東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2023年度 機械工学第2部 問題 1

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• Torsion
• Stress-Transformation
• Truss

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

I

長さ $L$ の片持ちはり AB（A 固定、軸は $x$ 方向）の B 端に、$z$ 方向を向く長さ $L/3$ のはり BC を直角に接続する。C に $-y$ 方向の荷重 $W$、B に $+x$ 方向の荷重 $P$ が作用する。AB の断面は外半径 $R$、内半径 $R/2$ の同心円環で、$L\gg R$ とする。固定端断面の点 a は $(y,z)=(0,-R)$ である。

1. $I_y,I_z,I_p$ を求めよ。
2. a の $\sigma_x,\tau_{xy}$ を求めよ。$\tau_{xy}$ は $+x$ 面の $+y$ 向きを正とする。
3. a の最大主応力と最大せん断応力を求めよ。

II

同じ断面積 $S$、ヤング率 $E$ の棒による平面トラスを考える。上部の A、B を固定し、長さ $L/\cos\theta$ の棒① AO、② BO を鉛直軸に対して対称に配置する。各棒と鉛直軸との角度は $\theta$。変形は微小で、自重と座屈を無視する。

1. O に鉛直下向き荷重 $P$ を加える。棒の軸応力 $\sigma_1=\sigma_2$、棒①の伸び $\delta_1$、O の下向き変位 $\delta$、力のつり合い式、および構造の名称を答えよ（原問の空欄 a～e）。
2. 対称軸上の固定点 C と O を長さ $L$ の棒③で結び、その中点 D に下向き荷重 $P$ を加える。O の変位、棒①と棒③の軸応力を求めよ。

题目描述

I：长为 $L$ 的空心圆截面悬臂梁 AB，外半径 $R$、内半径 $R/2$。B 处沿 $z$ 方向接长为 $L/3$ 的杆 BC，C 受向下力 $W$，B 受轴向拉力 $P$。求截面惯性矩、固定端 $(y,z)=(0,-R)$ 点的应力、最大主应力和最大剪应力。

II：两根长 $L/\cos\theta$、与竖直方向夹角均为 $\theta$ 的杆组成对称 V 形桁架，截面积 $S$、杨氏模量 $E$。先求 O 受向下力 $P$ 时的轴应力、杆伸长和 O 位移，并填静定结构相关空格；再加长 $L$ 的竖直杆 CO，在其中心 D 加载，求 O 位移与各段轴应力。

Kai

I

(1) 円環断面の差をとれば

$$A=\frac{3\pi R^2}{4},\qquad I_y=I_z=\frac{\pi}{4}\left(R^4-\frac{R^4}{16}\right)=\boxed{\frac{15\pi R^4}{64}},\qquad \boxed{I_p=\frac{15\pi R^4}{32}}.$$

(2) 固定端の曲げモーメントの大きさは $WL$、ねじりモーメントは $T=WL/3$。a は曲げの中立軸上にあるので、曲げによる垂直応力はゼロである。$L\gg R$ より横せん断力による応力を無視すると

$$\boxed{\sigma_x=\frac{4P}{3\pi R^2}},\qquad \boxed{\tau_{xy}=\frac{TR}{I_p}=\frac{32WL}{45\pi R^3}}.$$

(3) $s=\sigma_x,\ t=\tau_{xy}$ とおくと、主応力は $s/2\pm\sqrt{s^2/4+t^2}$ と $0$。したがって

$$\boxed{\sigma_{\max}=\frac{s}{2}+\sqrt{\frac{s^2}{4}+t^2}},\qquad \boxed{\tau_{\max}=\sqrt{\frac{s^2}{4}+t^2}}.$$

II

(1) 引張りを正とすると、O のつり合いより $P=2S\sigma_1\cos\theta$。適合条件は $\delta_1=\delta\cos\theta$ である。

空欄	解答
a	$2S\sigma_1\cos\theta$
b	$P/(2S\cos\theta)$
c	$PL/(2ES\cos^2\theta)$
d	$PL/(2ES\cos^3\theta)$
e	静定

(2) $c=\cos\theta$ とおく。棒③の上端・下端に働く上向き反力を $R_C,R_O$ とすれば

$$R_C+R_O=P,\qquad \delta=\frac{R_OL}{2ESc^3}=\frac{(R_C-R_O)L}{2ES}.$$

よって

$$R_C=\frac{1+c^3}{1+2c^3}P,\qquad R_O=\frac{c^3}{1+2c^3}P,$$

$$\boxed{\delta=\frac{PL}{2ES(1+2c^3)}}\quad\text{（下向き）},\qquad \boxed{\sigma_1=\sigma_2=\frac{Pc^2}{2S(1+2c^3)}}.$$

棒③では

$$\boxed{\sigma_{CD}=\frac{P(1+c^3)}{S(1+2c^3)}},\qquad \boxed{\sigma_{DO}=-\frac{Pc^3}{S(1+2c^3)}}.$$

Reference

• 東京大学 公式問題（2023年度、第2部）
• SN：2023-I 材料力学
• SN：2023-II 材料力学