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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2022年度 機械工学第2部 問題2

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祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

I​

質量を無視できる棒の、支点より上方距離 cc に質点 MM、下方距離 bb に質点 mm を付けた振り子を考える。重力加速度は gg。平衡の鉛直姿勢を中心とする微小振動を扱い、ばねはこの姿勢で自然長とする。

  1. ばねのない振り子の固有振動数を求めよ。ただし Mc<mbMc<mb。
  2. 支点より下方距離 aa の位置を、ばね定数 kk の水平ばねで固定壁につないだときの固有振動数を求めよ。
  3. Mc>mbMc>mb の場合、振動が生じないばね定数の条件を求めよ。

次に、同一の振り子2本を、支点より下方距離 aa の位置で水平ばね kk により結合する。両角度 θ1,θ2\theta_1,\theta_2 は同じ向きを正とする。

  1. Mc<mbMc<mb として、系の運動方程式を求めよ。
  2. ばねが変形せずに2本が同期する1次固有振動数を求めよ。
  3. M=0M=0 として、2次固有振動数とその固有振動モードを求めよ。

二質点振り子の単独振動とばね結合

II​

単位負帰還系の目標値、偏差、出力を R(s),E(s),Y(s)R(s),E(s),Y(s) とする。プラントは P(s)P(s)、制御器は G(s)G(s) で、E=R−YE=R-Y、Y=PGEY=PGE とする。

  1. 目標値から偏差までの伝達関数を求めよ。

以下では P(s)=1/(s2+s−1)P(s)=1/(s^2+s-1)、PD制御器 G(s)=as+bG(s)=as+b とする。

  1. 特性方程式を求めよ。
  2. 安定条件を求めよ。
  3. 安定な場合の減衰比を求めよ。
  4. 単位ステップ目標値に対する偏差の最終値を求めよ。
  5. 制御器の後、プラント入力の直前に加法的ノイズ V(s)V(s) が入る。R=0R=0 として Y/VY/V を求め、単位ステップノイズに対する出力最終値を求めよ。
  6. ノイズから出力までのゲインが、すべての周波数で (6) の最終値の絶対値以下となる条件を求めよ。
  7. 定常偏差とノイズの影響を小さくするため、a,ba,b をどう選ぶか約50字で述べよ。

入力ノイズをもつPD負帰還系

题目描述​

I：无质量杆的支点上方距离 cc 处有质点 MM、下方距离 bb 处有质点 mm。求无弹簧及在支点下方距离 aa 处连接水平弹簧时的固有频率；当上方重力矩更大时，求不发生小振动的条件。再用弹簧连接两个相同振子，求耦合方程、同步模态频率，以及 M=0M=0 时的二阶频率和振型。

II：给定单位负反馈系统，对象为 1/(s2+s−1)1/(s^2+s-1)，PD控制器为 as+bas+b。求目标到偏差的传递函数、特征方程、稳定条件、阻尼比及阶跃稳态偏差。再在对象输入端加入噪声，求噪声传递函数、阶跃噪声终值和全频段无共振放大的条件，据此讨论控制器参数的选择。

Kai​

I​

慣性モーメントと重力による回転剛性を

J=Mc2+mb2,Kg=g(mb−Mc)J=Mc^2+mb^2,\qquad K_g=g(mb-Mc)

とおく。固有振動数 ff と固有角振動数 ω\omega は f=ω/(2π)f=\omega/(2\pi) である。

(1)・(2)​

ばねなしでは Jθ¨+Kgθ=0J\ddot\theta+K_g\theta=0 より

f0=12πg(mb−Mc)Mc2+mb2.\boxed{f_0=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{g(mb-Mc)}{Mc^2+mb^2}}}.

ばね変位は aθa\theta、復元モーメントは ka2θka^2\theta。したがって

Jθ¨+(Kg+ka2)θ=0,fs=12πg(mb−Mc)+ka2Mc2+mb2.J\ddot\theta+(K_g+ka^2)\theta=0, \qquad \boxed{f_s=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{g(mb-Mc)+ka^2}{Mc^2+mb^2}}}.

