東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2021年8月実施 問題 2 設問 I

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

水平底面上の二次元定常流が、上流の水深 $H_1$・一様速度 $V_1$ から下流の水深 $H_2>H_1$ へ変化する。液体密度は $\rho$、重力加速度は $g$、大気圧は $P_0$。底面のせん断力、空気の密度と粘性を無視する。奥行きを 1 とし、高さ $H_2$ の長方形検査体積 ABCD（上流側 AB、下流側 CD、底面 BC）をとる。

(1) AB 全体に作用する圧力の合力 $F_1$ を求めよ。

(2) CD から流出する運動量流束 $M_{\rm out}$ を $\rho,H_1,H_2,V_1$ で表せ。

(3) $F_1-F_2$ を運動量法則で求めよ。ただし $F_2$ は CD の圧力合力の大きさ。

(4) $H_2$ を $g,H_1,V_1$ で表せ。(5) 液面上昇の判定に使う無次元数を定義し、上昇条件を示せ。

题目描述

水平水道中，液体由上游水深 $H_1$、均匀流速 $V_1$ 变为下游水深 $H_2>H_1$。忽略底面切应力和空气的惯性、黏性。取单位宽度、高度 $H_2$ 的矩形控制体，求上游侧总压力、下游动量流率、两侧压力合力之差、下游水深，以及产生水跃的无量纲判据。

Kai

(1)

AB のうち $0\le y\le H_1$ には静水圧、$H_1<y\le H_2$ には大気圧が働く。よって

$$\boxed{F_1=\int_0^{H_1}[P_0+\rho g(H_1-y)]\,dy+P_0(H_2-H_1) =P_0H_2+\frac12\rho gH_1^2}.$$

(2)

連続の式 $H_1V_1=H_2V_2$ より、

$$\boxed{M_{\rm out}=\rho H_2V_2^2=\frac{\rho H_1^2V_1^2}{H_2}}.$$

(3)

$$\boxed{F_1-F_2=M_{\rm out}-\rho H_1V_1^2 =\rho H_1V_1^2\left(\frac{H_1}{H_2}-1\right)}.$$

(4)

下流の圧力合力は $F_2=P_0H_2+\rho gH_2^2/2$。したがって

$$\frac g2(H_1^2-H_2^2)=H_1V_1^2\left(\frac{H_1}{H_2}-1\right).$$

$H_2\ne H_1$ より約分し、正の解を選ぶと、

$$\boxed{H_2=\frac{H_1}{2}\left(\sqrt{1+\frac{8V_1^2}{gH_1}}-1\right)}.$$

(5)

上流フルード数を $\displaystyle \mathrm{Fr}_1=V_1/\sqrt{gH_1}$ と定義する。

$$H_2>H_1\iff \sqrt{1+8\mathrm{Fr}_1^2}>3 \iff\boxed{\mathrm{Fr}_1>1}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2022年度）
• SN の解答・解説