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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2021年度 機械工学（材料力学） 問題 6

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

日本語題面​

幅 bb、長さ ll の接着組合せ片持ちはりに、自由端で一定の曲げモーメント MM を加える。接合面ですべらず、自重を無視する。xx は軸方向、yy は下向きで、図示の MM は下側を引張りにする。

  1. 中央層 A の厚さが 2h2h、ヤング率が EE、上下の層 B、B′ の厚さが各 hh、ヤング率が各 2E2E の対称断面を考える。図心を y=0y=0 とし、曲率半径を用いて軸方向のひずみ・応力分布を表せ。
  2. この対称断面の曲げ剛性を求めよ。
  3. 次に、上層 A（EE）と下層 B（2E2E）が各厚さ hh の二層断面を考える。接合面を y=0y=0 とし、中立面が接合面より下方にある距離を h0h_0 とする。図示の内表面の曲率半径 RR を用い、軸方向ひずみ・応力分布および h0h_0 を求めよ。
  4. 二層断面の MM と RR の関係を求めよ。

構造・座標の模式図

题目描述​

长 ll、宽 bb 的完全粘结组合悬臂梁，端部受使下缘受拉的纯弯矩 MM。先考虑中央层厚 2h2h、模量 EE，上下表层各厚 hh、模量 2E2E，求轴向应变、应力分布和抗弯刚度。再考虑上层模量 EE、下层 2E2E、各厚 hh 的双层梁；界面取向下坐标 y=0y=0，求中性面偏移 h0h_0、分布及弯矩与内表面曲率半径 RR 的关系。

Kai​

(1)・(2) 対称断面​

中立面の曲率半径を ρ\rho とする。平面保持より εx=y/ρ\varepsilon_x=y/\rho であり、

σx(y)={Ey/ρ∣y∣≤h,2Ey/ρh<∣y∣≤2h.\boxed{\sigma_x(y)=\begin{cases}Ey/\rho&|y|\le h,\\2Ey/\rho&h<|y|\le2h.\end{cases}}

したがって曲げ剛性は

D=bE∫−hhy2 dy+2bE(∫−2h−hy2 dy+∫h2hy2 dy)=10Ebh3,M=Dρ.D=bE\int_{-h}^{h}y^2\,dy+2bE\left(\int_{-2h}^{-h}y^2\,dy+\int_h^{2h}y^2\,dy\right) =\boxed{10Ebh^3},\qquad M=\frac{D}{\rho}.

内表面の半径を RR と表す場合には ρ=R+2h\rho=R+2h と置く。

(3) 二層断面​

中立面の半径は ρ=R+h+h0\rho=R+h+h_0。平面保持とフックの法則より

εx=y−h0ρ,σx={E(y−h0)/ρ−h≤y≤0,2E(y−h0)/ρ0≤y≤h.\varepsilon_x=\frac{y-h_0}{\rho},\qquad \sigma_x=\begin{cases}E(y-h_0)/\rho&-h\le y\le0,\\2E(y-h_0)/\rho&0\le y\le h.\end{cases}

軸力ゼロの条件から

∫−h0Eb(y−h0) dy+∫0h2Eb(y−h0) dy=0⟹h0=h6.\int_{-h}^{0}Eb(y-h_0)\,dy+\int_0^h2Eb(y-h_0)\,dy=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{h_0=\frac h6}.

よって

εx=6y−h6R+7h,σx={E(6y−h)/(6R+7h)−h≤y≤0,2E(6y−h)/(6R+7h)0≤y≤h.\boxed{\varepsilon_x=\frac{6y-h}{6R+7h}},\qquad \boxed{\sigma_x=\begin{cases}E(6y-h)/(6R+7h)&-h\le y\le0,\\2E(6y-h)/(6R+7h)&0\le y\le h.\end{cases}}

(4)​

中立面まわりの曲げ剛性は

D=Eb∫−h0(y−h6)2dy+2Eb∫0h(y−h6)2dy=1112Ebh3.D=Eb\int_{-h}^0\left(y-\frac h6\right)^2dy+2Eb\int_0^h\left(y-\frac h6\right)^2dy=\frac{11}{12}Ebh^3.

したがって

M=DR+7h/6=11Ebh32(6R+7h).\boxed{M=\frac{D}{R+7h/6}=\frac{11Ebh^3}{2(6R+7h)}}.

Reference​

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