東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2022年度 機械工学第1部 問題1 II

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• Tokyo-University
• Cylindrical-Conduction
• Thermal-Radiation

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

人体を放射率 $\varepsilon_s=0.98$ の灰色体とし、$\sigma=5.7\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2K^4)}$ とする。

1. 頭部を無限円筒で近似する。半径 $R_1$ のコア温度は $T_C$、外半径は $R_2$。シェルの熱伝導率は $\lambda$、発熱はなく、外面は温度 $T_\infty$ の空気と熱伝達率 $h$ で対流する。放射を無視し、定常一次元温度場の方程式と境界条件を示せ。
2. シェル内の温度 $T(r)$ と外面温度 $T_S$ を求めよ。
3. $\lambda=0.5\,\mathrm{W/(mK)}$、$R_1=7\,\mathrm{cm}$、$R_2=8\,\mathrm{cm}$、$T_C=37\,{}^\circ\mathrm C$、$T_\infty=25\,{}^\circ\mathrm C$ のとき、下図の $T_S$–$h$ 曲線 A〜E から適切なものを選べ。$\ln(8/7)\simeq0.13$ としてよい。
4. 室温付近を測る放射温度計が $8$〜$14\,\mu\mathrm m$ の赤外線を検出する理由を約80字で述べよ。
5. 対流を無視し、人体を面積 $S$、表面温度 $T_S$ の凸物体とする。大きな室内 $T_\infty$ への正味放射熱量率 $Q$ を求め、$S=2.0\,\mathrm{m^2}$、$T_S=37\,{}^\circ\mathrm C$、$T_\infty=27\,{}^\circ\mathrm C$ で有効数字2桁の値を示せ。
6. 体温と体表面温度の関係を約50字で述べよ。

题目描述

将头部近似为内核恒温、外壳导热的无限圆柱，表面对空气对流散热。求稳态方程、边界条件、壳内温度和表面温度，并依给定参数选择温度随对流系数变化的曲线。解释红外体温计选择 $8$〜$14\,\mu\mathrm m$ 波段的理由，计算面积 $2.0\,\mathrm{m^2}$、表温 $37\,{}^\circ\mathrm C$ 的人体向 $27\,{}^\circ\mathrm C$ 房间的净辐射功率，说明核心体温和表温的区别。

Kai

(1)

$$\boxed{\frac1r\frac d{dr}\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0}, \qquad T(R_1)=T_C, \qquad-\lambda T'(R_2)=h[T(R_2)-T_\infty].$$

(2)

$T=A\ln r+B$ に境界条件を適用し、$L=\ln(R_2/R_1)$ とおくと

$$\boxed{T_S=T_\infty+\frac{T_C-T_\infty}{1+hR_2L/\lambda}},$$

$$\boxed{T(r)=T_C-\frac{hR_2(T_C-T_\infty)}{\lambda+hR_2L}\ln\frac r{R_1}}.$$

(3)

$$T_S=25+\frac6{0.5+0.0104h}\quad[{}^\circ\mathrm C].$$

$T_S(0)=37$、$T_S'<0$、$T_S''>0$ で、$h=20$ では約 $33.5\,{}^\circ\mathrm C$。したがって $\boxed{\mathrm B}$。

(4)

室温付近の熱放射はウィーンの変位則より約 $10\,\mu\mathrm m$ に極大を持つ。また、$8$〜$14\,\mu\mathrm m$ は大気の吸収が比較的小さく、人体からの赤外線を検出しやすい。

(5)

室内への形態係数は1なので、温度を絶対温度で表して

$$\boxed{Q=\varepsilon_s\sigma S(T_S^4-T_\infty^4)}.$$

$$Q=0.98(5.7\times10^{-8})(2.0)(310.15^4-300.15^4) \simeq127.0\,\mathrm W =\boxed{1.3\times10^2\,\mathrm W}.$$

(6)

体表面温度は対流・放射による放熱で深部体温より低く、室温や気流にも依存するため、体温の推定には補正が必要である。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答