東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2021年8月実施 問題 2 設問 II

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• 哈根–泊肃叶流
• 表面张力

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

II

液体で満たされた十分大きな容器に、直径 $D$ の細い円管が接続されている。図2-2に示すように、ある時刻においてバルブを開き、液体が円管内に流入する現象を考える。バルブを開けた後、バルブから容器内の水面までの高さは一定に保たれている。以下では、バルブを開いた後、十分に時間が経過した場合を考える。このとき、円管内部の流速は十分に小さくなるため、バルブ直後の圧力 $P_V$ は時間変化しないとみなしてよい。液体は非圧縮性流体とし、その密度、粘度をそれぞれ $\rho,\mu$ とする。

図2-2に示すように、円管内の液体が存在する領域を液柱部と気液界面の影響を受ける先端部に分けて、その境界面を検査面 F とする。先端部はその形状を変えることなく液柱部の長さ $L(t)$ のみが時間 $t$ とともに増加すると仮定する。また、液柱部内部の流れは層流であり、その主流方向速度成分は管の半径方向に放物分布を持つと仮定してよい。ある時刻 $t=0$ における液柱部の長さを $L(0)=L_0$ とする。液柱部に関して、以下の設問に答えよ。

(1) 液柱内部の運動量の時間変化は無視できると仮定し、時刻 $t=0$ における気液界面の移動速度 $U(0)=U_0$ を $D,L_0,\Delta P,\mu$ を用いて表せ。ただし、$\Delta P=P_V-P_F$ はバルブ直後と検査面 F の圧力差である。

(2) 時刻 $t\ge0$ において、常に設問(1)の条件が成立すると仮定し、$D,\Delta P,\mu$ を用いて液柱部長さ $L(t)$ の時間発展を支配する方程式を導出せよ。

(3) $\Delta P$ は時間変化しないと仮定し、時刻 $t=0$ における液柱部長さ $L_0$ を初期条件として、設問(2)で得られた方程式を解き、時刻 $t\ge0$ における液柱長さ $L(t)$ の時間発展を求めよ。

(4) 時刻 $t=0$ における液柱部内部における単位時間あたりの粘性によるエネルギー散逸を $D,U_0,\Delta P$ を用いて表せ。ただし、液柱部内部の運動エネルギーの時間変化は無視してよい。

ここまでの考察では、検査面 F の圧力 $P_F$ は一定と仮定した。続いて、$P_F$ がどのように決まるかを考察するため、先端部を考える。図2-2の拡大図に示すように、先端部では気液界面はその移動速度に依らず接触角 $\theta$ で壁面と接するものとする。このとき、気液界面と壁面の接触線上では、単位長さあたりの表面力である表面張力 $\sigma$ の反力が壁から気液界面に作用する。円管内の気体の圧力は大気圧 $P_0$ と等しいものとする。先端部に関して、以下の設問に答えよ。

(5) 図2-2の拡大図の破線で囲まれた検査体積における運動量法則に基づき、表面張力の反力を考慮して、検査面 F の圧力 $P_F$ を $D,P_0,\sigma,\theta$ を用いて表せ。ただし、液体の速度は十分に小さいため、検査体積内において、気体の部分を含めた流体と円管内壁との摩擦、流体の流動に伴う運動量の流入および流出、流体の運動量の時間変化は無視できるものとする。

题目描述

II

一个装满液体的足够大的容器与直径为 $D$ 的细圆管相连。如图2-2，某时刻打开阀门，液体流入圆管。开阀后，从阀门到容器内液面的高度保持不变。考虑开阀后经过足够长时间的情况：此时管内速度足够小，可认为阀后压强 $P_V$ 不随时间变化。液体不可压缩，密度、黏度分别为 $\rho,\mu$。

将管内液体区域分成液柱部和受气液界面影响的前端部，两者的分界面为控制面 F。假设前端部形状不变，仅液柱长度 $L(t)$ 随时间增长；液柱内为层流，主流方向的速度沿半径呈抛物分布。取某时刻为 $t=0$，液柱长度 $L(0)=L_0$。回答关于液柱的以下问题。

(1) 忽略液柱内部动量的时间变化，用 $D,L_0,\Delta P,\mu$ 表示 $t=0$ 时气液界面的移动速度 $U(0)=U_0$，其中 $\Delta P=P_V-P_F$ 是阀后与控制面 F 的压强差。

(2) 假设 (1) 的条件对所有 $t\ge0$ 成立，利用 $D,\Delta P,\mu$ 推导控制液柱长度 $L(t)$ 随时间变化的方程。

(3) 假设 $\Delta P$ 不随时间变化，以 $t=0$ 时液柱长度为 $L_0$ 为初始条件，解 (2) 的方程，求 $t\ge0$ 时的 $L(t)$。

(4) 用 $D,U_0,\Delta P$ 表示 $t=0$ 时液柱内部单位时间的黏性耗散能。可忽略液柱内部动能的时间变化。

此前假设控制面 F 的压强 $P_F$ 恒定。下面通过前端部来考察 $P_F$ 如何确定。如图2-2放大图，气液界面与壁面的接触角为 $\theta$，不随界面移动速度改变。在界面与壁面的接触线上，壁面对界面施加表面张力 $\sigma$ 的反力，$\sigma$ 为单位长度的表面力。管内气体压强等于大气压 $P_0$。回答关于前端部的问题。

(5) 对图2-2放大图中虚线围成的控制体应用动量定律，计入表面张力的反力，用 $D,P_0,\sigma,\theta$ 表示控制面 F 的压强 $P_F$。液体速度足够小，可忽略控制体内包括气体在内的流体与管壁的摩擦、随流动进出的动量，以及流体动量随时间的变化。

Kai

(1)

半径を $r$ とする。圧力と粘性力の釣合い、壁面の粘着条件より、

$$\begin{gathered} u(r)=\frac{\Delta P}{4\mu L_0}\left(\frac{D^2}{4}-r^2\right),\\ Q=2\pi\int_0^{D/2}u(r)r\,dr=\frac{\pi D^4\Delta P}{128\mu L_0}. \end{gathered}$$

先端形状が一定なので、界面速度は断面平均速度に等しい。したがって

$$\boxed{U_0=\frac{Q}{\pi D^2/4}=\frac{D^2\Delta P}{32\mu L_0}}.$$

(2)

$$\boxed{\frac{dL}{dt}=\frac{D^2\Delta P}{32\mu L}}.$$

(3)

$L\,dL=D^2\Delta P\,dt/(32\mu)$ を初期条件の下で積分して、

$$\boxed{L(t)=\sqrt{L_0^2+\frac{D^2\Delta P}{16\mu}t}}.$$

(4)

圧力の仕事率が粘性散逸率に等しいので、

$$\boxed{\dot E_{\rm diss}=Q\Delta P=\frac{\pi D^2}{4}U_0\Delta P}.$$

(5)

進行方向を正とする。圧力合力は $(P_F-P_0)\pi D^2/4$、接触線の反力の合計は $\pi D\sigma\cos\theta$ である。よって

$$\begin{gathered} \frac{\pi D^2}{4}(P_F-P_0)+\pi D\sigma\cos\theta=0,\\ \boxed{P_F=P_0-\frac{4\sigma\cos\theta}{D}}. \end{gathered}$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2022年度）
• SN の解答・解説