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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2021年8月実施 機械工学第1部 問題1 II

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

II​

新型コロナウイルス感染症の世界的な流行によって、ハンディタイプの放射体温計による体温チェックを目にすることが多くなった。この種の放射体温計は、従来の放射温度計の設定を変えたものと考えられるが、どのような原理によって体温が計測されるのか考察したい。なお、人体は灰色体として近似でき、射出率 εS\varepsilon_S は 0.980.98 とする。ステファン-ボルツマン定数 σ=5.7×10−8 W/(m2⋅K4)\sigma=5.7\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\cdot K^4)} とする。

以下の設問に答えよ。

(1) 最初に放射伝熱を無視して、対流伝熱の効果を考える。人間の頭部の熱モデルとして図1-2に示すような極めて簡単な無限円筒コア-シェルモデルを採用する。半径 R1R_1 のコア部の温度は一定 TCT_C とし、半径 R2R_2 における表面温度 TST_S を求める。シェル部分は熱伝導率 λ\lambda の固体で発熱は無視でき、表面から温度 T∞T_\infty の室内には熱伝達率 hh での放熱があるとする。一次元の定常状態で近似できるとして、シェル内の温度分布を求めるための微分方程式と境界条件を示せ。

図1-2

(2) 設問(1)より、シェル内の温度分布と表面温度 TST_S を求めよ。

(3) 設問(2)の結果を踏まえて表面温度 TST_S の値を計算してみよう。シェル部の熱伝導率 λ=0.5 W/(m⋅K)\lambda=0.5\,\mathrm{W/(m\cdot K)}、R1=7 cmR_1=7\,\mathrm{cm}、R2=8 cmR_2=8\,\mathrm{cm}、TC=37 ∘CT_C=37\,{}^\circ\mathrm C、T∞=25 ∘CT_\infty=25\,{}^\circ\mathrm C として、熱伝達率 hh を変化させた。結果の図1-3について、正しく計算されたものを A～E から選び、選択の根拠を述べよ。なお、log⁡e(8/7)≅0.13\log_e(8/7)\cong0.13 と近似してよい。

図1-3

(4) 放射温度計は、測定部表面からの放射赤外線を小さなセンサーに集光して測定部の温度を計測するものである。室温近傍の温度を計測する場合には、センサーは波長 88～14 μm14\,\mu\mathrm m の赤外線に感度を持つように設計される。この理由を80字程度で記述せよ。

(5) さて、対流伝熱の効果を無視して放射伝熱の効果を考えよう。人間を表面積 SS、表面温度 TST_S の凸な物体で近似する。このとき人体から温度 T∞T_\infty の十分に広い室内への放射伝熱量 QQ を S,TS,T∞,εS,σS,T_S,T_\infty,\varepsilon_S,\sigma を用いて表せ。また、S=2.0 m2S=2.0\,\mathrm{m^2}、TS=37 ∘CT_S=37\,{}^\circ\mathrm C、T∞=27 ∘CT_\infty=27\,{}^\circ\mathrm C のときの放射伝熱量を有効数字2桁で計算せよ。

(6) 設問(1)～(5)の結果を踏まえて、体温と体表面温度との関係を50字程度で記述せよ。

题目描述​

II​

新冠疫情在全球传播后，手持式辐射体温计测温变得常见。这类体温计可视为改变了传统辐射温度计的设置。下面考察其测量体温的原理。人体可近似为灰体，发射率 εS=0.98\varepsilon_S=0.98；斯忒藩–玻尔兹曼常数 σ=5.7×10−8 W/(m2⋅K4)\sigma=5.7\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}。回答以下问题。

(1) 首先忽略辐射传热，考虑对流传热。采用图1-2所示的简化无限长圆柱核–壳模型描述人头部。半径为 R1R_1 的核心温度恒为 TCT_C，求半径 R2R_2 处的表面温度 TST_S。壳层是导热系数为 λ\lambda 的固体，内部发热可忽略；表面以换热系数 hh 向温度为 T∞T_\infty 的室内放热。近似为一维稳态，写出求壳层温度分布的微分方程和边界条件。

