東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2021年8月実施 機械工学第1部 問題1 I

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• 东京大学
• 热泵与制冷
• 理想气体的熵与热容

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の I、II の両方について解答せよ。なお、I の解答に答案用紙1枚を、II の解答に答案用紙1枚を、それぞれ用いること。

I

ヒートポンプサイクルについて考える。比熱が一定で質量 $1\,\mathrm{kg}$ の理想気体を、環境温度 $T_1\,[\mathrm K]$ で体積 $V_1\,[\mathrm{m^3}]$ の状態1から断熱圧縮した後、温度が $T_h$（$T_1<T_h$）$[\mathrm K]$ 一定で熱容量が無限大の蓄熱体に体積一定で放熱させる。続いて、熱交換後の気体を体積 $V_1\,[\mathrm{m^3}]$ まで断熱膨張させ仕事を回収した後、体積一定のまま環境から吸熱させ、最終的に状態1に戻す。ここでは閉じた系のヒートポンプサイクルを考え、圧縮および膨張には容積型の圧縮機と膨張機を用いるものとする。また、熱交換における流動損失は無視でき、伝熱面積も十分に大きいものとする。理想気体の定積比熱を $c_v\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$、比熱比を $\kappa$ とする。以下の設問に答えよ。

(1) まず、断熱圧縮プロセスが可逆である場合を考える。圧縮後の状態を状態2とし、そのときの気体の温度を $T_2$（$T_h<T_2$）$[\mathrm K]$、体積を $V_2\,[\mathrm{m^3}]$ とするとき、圧縮比（$V_1/V_2$）を、$T_h,T_1,T_2,c_v,\kappa$ の中から必要なものを用いて表せ。

(2) 可逆断熱圧縮後の状態2の理想気体 $1\,\mathrm{kg}$ を、体積一定（$=V_2$）のまま温度 $T_h$ の状態3になるまで蓄熱体と熱交換させた後、膨張比（$=$ 圧縮比）$=V_1/V_2$ で可逆的に断熱膨張させ、状態4とした。この膨張後の状態4の理想気体が体積一定（$=V_1$）のまま、状態1に戻るまで周囲環境から吸熱した熱量 $Q_c$ を、$T_h,T_1,T_2,c_v,\kappa$ の中から必要なものを用いて表せ。

(3) 設問(2)の状態 $1\to2\to3\to4\to1$ のプロセスから成るヒートポンプサイクルの成績係数 $\varepsilon$（$=$（蓄熱体への放熱量）$/$（圧縮仕事 $-$ 膨張仕事））を、$T_h,T_1,T_2,c_v,\kappa$ の中から必要なものを用いて表せ。

(4) 図1-1を答案用紙に書き写し、図中に状態2、3、4を記入せよ。また、理想気体が体積一定で変化する際の比エントロピー $s$ と温度 $T$ の関係を表す式を示した上で、状態1と状態2を通る理想気体の定積線も図中に記入せよ。

以下の設問では、断熱圧縮過程および断熱膨張過程が不可逆な場合を考える。熱交換においては、冒頭で記したように流動損失は無視でき、伝熱面積も十分に大きい。また、周囲環境と蓄熱体の温度はそれぞれ一定である。

(5) 状態1の理想気体を不可逆断熱圧縮した結果、温度 $T_5\,[\mathrm K]$ で体積 $V_5\,[\mathrm{m^3}]$ の状態5となった。ここで、不可逆断熱圧縮後の温度 $T_5$ が設問(1)～(4)の可逆断熱圧縮後の温度 $T_2$ と等しい場合を考える（$T_5=T_2$）。続いて、体積が $V_5$ 一定のまま温度が $T_h$（$T_1<T_h<T_5=T_2$）$[\mathrm K]$ の状態6になるまで蓄熱体に放熱する。その後、体積 $V_1$ の状態7まで不可逆断熱膨張し、体積一定のまま環境から吸熱して状態1に戻る。このときの状態5、6、7を、設問(4)で書き写した $T$-$s$ 線図に記入せよ。また、状態5および状態6を通る理想気体の定積線も図中に書き込むこと。