(3)​

Mc>mbMc>mb のとき、振動解が生じない条件は有効剛性が0以下となることなので

0≤k≤g(Mc−mb)a2.\boxed{0\le k\le\frac{g(Mc-mb)}{a^2}}.

等号では θ¨=0\ddot\theta=0、狭義の不等号では指数関数的な解となり、平衡姿勢は不安定である。

(4)​

ばね変形は a(θ1−θ2)a(\theta_1-\theta_2)。よって

Jθ¨1+Kgθ1+ka2(θ1−θ2)=0,Jθ¨2+Kgθ2+ka2(θ2−θ1)=0.\boxed{\begin{aligned} J\ddot\theta_1+K_g\theta_1+ka^2(\theta_1-\theta_2)&=0,\\ J\ddot\theta_2+K_g\theta_2+ka^2(\theta_2-\theta_1)&=0. \end{aligned}}

(5)​

同相モード [θ1,θ2]T∝[1,1]T[\theta_1,\theta_2]^T\propto[1,1]^T ではばねが変形しないため

f1=12πKgJ=f0.\boxed{f_1=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{K_g}{J}}=f_0}.

(6)​

M=0M=0 の場合、質量行列は mb2I2mb^2I_2、剛性行列は

K=[mgb+ka2−ka2−ka2mgb+ka2].K=\begin{bmatrix}mgb+ka^2&-ka^2\\-ka^2&mgb+ka^2\end{bmatrix}.

反相モードでは K[1,−1]T=(mgb+2ka2)[1,−1]TK[1,-1]^T=(mgb+2ka^2)[1,-1]^T なので

f2=12πmgb+2ka2mb2,ϕ2∝[1−1].\boxed{f_2=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{mgb+2ka^2}{mb^2}},\qquad \phi_2\propto\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}.

II​

(1)〜(3)​

E=R−YE=R-Y、Y=PGEY=PGE より

ER=11+PG.\boxed{\frac ER=\frac1{1+PG}}.
YR=as+bs2+(a+1)s+b−1.\frac YR=\frac{as+b}{s^2+(a+1)s+b-1}.

したがって特性方程式と安定条件は

s2+(a+1)s+b−1=0,a>−1,b>1.\boxed{s^2+(a+1)s+b-1=0},\qquad \boxed{a>-1,\quad b>1}.

(4)​

s2+2ζωns+ωn2s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2 と比較して

ωn=b−1,ζ=a+12b−1.\boxed{\omega_n=\sqrt{b-1},\qquad \zeta=\frac{a+1}{2\sqrt{b-1}}}.

(5)​

安定性を仮定して最終値定理を使うと

e(∞)=lim⁡s→0s2+s−1s2+(a+1)s+b−1=−1b−1.\boxed{e(\infty)=\lim_{s\to0}\frac{s^2+s-1}{s^2+(a+1)s+b-1} =-\frac1{b-1}}.

(6)​

Y=P(V−GY)Y=P(V-GY) より

Hv(s)=YV=P1+PG=1s2+(a+1)s+b−1.\boxed{H_v(s)=\frac YV=\frac P{1+PG} =\frac1{s^2+(a+1)s+b-1}}.

単位ステップノイズでは

y(∞)=Hv(0)=1b−1.\boxed{y(\infty)=H_v(0)=\frac1{b-1}}.

(7)​

∣Hv(jω)∣−2=(b−1−ω2)2+(a+1)2ω2.|H_v(j\omega)|^{-2}=(b-1-\omega^2)^2+(a+1)^2\omega^2.

要求は右辺が全 ω≥0\omega\ge0 に対して (b−1)2(b-1)^2 以上となることである。その差は

ω2[ω2+(a+1)2−2(b−1)].\omega^2\left[\omega^2+(a+1)^2-2(b-1)\right].

よって安定条件に加えて

(a+1)2≥2(b−1)⟺ζ≥12\boxed{(a+1)^2\ge2(b-1)} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\zeta\ge\frac1{\sqrt2}}

が必要十分である。

(8)​

bb を大きくして偏差と低周波ノイズを抑え、a+1≥2(b−1)a+1\ge\sqrt{2(b-1)} を満たすよう aa も増して共振を防ぐ。

Reference​

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