图1-2

(2) 根据 (1) 求壳层温度分布和表面温度 TST_S。

(3) 根据 (2) 计算表面温度。取 λ=0.5 W/(m⋅K)\lambda=0.5\,\mathrm{W/(m\cdot K)}、R1=7 cmR_1=7\,\mathrm{cm}、R2=8 cmR_2=8\,\mathrm{cm}、TC=37 ∘CT_C=37\,{}^\circ\mathrm C、T∞=25 ∘CT_\infty=25\,{}^\circ\mathrm C，改变换热系数 hh。从图1-3的 A～E 中选出计算正确的曲线，并说明依据。可用近似 log⁡e(8/7)≅0.13\log_e(8/7)\cong0.13。

图1-3

(4) 辐射温度计把测量对象表面发出的红外辐射聚焦到小型传感器上测温。测量室温附近的温度时，传感器设计为对 88～14 μm14\,\mu\mathrm m 波段敏感。用约80字说明原因。

(5) 忽略对流，考虑辐射传热。将人体近似为表面积 SS、表面温度 TST_S 的凸物体。用 S,TS,T∞,εS,σS,T_S,T_\infty,\varepsilon_S,\sigma 表示人体向温度为 T∞T_\infty 的足够宽敞室内的辐射传热量 QQ。取 S=2.0 m2S=2.0\,\mathrm{m^2}、TS=37 ∘CT_S=37\,{}^\circ\mathrm C、T∞=27 ∘CT_\infty=27\,{}^\circ\mathrm C，计算辐射传热量，保留两位有效数字。

(6) 根据 (1)～(5)，用约50字说明体温和体表温度的关系。

Kai​

(1)​

1rddr(rdTdr)=0,T(R1)=TC,−λT′(R2)=h[T(R2)−T∞].\begin{gathered} \boxed{\frac1r\frac d{dr}\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0},\\ T(R_1)=T_C,\\ -\lambda T'(R_2)=h[T(R_2)-T_\infty]. \end{gathered}

(2)​

T=Aln⁡r+BT=A\ln r+B に境界条件を適用し、L=ln⁡(R2/R1)L=\ln(R_2/R_1) とおくと

TS=T∞+TC−T∞1+hR2L/λ,\boxed{T_S=T_\infty+\frac{T_C-T_\infty}{1+hR_2L/\lambda}},
T(r)=TC−hR2(TC−T∞)λ+hR2Lln⁡rR1.\boxed{T(r)=T_C-\frac{hR_2(T_C-T_\infty)}{\lambda+hR_2L}\ln\frac r{R_1}}.

(3)​

TS=25+60.5+0.0104h[∘C].T_S=25+\frac6{0.5+0.0104h}\quad[{}^\circ\mathrm C].

TS(0)=37T_S(0)=37、TS′<0T_S'<0、TS′′>0T_S''>0 で、h=20h=20 では約 33.5 ∘C33.5\,{}^\circ\mathrm C。したがって B\boxed{\mathrm B}。

(4)​

室温付近の熱放射はウィーンの変位則より約 10 μm10\,\mu\mathrm m に極大を持つ。また、88〜14 μm14\,\mu\mathrm m は大気の吸収が比較的小さく、人体からの赤外線を検出しやすい。

(5)​

室内への形態係数は1なので、温度を絶対温度で表して

Q=εsσS(TS4−T∞4).\boxed{Q=\varepsilon_s\sigma S(T_S^4-T_\infty^4)}.
Q=0.98(5.7×10−8)(2.0)(310.154−300.154)≃127.0 W=1.3×102 W.\begin{gathered} Q=0.98(5.7\times10^{-8})(2.0)(310.15^4-300.15^4) \simeq127.0\,\mathrm W\\ =\boxed{1.3\times10^2\,\mathrm W}. \end{gathered}

(6)​

体表面温度は対流・放射による放熱で深部体温より低く、室温や気流にも依存するため、体温の推定には補正が必要である。

Reference​

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