(6) 上記ヒートポンプサイクルの成績係数 $\varepsilon$（$=$（蓄熱体への放熱量）$/$（圧縮仕事 $-$ 膨張仕事））が $1$ となる条件を50字程度で記せ。

(7) 状態1から状態5までの不可逆断熱圧縮におけるエントロピー発生量を $s_g\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ とする。設問(5)の圧縮された気体温度が $T_5=T_2\,[\mathrm K]$ となる不可逆断熱圧縮プロセスにおける圧縮比（$=V_1/V_5$）を、$T_h,T_1,T_2,s_g,c_v,\kappa$ の中から必要なものを用いて表せ。

(8) 環境温度 $T_1\,[\mathrm K]$ の熱を蓄熱体温度 $T_h\,[\mathrm K]$ まで昇温する不可逆ヒートポンプの成績係数を上げるための方法について、4つ以上、それぞれ50字程度で記せ。繰り返しになるが、作動流体は理想気体であり、熱交換時の体積変化と流動損失は無く、伝熱面積は十分に大きいものとする。

题目描述

I、II 均须作答，每部分各用一张答题纸。

I

考虑热泵循环。将比热恒定、质量为 $1\,\mathrm{kg}$ 的理想气体从环境温度 $T_1\,[\mathrm K]$、体积 $V_1\,[\mathrm{m^3}]$ 的状态1绝热压缩后，在体积不变的条件下，向温度恒为 $T_h\,[\mathrm K]$（$T_1<T_h$）、热容量无限大的蓄热体放热。随后将换热后的气体绝热膨胀至体积 $V_1\,[\mathrm{m^3}]$ 并回收功，再保持体积不变从环境吸热，最终返回状态1。系统封闭，压缩和膨胀采用容积式压缩机与膨胀机。换热过程中的流动损失可忽略，传热面积足够大。理想气体的定容比热为 $c_v\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$，比热比为 $\kappa$。回答以下问题。

(1) 首先考虑绝热压缩可逆的情况。压缩后的状态为状态2，气体温度为 $T_2\,[\mathrm K]$（$T_h<T_2$），体积为 $V_2\,[\mathrm{m^3}]$。从 $T_h,T_1,T_2,c_v,\kappa$ 中选用必要的量表示压缩比 $V_1/V_2$。

(2) 将可逆绝热压缩后处于状态2的 $1\,\mathrm{kg}$ 理想气体保持体积为 $V_2$，与蓄热体换热至温度为 $T_h$ 的状态3，再以膨胀比（等于压缩比）$V_1/V_2$ 可逆绝热膨胀至状态4。此后保持体积为 $V_1$，从环境吸热并返回状态1。从 $T_h,T_1,T_2,c_v,\kappa$ 中选用必要的量表示该吸热量 $Q_c$。

(3) 从 $T_h,T_1,T_2,c_v,\kappa$ 中选用必要的量，表示 (2) 中 $1\to2\to3\to4\to1$ 热泵循环的性能系数 $\varepsilon=$（向蓄热体放出的热量）$/$（压缩功 $-$ 膨胀功）。

(4) 将图1-1抄到答题纸上，标出状态2、3、4。写出理想气体在体积不变时比熵 $s$ 与温度 $T$ 的关系式，并在图中画出分别经过状态1和状态2的定容线。

以下各问考虑绝热压缩和绝热膨胀均不可逆的情况。换热过程的流动损失仍可忽略，传热面积足够大；环境和蓄热体各自保持恒温。

(5) 将状态1的理想气体不可逆绝热压缩至温度 $T_5\,[\mathrm K]$、体积 $V_5\,[\mathrm{m^3}]$ 的状态5，且 $T_5$ 等于 (1)～(4) 可逆压缩后的温度 $T_2$。随后保持体积为 $V_5$，向蓄热体放热至温度为 $T_h\,[\mathrm K]$（$T_1<T_h<T_5=T_2$）的状态6，再不可逆绝热膨胀到体积为 $V_1$ 的状态7，最后定容从环境吸热回到状态1。在 (4) 抄下的 $T$-$s$ 图中标出状态5、6、7，并画出经过状态5和状态6的定容线。

