関係式 $c_p-c_v=R$ が成り立つ。ただし、$R$ は気体定数である。また、比熱比を $\kappa=c_p/c_v$ とする。以下の設問に答えよ。

(1) 出口と入口の間の、理想気体単位質量あたりのエンタルピー差を $\kappa,R,T_0,r_T$ を用いて表せ。

(2) 出口と入口の間の、理想気体単位質量あたりのエントロピー差を $\kappa,R,r_p,r_T$ を用いて表せ。

(3) 出口と入口の間の、理想気体単位質量あたりの理想気体から周囲へ取り出し得る最大仕事を $\kappa,R,T_0,r_p,r_T$ を用いて表せ。

次に、図1-2に示すように、前問と同じ理想気体を圧力 $p_1$、温度 $T_1$ で閉じた系に封入する。この閉じた系が周囲と熱および仕事をやり取りして、周囲圧力 $p_0$、周囲温度 $T_0$ と平衡になった。以下の設問に答えよ。

(4) 初期状態から平衡状態までの間に、理想気体単位質量あたりの理想気体から周囲へ取り出し得る最大仕事を $\kappa,R,T_0,r_p,r_T$ を用いて表せ。ただし、最大仕事の計算においては、周囲圧力 $p_0$ に抗してなす仕事は含めないものとする。また、設問(3)と設問(4)で求めた最大仕事の差について説明せよ。

题目描述

I、II 均须作答，每部分各用一张答题纸。

I

考虑图1-1中理想气体稳态流动的系统。入口处气体压强为 $p_1$、温度为 $T_1$；与环境交换热和功后，出口压强、温度分别等于环境的 $p_0,T_0$。定义 $r_p=p_1/p_0$、$r_T=T_1/T_0$，且 $r_p\ge1,r_T\ge1$。理想气体的定压、定容比热分别为常数 $c_p,c_v$，满足 $c_p-c_v=R$，其中 $R$ 为气体常数；比热比 $\kappa=c_p/c_v$。回答以下问题。

(1) 用 $\kappa,R,T_0,r_T$ 表示出口与入口之间单位质量理想气体的焓差。

(2) 用 $\kappa,R,r_p,r_T$ 表示出口与入口之间单位质量理想气体的熵差。

(3) 用 $\kappa,R,T_0,r_p,r_T$ 表示从入口到出口期间，单位质量理想气体可向环境输出的最大功。

接下来，如图1-2，将相同理想气体以压强 $p_1$、温度 $T_1$ 封入闭口系统。该系统与环境交换热和功后，与环境压强 $p_0$、环境温度 $T_0$ 达到平衡。

(4) 用 $\kappa,R,T_0,r_p,r_T$ 表示从初始状态到平衡状态，单位质量理想气体可向环境输出的最大功。计算中不包含克服环境压强 $p_0$ 所作的功。另说明 (3)、(4) 中最大功之差。

Kai

(1)

$c_p=\kappa R/(\kappa-1)$ より

$$\boxed{h_0-h_1=\frac{\kappa RT_0}{\kappa-1}(1-r_T)}.$$

(2)

$ds=c_p\,dT/T-R\,dp/p$ を積分して

$$\boxed{s_0-s_1=R\ln r_p-\frac{\kappa R}{\kappa-1}\ln r_T}.$$

(3)

最大仕事は可逆過程で得られる。周囲からの受熱を $q$ とすると、$q_{\rm rev}=T_0(s_0-s_1)$ なので

$$\boxed{\begin{gathered} e_f=h_1-h_0-T_0(s_1-s_0)\\ =RT_0\left[\frac{\kappa}{\kappa-1}(r_T-1-\ln r_T)+\ln r_p\right] \end{gathered}}.$$

(4)

閉じた系の全仕事は $u_1-u_0-T_0(s_1-s_0)$。これから周囲を押しのける仕事 $p_0(v_0-v_1)$ を除く。$v_1=RT_0r_T/(p_0r_p)$、$v_0=RT_0/p_0$ より

$$\begin{aligned} e_c&=u_1-u_0+p_0(v_1-v_0)-T_0(s_1-s_0)\\ &=\boxed{RT_0\left[\frac{r_T-1}{\kappa-1} +\frac{r_T}{r_p}-1-\frac{\kappa}{\kappa-1}\ln r_T+\ln r_p\right]}. \end{aligned}$$

したがって

$$\boxed{\begin{gathered} e_f-e_c=(p_1-p_0)v_1\\ =RT_0r_T\left(1-\frac1{r_p}\right) \end{gathered}}.$$

これは入口での流動仕事 $p_1v_1$ のうち、周囲圧力での押し込み仕事 $p_0v_1$ を超える部分である。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答