東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2021年8月実施 機械工学第2部 問題 1

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• 东京大学
• 梁的挠度
• 薄壁压力容器
• 屈服
• 断裂力学

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の I、II の両方について解答せよ。なお、I の解答に答案用紙1枚を、II の解答に答案用紙1枚を、それぞれ用いること。

I

図1-1に示すように、長さ $4l$ の単純支持はり AB の上に、長さ $2l$ の単純支持はり CE が置かれている。単純支持はり CE の中点 D に集中荷重 $P$ が作用している。単純支持はり AB および単純支持はり CE の曲げ剛性を $EI$ とする。以下の設問に答えよ。

(1) 単純支持はり CE のせん断力図および曲げモーメント図を描け。

(2) 単純支持はり AB のせん断力図および曲げモーメント図を描け。

(3) 点 D での鉛直方向変位を求めよ。

II

図1-2のような、内半径 $r$、肉厚 $t\ (\ll r)$ の両端が閉じた薄肉円筒容器を考える。内圧は $P$ とする。材料は降伏応力 $\sigma_f$ の弾完全塑性体とみなせるものとする。

(1) 軸方向応力 $\sigma_z$ および周方向応力 $\sigma_\theta$ を求めよ。

(2) 主せん断応力 $\tau_1,\tau_2,\tau_3$ およびミーゼス応力 $\sigma_{\mathrm{Mises}}$ を求めよ。ただし、径方向応力 $\sigma_r$ はゼロとみなす。なお、ミーゼス応力は主応力を $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ とすると、以下の式で表すことが出来る。

$$\sigma_{\mathrm{Mises}}= \sqrt{\frac12\bigl\{(\sigma_1-\sigma_2)^2 +(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_1-\sigma_3)^2\bigr\}}$$

(3) 塑性崩壊を起こす内圧 $P_f$ を求めよ。

次に、図1-2の薄肉円筒容器の外表面に、図1-3のような深さ $a\ (\ll t)$ の長い表面き裂がある場合を考える。ここで、このき裂の応力拡大係数 $K_{\mathrm I}$（モード I）は以下の式で表される。$C$ は定数である。材料の臨界応力拡大係数（破壊靭性）を $K_{\mathrm{IC}}$ とする。

$$K_{\mathrm I}=C\sigma_\theta\sqrt{\pi a}$$

(4) き裂が進展する内圧 $P_a$ を求めよ。

(5) $P_a=P_f$ となるき裂深さ $a_c$ を求めよ。

(6) 薄肉円筒容器がき裂進展または、塑性崩壊で破れるとする。破壊が生じる内圧がき裂深さ $a$ にどのように依存するかをグラフに描け。

题目描述

I、II 均须作答，每部分各用一张答题纸。

I

如图1-1，在长为 $4l$ 的简支梁 AB 上放置长为 $2l$ 的简支梁 CE。在 CE 的中点 D 施加集中载荷 $P$。两根梁的抗弯刚度均为 $EI$。回答以下问题。

(1) 画出简支梁 CE 的剪力图和弯矩图。

(2) 画出简支梁 AB 的剪力图和弯矩图。

(3) 求 D 点的竖直位移。

II

考虑图1-2所示两端封闭、内半径 $r$、壁厚 $t\ll r$ 的薄壁圆柱容器，内压为 $P$。材料可视为屈服应力为 $\sigma_f$ 的弹性理想塑性材料。

(1) 求轴向应力 $\sigma_z$ 和环向应力 $\sigma_\theta$。

(2) 求主剪应力 $\tau_1,\tau_2,\tau_3$ 和米塞斯应力 $\sigma_{\mathrm{Mises}}$。径向应力 $\sigma_r$ 视为零。若主应力为 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$，米塞斯应力为

$$\sigma_{\mathrm{Mises}}= \sqrt{\frac12\bigl\{(\sigma_1-\sigma_2)^2 +(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_1-\sigma_3)^2\bigr\}}.$$

