東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2022年8月実施 機械工学第2部 問題 1

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• 东京大学
• 扭转
• 应力变换与主应力
• 桁架

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の I、II の両方について解答せよ。なお、I の解答に答案用紙1枚を、II の解答に答案用紙1枚を、それぞれ用いること。

I

図1-1に示すように、長さ $L$ の一様断面片持ちはり AB の B 端に、長さ $L/3$ の一様断面はり BC が直角に接続されている。はり BC の C 端には $y$ 軸下向き方向の集中荷重 $W$ が、片持ちはり AB の B 端の断面には $x$ 軸方向の荷重 $P$ が作用している。集中荷重 $W$ が印加される前のはり BC の中心軸は $z$ 軸に平行であり $x$-$z$ 平面上にある。図1-2に示すように、片持ちはり AB は半径 $R$ の円形断面形状を有し、軸方向に半径 $R/2$ の円孔があいている。片持ちはり AB の長さ $L$ は半径 $R$ に比べて十分に大きいとする。以下の設問に答えよ。

(1) 片持ちはり AB の断面の $I_y,I_z$ および $I_P$ を求めよ。ここで、$I_y,I_z$ は、それぞれ $y$ 軸、$z$ 軸に関する断面二次モーメントであり、$I_P$ は図心 O に関する断面二次極モーメントである。

(2) 図1-3は片持ちはり AB の固定端の点 a における応力状態を示したものである。点 a の垂直応力 $\sigma_x$ とせん断応力 $\tau_{xy}$ を求めよ。

(3) 片持ちはり AB の固定端の点 a における最大主応力および最大せん断応力を求めよ。

II

平面トラス構造に関する以下の問いに答えよ。棒部材の断面は一様で断面積は $S$ である。棒部材の材料も同一でヤング率は $E$ である。自重の影響は無視することができ、座屈は発生しないものとする。

(1) 図1-4に示すように長さ $\dfrac{L}{\cos\theta}$ の棒①と棒②を鉛直方向軸に対して左右対称に角度 $\theta$ をなして配置しトラス構造を作製した。点 O に鉛直下向きに荷重 $P$ を加える。そのときの点 O の変位を求める下記の記述の（a）～（e）に入る適切な式あるいは語句を答えよ。

棒①の軸応力を $\sigma_1$、棒②の軸応力を $\sigma_2$ とする。構造は鉛直軸に対して対称なので $\sigma_1=\sigma_2$ である。点 O における鉛直方向の力のつりあいより、$P=\boxed{\text{a}}$ となり、$\sigma_1=\sigma_2=\boxed{\text{b}}$ と求められる。この応力により発生する棒①の軸方向の伸びを $\delta_1$ とすると、$\delta_1=\boxed{\text{c}}$ となる。図1-5のように棒①および棒②の伸びにより点 O が点 O′ に移動したとする。AO′ に対して垂線 OH を立てると、長さ O′H は近似的に伸び $\delta_1$ に等しいとみなしてよく、また OO′ と HO′ のなす角度は近似的に $\theta$ とみなしてよいので、点 O の鉛直下向き変位は $\delta=\boxed{\text{d}}$ となる。このトラス構造のように、静力学的力のつり合いのみで応力と変位が決定できる構造は（e）構造と呼ばれる。

(2) 図1-4のトラス構造の対称軸上に長さ $L$ の棒部材③を加えて図1-6に示すトラス構造を構成した。棒③の中央点 D に鉛直下向きに荷重 $P$ を加えた。点 O の変位と、棒①に生じる軸応力および棒③に生じる軸応力を求めよ。

题目描述

I、II 均须作答，每部分各用一张答题纸。

I

如图1-1，在长为 $L$ 的等截面悬臂梁 AB 的 B 端，垂直接上长为 $L/3$ 的等截面梁 BC。C 端受到沿 $y$ 轴向下的集中载荷 $W$，AB 的 B 端截面受到沿 $x$ 轴的载荷 $P$。施加载荷 $W$ 前，BC 的中心轴平行于 $z$ 轴，位于 $x$-$z$ 平面内。如图1-2，AB 外截面为半径 $R$ 的圆，沿轴线有半径 $R/2$ 的圆孔，且 $L$ 远大于 $R$。回答以下问题。

