東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2021年8月実施 問題 2 設問 I Author 祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)
Description 下記の I、II の両方について解答せよ。なお、I の解答に答案用紙1枚を、II の解答に答案用紙1枚を、それぞれ用いること。
図2-1に示すような流れおよび検査体積 ABCD を考える。左側の検査面 AB から一様な流速で流入した液体は、検査体積内のある地点で液面が上昇し、右側の検査面 CD から一様な流速で流出する。液面より上側の圧力は大気圧 P 0 P_0 P 0 ρ \rho ρ g g g H 1 H_1 H 1 V 1 V_1 V 1 H 2 H_2 H 2
(1) 図2-1に示す検査体積において、検査面 AB に働く力 F 1 F_1 F 1 P 0 , ρ , g , H 1 , H 2 P_0,\rho,g,H_1,H_2 P 0 , ρ , g , H 1 , H 2
(2) 検査面 CD から単位時間あたりに流出する運動量 M o u t M_{\mathrm{out}} M out ρ , H 1 , H 2 , V 1 \rho,H_1,H_2,V_1 ρ , H 1 , H 2 , V 1
(3) 設問(2)の結果をもとに、検査体積に対する運動量の流入出を考える。運動量法則を用いて、検査面 AB に働く力の大きさ F 1 F_1 F 1 F 2 F_2 F 2 F 1 − F 2 F_1-F_2 F 1 − F 2 ρ , H 1 , H 2 , V 1 \rho,H_1,H_2,V_1 ρ , H 1 , H 2 , V 1
(4) H 2 H_2 H 2 g , H 1 , V 1 g,H_1,V_1 g , H 1 , V 1
(5) 設問(4)の結果を用いて、図2-1に示すような液面の上昇、すなわち H 1 < H 2 H_1<H_2 H 1 < H 2 H 1 < H 2 H_1<H_2 H 1 < H 2
题目描述
I、II 均须作答，每部分各用一张答题纸。
考虑图2-1中的流动及控制体 ABCD。液体从左侧控制面 AB 以均匀速度流入，在控制体内某处液面升高，再从右侧控制面 CD 以均匀速度流出。液面以上的压强为恒定大气压 P 0 P_0 P 0 ρ \rho ρ g g g H 1 , V 1 H_1,V_1 H 1 , V 1 H 2 H_2 H 2
(1) 用 P 0 , ρ , g , H 1 , H 2 P_0,\rho,g,H_1,H_2 P 0 , ρ , g , H 1 , H 2 F 1 F_1 F 1
(2) 用 ρ , H 1 , H 2 , V 1 \rho,H_1,H_2,V_1 ρ , H 1 , H 2 , V 1 M o u t M_{\mathrm{out}} M out
(3) 根据 (2) 考虑控制体的动量流入和流出，利用动量定律，用 ρ , H 1 , H 2 , V 1 \rho,H_1,H_2,V_1 ρ , H 1 , H 2 , V 1 F 1 − F 2 F_1-F_2 F 1 − F 2
(4) 用 g , H 1 , V 1 g,H_1,V_1 g , H 1 , V 1 H 2 H_2 H 2
(5) 利用 (4) 定义一个无量纲数，用来决定图2-1所示液面升高（即 H 1 < H 2 H_1<H_2 H 1 < H 2
Kai (1)
AB のうち 0 ≤ y ≤ H 1 0\le y\le H_1 0 ≤ y ≤ H 1 H 1 < y ≤ H 2 H_1<y\le H_2 H 1 < y ≤ H 2
F 1 = ∫ 0 H 1 [ P 0 + ρ g ( H 1 − y ) ] d y + P 0 ( H 2 − H 1 ) = P 0 H 2 + 1 2 ρ g H 1 2 . \boxed{\begin{gathered}
F_1=\int_0^{H_1}[P_0+\rho g(H_1-y)]\,dy+P_0(H_2-H_1)\\
=P_0H_2+\frac12\rho gH_1^2
\end{gathered}}. F 1 = ∫ 0 H 1 [ P 0 + ρ g ( H 1 − y )] d y + P 0 ( H 2 − H 1 ) = P 0 H 2 + 2 1 ρ g H 1 2 . (2)
連続の式 H 1 V 1 = H 2 V 2 H_1V_1=H_2V_2 H 1 V 1 = H 2 V 2
M o u t = ρ H 2 V 2 2 = ρ H 1 2 V 1 2 H 2 . \boxed{M_{\rm out}=\rho H_2V_2^2=\frac{\rho H_1^2V_1^2}{H_2}}. M out = ρ H 2 V 2 2 = H 2 ρ H 1 2 V 1 2 . (3)
F 1 − F 2 = M o u t − ρ H 1 V 1 2 = ρ H 1 V 1 2 ( H 1 H 2 − 1 ) . \boxed{\begin{gathered}
F_1-F_2=M_{\rm out}-\rho H_1V_1^2\\
=\rho H_1V_1^2\left(\frac{H_1}{H_2}-1\right)
\end{gathered}}. F 1 − F 2 = M out − ρ H 1 V 1 2 = ρ H 1 V 1 2 ( H 2 H 1 − 1 ) . (4)
下流の圧力合力は F 2 = P 0 H 2 + ρ g H 2 2 / 2 F_2=P_0H_2+\rho gH_2^2/2 F 2 = P 0 H 2 + ρ g H 2 2 /2
g 2 ( H 1 2 − H 2 2 ) = H 1 V 1 2 ( H 1 H 2 − 1 ) . \frac g2(H_1^2-H_2^2)=H_1V_1^2\left(\frac{H_1}{H_2}-1\right). 2 g ( H 1 2 − H 2 2 ) = H 1 V 1 2 ( H 2 H 1 − 1 ) . H 2 ≠ H 1 H_2\ne H_1 H 2 = H 1
H 2 = H 1 2 ( 1 + 8 V 1 2 g H 1 − 1 ) . \boxed{H_2=\frac{H_1}{2}\left(\sqrt{1+\frac{8V_1^2}{gH_1}}-1\right)}. H 2 = 2 H 1 1 + g H 1 8 V 1 2 − 1 . (5)
上流フルード数を F r 1 = V 1 / g H 1 \displaystyle \mathrm{Fr}_1=V_1/\sqrt{gH_1} Fr 1 = V 1 / g H 1
H 2 > H 1 ⟺ 1 + 8 F r 1 2 > 3 ⟺ F r 1 > 1 . H_2>H_1\iff \sqrt{1+8\mathrm{Fr}_1^2}>3
\iff\boxed{\mathrm{Fr}_1>1}. H 2 > H 1 ⟺ 1 + 8 Fr 1 2 > 3 ⟺ Fr 1 > 1 . Reference 