東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2023年度 機械工学第2部 問題 2 Author 祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)
Description 一辺 l l l m m m h h h k k k g g g θ \theta θ J J J cos θ ≃ 1 − θ 2 / 2 \cos\theta\simeq1-\theta^2/2 cos θ ≃ 1 − θ 2 /2 sin θ ≃ θ \sin\theta\simeq\theta sin θ ≃ θ
J J J 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを求めよ。
運動方程式を求めよ。
固有振動数 ω 0 \omega_0 ω 0
P、Q、R の高さをそろえたまま下方へ移し、h h h
O まわりにトルク T ( t ) = X sin ω t T(t)=X\sin\omega t T ( t ) = X sin ω t X X X ω ≠ ω 0 \omega\ne\omega_0 ω = ω 0
剛体 A は重心 G のまわりに平面内で回転し、その慣性モーメントを J J J L / 2 L/2 L /2 f ( t ) f(t) f ( t ) θ ( t ) \theta(t) θ ( t ) θ T ( t ) \theta_T(t) θ T ( t ) − c θ ˙ -c\dot\theta − c θ ˙ c > 0 c>0 c > 0 F ( s ) , Θ ( s ) , Θ T ( s ) F(s),\Theta(s),\Theta_T(s) F ( s ) , Θ ( s ) , Θ T ( s )
F ( s ) F(s) F ( s ) Θ ( s ) \Theta(s) Θ ( s )
正の定数 k d , k p , τ k_d,k_p,\tau k d , k p , τ
F ( s ) = − k d s Θ ( s ) + k p [ Θ T ( s ) − Θ ( s ) ] 1 + τ s + F e r r ( s ) F(s)=\frac{-k_ds\Theta(s)+k_p[\Theta_T(s)-\Theta(s)]}{1+\tau s}+F_{\rm err}(s) F ( s ) = 1 + τ s − k d s Θ ( s ) + k p [ Θ T ( s ) − Θ ( s )] + F err ( s ) と制御する。τ \tau τ F e r r F_{\rm err} F err Θ T ( s ) − Θ ( s ) \Theta_T(s)-\Theta(s) Θ T ( s ) − Θ ( s )
θ T ( t ) \theta_T(t) θ T ( t ) f e r r ( t ) f_{\rm err}(t) f err ( t )
c = 0 c=0 c = 0 F e r r = 0 F_{\rm err}=0 F err = 0 k d , k p k_d,k_p k d , k p
题目描述
I：边长 l l l m m m h h h k k k h h h X sin ω t X\sin\omega t X sin ω t
II：刚体绕重心 G 转动，惯量 J J J c c c L / 2 L/2 L /2 f ( t ) f(t) f ( t ) c = 0 c=0 c = 0
Kai (1) O G = l / 2 OG=l/\sqrt2 OG = l / 2
J = m l 2 6 + m ( l 2 ) 2 = 2 3 m l 2 . \boxed{J=\frac{ml^2}{6}+m\left(\frac{l}{\sqrt2}\right)^2=\frac23ml^2}. J = 6 m l 2 + m ( 2 l ) 2 = 3 2 m l 2 . (2) 静止位置のポテンシャルエネルギーを零とすると
T = 1 2 J θ ˙ 2 = 1 3 m l 2 θ ˙ 2 , U = ( m g l 2 2 + k h 2 ) θ 2 . \boxed{T=\frac12J\dot\theta^2=\frac13ml^2\dot\theta^2},\qquad
\boxed{U=\left(\frac{mgl}{2\sqrt2}+kh^2\right)\theta^2}. T = 2 1 J θ ˙ 2 = 3 1 m l 2 θ ˙ 2 , U = ( 2 2 m g l + k h 2 ) θ 2 . ここで重心の上昇量は l θ 2 / ( 2 2 ) l\theta^2/(2\sqrt2) l θ 2 / ( 2 2 ) h θ h\theta h θ
(3) ラグランジュ方程式から
2 3 m l 2 θ ¨ + ( m g l 2 + 2 k h 2 ) θ = 0 . \boxed{\frac23ml^2\ddot\theta+\left(\frac{mgl}{\sqrt2}+2kh^2\right)\theta=0}. 3 2 m l 2 θ ¨ + ( 2 m g l + 2 k h 2 ) θ = 0 . (4) 設問の ω 0 \omega_0 ω 0 ω \omega ω