(3) 求发生塑性失效的内压 $P_f$。

接下来考虑图1-3所示情况：图1-2的薄壁圆柱容器外表面存在深度 $a\ll t$ 的长表面裂纹。其 I 型应力强度因子为

$$K_{\mathrm I}=C\sigma_\theta\sqrt{\pi a},$$

其中 $C$ 为常数，材料的临界应力强度因子（断裂韧度）为 $K_{\mathrm{IC}}$。

(4) 求裂纹扩展时的内压 $P_a$。

(5) 求使 $P_a=P_f$ 的裂纹深度 $a_c$。

(6) 假设容器因裂纹扩展或塑性失效而破裂。画出破坏内压与裂纹深度 $a$ 的关系图。

Kai

I

正の曲げモーメントを下側引張りとし、$Q=dM/dx$ とする。各支点反力はいずれも $P/2$ である。

(1) 上側のはり CE について

$$\begin{gathered} Q_{CE}=\begin{cases}P/2&l$$

(2) 下側のはり AB について

$$\begin{gathered} Q_{AB}=\begin{cases}P/2&0<x<l,\\0&l$$

(3) 下向きを正とする。$EI v''=-M_{AB}$ を積分し、$v(0)=0,\ v'(2l)=0$ と接続条件を用いると

$$v_{AB}(l)=\frac{2Pl^3}{3EI}.$$

CE の支持点に対する中央たわみは $P(2l)^3/(48EI)$。したがって

$$\begin{gathered} \boxed{\delta_D=\frac{2Pl^3}{3EI}+\frac{Pl^3}{6EI}=\frac{5Pl^3}{6EI}}\\ \text{（下向き）}. \end{gathered}$$

重ね合わせによる確認： 下ばりの中央を仮の固定端とし、右半分を片持ちはりとして考える。中央に対する E、B の上向き変位は、それぞれ

$$\begin{gathered} u_E=-\frac{(P/2)l^3}{3EI}+\frac{(P/2)l^3}{3EI}+\frac{(Pl/2)l^2}{2EI}\\ =\frac{Pl^3}{4EI}, \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} u_B=-\frac{(P/2)l^3}{3EI}-\frac{(P/2)l^2}{2EI}l+\frac{(P/2)(2l)^3}{3EI}\\ =\frac{11Pl^3}{12EI}. \end{gathered}$$

実際には B の変位がゼロなので、E の沈下量は $u_B-u_E=2Pl^3/(3EI)$。上ばりの相対たわみ $Pl^3/(6EI)$ を加えると同じ結果を得る。

II

(1) 軸方向・直径方向のつり合いより

$$\boxed{\sigma_z=\frac{Pr}{2t}},\qquad \boxed{\sigma_\theta=\frac{Pr}{t}}.$$

(2) 主応力は $Pr/t,Pr/(2t),0$。主せん断応力の大きさは

$$\boxed{\left\{\frac{Pr}{2t},\frac{Pr}{4t},\frac{Pr}{4t}\right\}},\qquad \boxed{\sigma_{\mathrm{Mises}}=\frac{\sqrt3 Pr}{2t}}.$$

(3) $\sigma_{\mathrm{Mises}}=\sigma_f$ より

$$\boxed{P_f=\frac{2t\sigma_f}{\sqrt3 r}}.$$

(4) $K_I=K_{IC}$ より

$$\boxed{P_a=\frac{tK_{IC}}{Cr\sqrt{\pi a}}}.$$

(5) 両者を等置すると

$$\boxed{a_c=\frac{3K_{IC}^2}{4\pi C^2\sigma_f^2}}.$$

(6) 先に達する破壊条件で決まるので

$$\boxed{\begin{gathered} P_{\mathrm{fail}}(a)=\min(P_f,P_a)\\ = \begin{cases}P_f&0\le a\le a_c,\\P_f\sqrt{a_c/a}&a\ge a_c.\end{cases} \end{gathered}}$$

下図のうち、前提 $a\ll t$ を満たす範囲を用いる。$a_c$ がこの範囲外なら、その範囲内では塑性崩壊が先行する。

Reference

• 東京大学 公式問題（2022年度、第2部）
• SN：2022-I 材料力学
• SN：2022-II 材料力学
• zzy：2022年度材料力学I（問3の重ね合わせ解法）