東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2021年8月実施 問題 2 設問 II

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

大きな液槽から、バルブを介して内径 $D$ の水平細管に液体が流入する。液面の高さは一定であり、十分時間が経過した遅い流れを考える。密度 $\rho$、粘度 $\mu$ は一定。液体の先端形状は変わらず、その手前の液柱長さ $L(t)$ だけが増加する。液柱内は放物形の層流速度分布を持つ。バルブ直後の圧力を $P_V$、液柱と先端部の境界 F における圧力を $P_F$、$\Delta P=P_V-P_F$、$L(0)=L_0$ とする。

(1) 液柱の運動量の時間変化を無視し、界面の初速度 $U_0$ を求めよ。

(2) 同じ近似の下で $L(t)$ の支配方程式を導け。(3) $\Delta P$ 一定として解け。

(4) 運動エネルギーの時間変化を無視し、$t=0$ の粘性散逸率を $D,U_0,\Delta P$ で表せ。

(5) 先端部について、流入出運動量、蓄積運動量、壁面摩擦を無視する。気体圧力は $P_0$、表面張力は $\sigma$、接触角は液体側から測った $\theta$ とする。接触線に作用する表面張力の反力を含む力の釣合いから $P_F$ を求めよ。

题目描述

大液槽向直径 $D$ 的水平细管供液。液柱长度为 $L(t)$，初值 $L_0$；先端形状不变。液柱内为准定常抛物线层流，黏度 $\mu$，两端压差 $\Delta P=P_V-P_F$。求界面初速度、液柱增长方程及恒定压差下的解、初始黏性耗散功率；再利用表面张力 $\sigma$、液侧接触角 $\theta$ 及气体压力 $P_0$ 求 $P_F$。

Kai

(1)

半径を $r$ とする。圧力と粘性力の釣合い、壁面の粘着条件より、

$$u(r)=\frac{\Delta P}{4\mu L_0}\left(\frac{D^2}{4}-r^2\right),\qquad Q=2\pi\int_0^{D/2}u(r)r\,dr=\frac{\pi D^4\Delta P}{128\mu L_0}.$$

先端形状が一定なので、界面速度は断面平均速度に等しい。したがって

$$\boxed{U_0=\frac{Q}{\pi D^2/4}=\frac{D^2\Delta P}{32\mu L_0}}.$$

(2)

$$\boxed{\frac{dL}{dt}=\frac{D^2\Delta P}{32\mu L}}.$$

(3)

$L\,dL=D^2\Delta P\,dt/(32\mu)$ を初期条件の下で積分して、

$$\boxed{L(t)=\sqrt{L_0^2+\frac{D^2\Delta P}{16\mu}t}}.$$

(4)

圧力の仕事率が粘性散逸率に等しいので、

$$\boxed{\dot E_{\rm diss}=Q\Delta P=\frac{\pi D^2}{4}U_0\Delta P}.$$

(5)

進行方向を正とする。圧力合力は $(P_F-P_0)\pi D^2/4$、接触線の反力の合計は $\pi D\sigma\cos\theta$ である。よって

$$\frac{\pi D^2}{4}(P_F-P_0)+\pi D\sigma\cos\theta=0,\qquad \boxed{P_F=P_0-\frac{4\sigma\cos\theta}{D}}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2022年度）
• SN の解答・解説