(6) 用约50字说明上述热泵循环的性能系数 $\varepsilon=$（向蓄热体放出的热量）$/$（压缩功 $-$ 膨胀功）等于 $1$ 的条件。

(7) 设从状态1到状态5的不可逆绝热压缩过程中的熵产为 $s_g\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$。对于 (5) 中压缩终温 $T_5=T_2\,[\mathrm K]$ 的过程，从 $T_h,T_1,T_2,s_g,c_v,\kappa$ 中选用必要的量表示压缩比 $V_1/V_5$。

(8) 对于将环境温度 $T_1\,[\mathrm K]$ 下的热提升至蓄热体温度 $T_h\,[\mathrm K]$ 的不可逆热泵，提出至少4种提高性能系数的方法，每种约50字。再次强调：工质是理想气体，换热时体积不变、无流动损失，且传热面积足够大。

Kai

(1)

$TV^{\kappa-1}=\mathrm{const.}$ より

$$\boxed{\frac{V_1}{V_2}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{1/(\kappa-1)}}.$$

(2)

$$\begin{gathered} T_4=T_h\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\kappa-1} =\frac{T_hT_1}{T_2},\\ \boxed{Q_c=c_vT_1\left(1-\frac{T_h}{T_2}\right)}. \end{gathered}$$

(3)

$Q_h=c_v(T_2-T_h)$、$W_c-W_e=Q_h-Q_c$ より

$$\boxed{\varepsilon=\frac{T_2}{T_2-T_1}}.$$

(4)

定積線は $ds=c_v\,dT/T$、すなわち

$$\boxed{s-s_*=c_v\ln\frac T{T_*}}.$$

$s_2=s_1$、$s_3=s_4=s_1+c_v\ln(T_h/T_2)$。断熱線を鉛直、定積線を指数曲線として結ぶ。

(5)

不可逆断熱圧縮では $s_5>s_1$。$T_5=T_2$ より $V_5>V_2$ で、

$$s_6=s_5+c_v\ln\frac{T_h}{T_2},\qquad s_7>s_6.$$

状態7は $V_1$ の定積線上で $T_7>T_4$ に位置する。周囲から吸熱するには $T_7<T_1$ が必要である。不可逆過程の途中は平衡状態の経路として定まらないため破線で示す。

(6)

$$\varepsilon'=\frac{T_2-T_h}{(T_2-T_h)-(T_1-T_7)}.$$

よって $\boxed{T_7=T_1}$。膨張後に環境から吸熱できず、投入した正味仕事だけが蓄熱体への放熱になる場合である。

(7)

断熱過程ではエントロピー増加が生成量に等しい。$R=(\kappa-1)c_v$ より

$$s_g=c_v\ln\frac{T_2}{T_1}+R\ln\frac{V_5}{V_1}.$$

したがって

$$\boxed{\frac{V_1}{V_5}= \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{1/(\kappa-1)} \exp\left[-\frac{s_g}{(\kappa-1)c_v}\right]}.$$

(8)

• 圧縮機の摺動摩擦を低減し、同じ温度上昇でのエントロピー生成を抑える。実現できる圧縮比が増す。
• 膨張機の摩擦・非平衡損失を減らし、膨張仕事の回収を増す。膨張後の温度が下がり、環境からの吸熱が増す。
• 必要以上の圧縮を避け、放熱可能な範囲で圧縮終温を $T_h$ に近づける。蓄熱体との温度差による損失を減らす。
• 多段のヒートポンプと中間蓄熱体を用い、各段の温度上昇幅を小さくする。各段の定積熱交換の温度差を減らす。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答