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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2021年度 機械工学（材料力学） 問題 6

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

図6-1のように，ヤング率 EE の部材 A と，ヤング率 2E2E の部材 B および B′ を貼り合わせて作った，長さ ll の組合せはりの左端が壁に固定されている。部材 A の高さは 2h2h，幅は bb であり，部材 B および B′ の各々の高さは hh，幅は bb である。はりの曲げに際して部材 A，B，B′ は接合面において互いにすべらないとし，はりの自重は無視する。はりの右端（自由端）に曲げモーメント MM が働くとき，以下の設問に答えよ。

(1) はりの曲率半径を RR とするとき，はり断面における垂直ひずみおよび垂直応力の yy 軸に沿った分布を表す式を求めよ。なお，座標軸は図に示すようにとり，断面の図心が y=0y=0 上にあるものとする。

(2) はりの曲げ剛性を求めよ。

図6-1：三層の組合せはり

次に，図6-2のようにヤング率 EE の部材 A と，ヤング率 2E2E の部材 B を貼り合わせて作った，長さ ll の組合せはりを考える。部材 A および B はいずれも高さ hh，幅 bb である。はりの曲げに際して部材 A および B は接合面において互いにすべらないとし，はりの自重は無視する。はりの左端が壁に固定され，右端（自由端）に曲げモーメント MM が働くとき，以下の設問に答えよ。

(3) 図6-3のように，部材 A と B の接合面とはりの中立面（はり断面の垂直ひずみおよび応力がゼロとなる面）との距離を h0h_0 とする。はりの曲率半径を RR とするとき，はり断面における垂直ひずみおよび垂直応力の yy 軸に沿った分布を表す式を求めるとともに，h0h_0 を求めよ。なお，部材 A と B の接合面を y=0y=0 とせよ。

(4) はりの曲率半径 RR と曲げモーメント MM の関係式を導け。

図6-2：二層の組合せはり

図6-3：曲率半径と中立面

题目描述​

如图6-1所示，将杨氏模量为 EE 的构件 A 与杨氏模量为 2E2E 的构件 B、B′ 粘合成长度为 ll 的组合梁，其左端固定于墙面。构件 A 的高度为 2h2h、宽度为 bb；构件 B、B′ 的高度均为 hh、宽度均为 bb。弯曲时各构件在接合面上不发生相对滑动，忽略梁的自重。梁右端（自由端）受到弯矩 MM，回答下列问题。

(1) 设梁的曲率半径为 RR，求梁截面上正应变和正应力沿 yy 轴的分布表达式。坐标轴如图所示，截面形心位于 y=0y=0 上。

(2) 求梁的抗弯刚度。

图6-1：三层组合梁

接着考虑图6-2所示长度为 ll 的组合梁，由杨氏模量为 EE 的构件 A 与杨氏模量为 2E2E 的构件 B 粘合而成。两构件的高度均为 hh、宽度均为 bb，弯曲时接合面不发生相对滑动，忽略梁的自重。梁左端固定于墙面，右端（自由端）受到弯矩 MM。回答下列问题。

(3) 如图6-3所示，设构件 A、B 的接合面与梁中性面（梁截面上正应变与正应力均为零的面）之间的距离为 h0h_0。当梁的曲率半径为 RR 时，求截面上正应变和正应力沿 yy 轴的分布表达式，并求 h0h_0。取 A、B 的接合面为 y=0y=0。

(4) 导出梁的曲率半径 RR 与弯矩 MM 的关系。

图6-2：双层组合梁

图6-3：曲率半径及中性面

Kai​

(1)・(2) 対称断面​

中立面の曲率半径を ρ\rho とする。平面保持より εx=y/ρ\varepsilon_x=y/\rho であり、

σx(y)={Ey/ρ∣y∣≤h,2Ey/ρh<∣y∣≤2h.\boxed{\sigma_x(y)=\begin{cases}Ey/\rho&|y|\le h,\\2Ey/\rho&h<|y|\le2h.\end{cases}}

したがって曲げ剛性は

D=bE∫−hhy2 dy+2bE(∫−2h−hy2 dy+∫h2hy2 dy)=10Ebh3,M=Dρ.\begin{gathered} \begin{aligned} D={}&bE\int_{-h}^{h}y^2\,dy\\ &+2bE\left(\int_{-2h}^{-h}y^2\,dy+\int_h^{2h}y^2\,dy\right)\\ &=\boxed{10Ebh^3}, \end{aligned}\\ M=\frac{D}{\rho}. \end{gathered}

内表面の半径を RR と表す場合には ρ=R+2h\rho=R+2h と置く。

(3) 二層断面​

中立面の半径は ρ=R+h+h0\rho=R+h+h_0。平面保持とフックの法則より

εx=y−h0ρ,σx={E(y−h0)/ρ−h≤y≤0,2E(y−h0)/ρ0≤y≤h.\varepsilon_x=\frac{y-h_0}{\rho},\qquad \sigma_x=\begin{cases}E(y-h_0)/\rho&-h\le y\le0,\\2E(y-h_0)/\rho&0\le y\le h.\end{cases}

軸力ゼロの条件から

∫−h0Eb(y−h0) dy+∫0h2Eb(y−h0) dy=0⟹h0=h6.\int_{-h}^{0}Eb(y-h_0)\,dy+\int_0^h2Eb(y-h_0)\,dy=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{h_0=\frac h6}.

よって

εx=6y−h6R+7h,σx={E(6y−h)/(6R+7h)−h≤y≤0,2E(6y−h)/(6R+7h)0≤y≤h.\begin{gathered} \boxed{\varepsilon_x=\frac{6y-h}{6R+7h}},\\ \boxed{\sigma_x=\begin{cases}E(6y-h)/(6R+7h)&-h\le y\le0,\\2E(6y-h)/(6R+7h)&0\le y\le h.\end{cases}} \end{gathered}

(4)​

中立面まわりの曲げ剛性は

D=Eb∫−h0(y−h6)2dy+2Eb∫0h(y−h6)2dy=1112Ebh3.D=Eb\int_{-h}^0\left(y-\frac h6\right)^2dy+2Eb\int_0^h\left(y-\frac h6\right)^2dy=\frac{11}{12}Ebh^3.

したがって

M=DR+7h/6=11Ebh32(6R+7h).\boxed{M=\frac{D}{R+7h/6}=\frac{11Ebh^3}{2(6R+7h)}}.

Reference​

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