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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2023年度 機械工学第1部 問題1 I

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

定常流動する理想気体が入口の圧力・温度 p1,T1p_1,T_1 から周囲と同じ p0,T0p_0,T_0 まで変化する。周囲と熱および仕事を交換できる。rp=p1/p0≥1r_p=p_1/p_0\ge1、rT=T1/T0≥1r_T=T_1/T_0\ge1 とし、一定比熱 cp,cvc_p,c_v は cp−cv=Rc_p-c_v=R、κ=cp/cv\kappa=c_p/c_v を満たす。

  1. 出口から入口を引いた比エンタルピー差を κ,R,T0,rT\kappa,R,T_0,r_T で表せ。
  2. 同じ向きの比エントロピー差を κ,R,rp,rT\kappa,R,r_p,r_T で表せ。
  3. 単位質量から取り出せる最大仕事を求めよ。
  4. 同じ初期状態の気体を閉じた系に入れ、周囲との平衡状態まで変化させる。周囲圧力 p0p_0 に抗してなす仕事を除いた最大仕事を求め、(3) との差を説明せよ。

题目描述​

理想气体从 p1,T1p_1,T_1 变化到环境状态 p0,T0p_0,T_0，令 rp=p1/p0≥1,rT=T1/T0≥1r_p=p_1/p_0\ge1,r_T=T_1/T_0\ge1。定比热满足 cp−cv=R,κ=cp/cvc_p-c_v=R,\kappa=c_p/c_v。求稳态流动的出口减入口的比焓差、比熵差及最大功；再求闭系扣除克服环境压力所做功后的最大有用功，并比较二者。

Kai​

(1)​

cp=κR/(κ−1)c_p=\kappa R/(\kappa-1) より

h0−h1=κRT0κ−1(1−rT).\boxed{h_0-h_1=\frac{\kappa RT_0}{\kappa-1}(1-r_T)}.

(2)​

ds=cp dT/T−R dp/pds=c_p\,dT/T-R\,dp/p を積分して

s0−s1=Rln⁡rp−κRκ−1ln⁡rT.\boxed{s_0-s_1=R\ln r_p-\frac{\kappa R}{\kappa-1}\ln r_T}.

(3)​

最大仕事は可逆過程で得られる。周囲からの受熱を qq とすると、qrev=T0(s0−s1)q_{\rm rev}=T_0(s_0-s_1) なので

ef=h1−h0−T0(s1−s0)=RT0[κκ−1(rT−1−ln⁡rT)+ln⁡rp].\boxed{e_f=h_1-h_0-T_0(s_1-s_0) =RT_0\left[\frac{\kappa}{\kappa-1}(r_T-1-\ln r_T)+\ln r_p\right]}.

(4)​

閉じた系の全仕事は u1−u0−T0(s1−s0)u_1-u_0-T_0(s_1-s_0)。これから周囲を押しのける仕事 p0(v0−v1)p_0(v_0-v_1) を除く。v1=RT0rT/(p0rp)v_1=RT_0r_T/(p_0r_p)、v0=RT0/p0v_0=RT_0/p_0 より

ec=u1−u0+p0(v1−v0)−T0(s1−s0)=RT0[rT−1κ−1+rTrp−1−κκ−1ln⁡rT+ln⁡rp].\begin{aligned} e_c&=u_1-u_0+p_0(v_1-v_0)-T_0(s_1-s_0)\\ &=\boxed{RT_0\left[\frac{r_T-1}{\kappa-1} +\frac{r_T}{r_p}-1-\frac{\kappa}{\kappa-1}\ln r_T+\ln r_p\right]}. \end{aligned}

したがって

ef−ec=(p1−p0)v1=RT0rT(1−1rp).\boxed{e_f-e_c=(p_1-p_0)v_1 =RT_0r_T\left(1-\frac1{r_p}\right)}.

これは入口での流動仕事 p1v1p_1v_1 のうち、周囲圧力での押し込み仕事 p0v1p_0v_1 を超える部分である。

Reference​

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