東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2022年度 機械工学第2部 問題 1

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• Tokyo-University
• Beam-Deflection
• Thin-Walled-Pressure-Vessels
• Yielding
• Fracture-Mechanics

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

I

長さ $4l$ の単純支持はり AB の上に、長さ $2l$ の単純支持はり CE を置く。A からの座標を $x$ とし、C、D、E はそれぞれ $x=l,2l,3l$ に位置する。CE の中央 D に下向き集中荷重 $P$ を加える。両はりの曲げ剛性は $EI$。

1. CE のせん断力図と曲げモーメント図を描け。
2. AB のせん断力図と曲げモーメント図を描け。
3. D の鉛直変位を求めよ。

II

内半径 $r$、肉厚 $t\ll r$、両端が閉じた薄肉円筒に内圧 $P$ を加える。材料は降伏応力 $\sigma_f$ の弾完全塑性体で、半径方向応力は無視する。

1. 軸方向応力 $\sigma_z$、周方向応力 $\sigma_\theta$ を求めよ。
2. 三つの主せん断応力とミーゼス応力を求めよ。
3. 塑性崩壊内圧 $P_f$ を求めよ。
4. 外面に軸方向の長い表面き裂があり、その深さを $a\ll t$ とする。$K_I=C\sigma_\theta\sqrt{\pi a}$、破壊靭性 $K_{IC}$ として、き裂が進展する内圧 $P_a$ を求めよ。
5. $P_a=P_f$ となる深さ $a_c$ を求めよ。
6. 塑性崩壊またはき裂進展で破壊する内圧と $a$ の関係を描け。

题目描述

I：跨度 $4l$ 的简支梁 AB 在距 A 为 $l,3l$ 处托住跨度 $2l$ 的简支梁 CE；CE 跨中 D 受向下力 $P$，两梁抗弯刚度均为 $EI$。画两梁剪力图、弯矩图并求 D 位移。

II：封闭薄壁圆筒内半径 $r$、厚度 $t$，材料屈服应力 $\sigma_f$，受内压 $P$。求轴向与环向应力、主剪应力、von Mises 应力及塑性崩溃压力。若有深度 $a$ 的轴向表面裂纹，且 $K_I=C\sigma_\theta\sqrt{\pi a}$，求裂纹扩展压力、与塑性崩溃交界的裂纹深度及破坏压力曲线。

Kai

I

正の曲げモーメントを下側引張りとし、$Q=dM/dx$ とする。各支点反力はいずれも $P/2$ である。

(1) 上側のはり CE について

$$Q_{CE}=\begin{cases}P/2&l$$

(2) 下側のはり AB について

$$Q_{AB}=\begin{cases}P/2&0<x<l,\\0&l$$

(3) 下向きを正とする。$EI v''=-M_{AB}$ を積分し、$v(0)=0,\ v'(2l)=0$ と接続条件を用いると

$$v_{AB}(l)=\frac{2Pl^3}{3EI}.$$

CE の支持点に対する中央たわみは $P(2l)^3/(48EI)$。したがって

$$\boxed{\delta_D=\frac{2Pl^3}{3EI}+\frac{Pl^3}{6EI}=\frac{5Pl^3}{6EI}}\quad\text{（下向き）}.$$

重ね合わせによる確認： 下ばりの中央を仮の固定端とし、右半分を片持ちはりとして考える。中央に対する E、B の上向き変位は、それぞれ

$$u_E=-\frac{(P/2)l^3}{3EI}+\frac{(P/2)l^3}{3EI}+\frac{(Pl/2)l^2}{2EI}=\frac{Pl^3}{4EI},$$

$$u_B=-\frac{(P/2)l^3}{3EI}-\frac{(P/2)l^2}{2EI}l+\frac{(P/2)(2l)^3}{3EI}=\frac{11Pl^3}{12EI}.$$

実際には B の変位がゼロなので、E の沈下量は $u_B-u_E=2Pl^3/(3EI)$。上ばりの相対たわみ $Pl^3/(6EI)$ を加えると同じ結果を得る。

II

(1) 軸方向・直径方向のつり合いより

$$\boxed{\sigma_z=\frac{Pr}{2t}},\qquad \boxed{\sigma_\theta=\frac{Pr}{t}}.$$

(2) 主応力は $Pr/t,Pr/(2t),0$。主せん断応力の大きさは

$$\boxed{\left\{\frac{Pr}{2t},\frac{Pr}{4t},\frac{Pr}{4t}\right\}},\qquad \boxed{\sigma_{\mathrm{Mises}}=\frac{\sqrt3 Pr}{2t}}.$$

(3) $\sigma_{\mathrm{Mises}}=\sigma_f$ より

$$\boxed{P_f=\frac{2t\sigma_f}{\sqrt3 r}}.$$

(4) $K_I=K_{IC}$ より

$$\boxed{P_a=\frac{tK_{IC}}{Cr\sqrt{\pi a}}}.$$

(5) 両者を等置すると

$$\boxed{a_c=\frac{3K_{IC}^2}{4\pi C^2\sigma_f^2}}.$$

(6) 先に達する破壊条件で決まるので

$$\boxed{P_{\mathrm{fail}}(a)=\min(P_f,P_a)= \begin{cases}P_f&0\le a\le a_c,\\P_f\sqrt{a_c/a}&a\ge a_c.\end{cases}}$$

下図のうち、前提 $a\ll t$ を満たす範囲を用いる。$a_c$ がこの範囲外なら、その範囲内では塑性崩壊が先行する。

Reference

• 東京大学 公式問題（2022年度、第2部）
• SN：2022-I 材料力学
• SN：2022-II 材料力学
• zzy：2022年度材料力学I（問3の重ね合わせ解法）