(1) 求 AB 截面的 $I_y,I_z,I_P$，其中前两者分别是关于 $y,z$ 轴的截面二次矩，$I_P$ 是关于截面形心 O 的极二次矩。

(2) 图1-3表示 AB 固定端 a 点的应力状态，求该点的正应力 $\sigma_x$ 和剪应力 $\tau_{xy}$。

(3) 求 AB 固定端 a 点的最大主应力与最大剪应力。

II

回答有关平面桁架的问题。各杆截面均匀、面积为 $S$，材料相同、杨氏模量为 $E$。可忽略自重，且不发生屈曲。

(1) 如图1-4，将长度为 $L/\cos\theta$ 的杆①、②相对于竖直轴对称布置，各与竖直方向成 $\theta$ 角。在 O 点施加竖直向下的载荷 $P$。以下文字求解 O 点位移，在 a～e 中填入适当公式或词语。

设两杆的轴向应力为 $\sigma_1,\sigma_2$。结构关于竖直轴对称，因此 $\sigma_1=\sigma_2$。由 O 点竖直方向力平衡，有 $P=\boxed{\text{a}}$，从而 $\sigma_1=\sigma_2=\boxed{\text{b}}$。设杆①由此产生的轴向伸长为 $\delta_1$，则 $\delta_1=\boxed{\text{c}}$。如图1-5，两杆伸长使 O 移至 O′。向 AO′ 作垂线 OH，可近似认为 O′H 等于伸长 $\delta_1$，OO′ 与 HO′ 的夹角近似为 $\theta$，故 O 点竖直向下的位移为 $\delta=\boxed{\text{d}}$。像此桁架一样，仅由静力平衡便可确定应力与位移的结构称为（e）结构。

(2) 在图1-4的对称轴上增加长为 $L$ 的杆③，形成图1-6的桁架。在杆③的中点 D 施加竖直向下载荷 $P$。求 O 点位移、杆①的轴向应力，以及杆③的轴向应力。

Kai

I

(1) 円環断面の差をとれば

$$\begin{gathered} A=\frac{3\pi R^2}{4},\\ I_y=I_z=\frac{\pi}{4}\left(R^4-\frac{R^4}{16}\right)=\boxed{\frac{15\pi R^4}{64}},\\ \boxed{I_p=\frac{15\pi R^4}{32}}. \end{gathered}$$

(2) 固定端の曲げモーメントの大きさは $WL$、ねじりモーメントは $T=WL/3$。a は曲げの中立軸上にあるので、曲げによる垂直応力はゼロである。$L\gg R$ より横せん断力による応力を無視すると

$$\boxed{\sigma_x=\frac{4P}{3\pi R^2}},\qquad \boxed{\tau_{xy}=\frac{TR}{I_p}=\frac{32WL}{45\pi R^3}}.$$

(3) $s=\sigma_x,\ t=\tau_{xy}$ とおくと、主応力は $s/2\pm\sqrt{s^2/4+t^2}$ と $0$。したがって

$$\begin{gathered} \boxed{\sigma_{\max}=\frac{s}{2}+\sqrt{\frac{s^2}{4}+t^2}},\\ \boxed{\tau_{\max}=\sqrt{\frac{s^2}{4}+t^2}}. \end{gathered}$$

II

(1) 引張りを正とすると、O のつり合いより $P=2S\sigma_1\cos\theta$。適合条件は $\delta_1=\delta\cos\theta$ である。

空欄	解答
a	$2S\sigma_1\cos\theta$
b	$P/(2S\cos\theta)$
c	$PL/(2ES\cos^2\theta)$
d	$PL/(2ES\cos^3\theta)$
e	静定

(2) $c=\cos\theta$ とおく。棒③の上端・下端に働く上向き反力を $R_C,R_O$ とすれば

$$\begin{gathered} R_C+R_O=P,\\ \delta=\frac{R_OL}{2ESc^3}=\frac{(R_C-R_O)L}{2ES}. \end{gathered}$$

よって

$$R_C=\frac{1+c^3}{1+2c^3}P,\qquad R_O=\frac{c^3}{1+2c^3}P,$$

$$\begin{gathered} \boxed{\delta=\frac{PL}{2ES(1+2c^3)}}\\ \text{（下向き）},\\ \boxed{\sigma_1=\sigma_2=\frac{Pc^2}{2S(1+2c^3)}}. \end{gathered}$$

棒③では

$$\begin{gathered} \boxed{\sigma_{CD}=\frac{P(1+c^3)}{S(1+2c^3)}},\\ \boxed{\sigma_{DO}=-\frac{Pc^3}{S(1+2c^3)}}. \end{gathered}$$

Reference

• 東京大学 公式問題（2023年度、第2部）
• SN：2023-I 材料力学
• SN：2023-II 材料力学