ω 0 = 3 2 m g l + 12 k h 2 4 m l 2 . \boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{3\sqrt2mgl+12kh^2}{4ml^2}}}. ω 0 = 4 m l 2 3 2 m g l + 12 k h 2 . 周波数を Hz で表す場合は f 0 = ω 0 / ( 2 π ) f_0=\omega_0/(2\pi) f 0 = ω 0 / ( 2 π )
(5) 慣性モーメントは変わらず、回転剛性の 2 k h 2 2kh^2 2 k h 2
(6) J θ ¨ + J ω 0 2 θ = X sin ω t J\ddot\theta+J\omega_0^2\theta=X\sin\omega t J θ ¨ + J ω 0 2 θ = X sin ω t
θ p ( t ) = X J ( ω 0 2 − ω 2 ) sin ω t . \theta_{\rm p}(t)=\frac{X}{J(\omega_0^2-\omega^2)}\sin\omega t. θ p ( t ) = J ( ω 0 2 − ω 2 ) X sin ω t . したがって振幅は
Θ a m p = ∣ X ∣ J ∣ ω 0 2 − ω 2 ∣ = 6 ∣ X ∣ ∣ 3 2 m g l + 12 k h 2 − 4 m l 2 ω 2 ∣ . \boxed{\Theta_{\rm amp}=\frac{|X|}{J|\omega_0^2-\omega^2|}
=\frac{6|X|}{|3\sqrt2mgl+12kh^2-4ml^2\omega^2|}}. Θ amp = J ∣ ω 0 2 − ω 2 ∣ ∣ X ∣ = ∣3 2 m g l + 12 k h 2 − 4 m l 2 ω 2 ∣ 6∣ X ∣ . (1) 両端の力による合計トルクは L f Lf L f
J θ ¨ + c θ ˙ = L f , Θ ( s ) F ( s ) = L s ( J s + c ) . J\ddot\theta+c\dot\theta=Lf,\qquad
\boxed{\frac{\Theta(s)}{F(s)}=\frac{L}{s(Js+c)}}. J θ ¨ + c θ ˙ = L f , F ( s ) Θ ( s ) = s ( J s + c ) L . (2) 次の特性多項式をおく。
D ( s ) = s ( J s + c ) ( 1 + τ s ) + L ( k d s + k p ) . D(s)=s(Js+c)(1+\tau s)+L(k_ds+k_p). D ( s ) = s ( J s + c ) ( 1 + τ s ) + L ( k d s + k p ) . 制御則を運動方程式へ代入して整理すれば
Θ T − Θ = [ s ( J s + c ) ( 1 + τ s ) + L k d s ] Θ T − L ( 1 + τ s ) F e r r D ( s ) . \boxed{\Theta_T-\Theta=
\frac{[s(Js+c)(1+\tau s)+Lk_ds]\Theta_T-L(1+\tau s)F_{\rm err}}{D(s)}}. Θ T − Θ = D ( s ) [ s ( J s + c ) ( 1 + τ s ) + L k d s ] Θ T − L ( 1 + τ s ) F err . (3) 閉ループが安定なら、Θ T = F e r r = 1 / s \Theta_T=F_{\rm err}=1/s Θ T = F err = 1/ s
lim t → ∞ ( θ T − θ ) = − 1 k p . \boxed{\lim_{t\to\infty}(\theta_T-\theta)=-\frac1{k_p}}. t → ∞ lim ( θ T − θ ) = − k p 1 . この極限の成立には ( J + c τ ) ( c + L k d ) > J τ L k p (J+c\tau)(c+Lk_d)>J\tau Lk_p ( J + c τ ) ( c + L k d ) > J τL k p
(4) c = 0 c=0 c = 0
J τ s 3 + J s 2 + L k d s + L k p = 0. J\tau s^3+Js^2+Lk_ds+Lk_p=0. J τ s 3 + J s 2 + L k d s + L k p = 0. ラウス表の第1列は J τ , J , L ( k d − τ k p ) , L k p J\tau,J,L(k_d-\tau k_p),Lk_p J τ , J , L ( k d − τ k p ) , L k p
k p > 0 , k d > τ k p . \boxed{k_p>0,\qquad k_d>\tau k_p}. k p > 0 , k d > τ k p . Reference 
