東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2021年度 機械力学・制御 問題8

标签：

• 东京大学
• 刚体转动惯量
• 状态空间表示
• 可控性与可观性
• PID 与 I-PD 控制
• 劳斯–赫尔维茨稳定判据

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図8-1に示す $x$–$y$ 平面内を運動する1自由度マニピュレータを考える。モータは地面に固定されており，トルク $\tau$ を出力できる。モータには質量 $m$，長さ $2L$ の一様な剛体棒のリンクが接続されている。また，モータとリンクの間にはばねが設置されており，リンクの角度 $\theta$ に比例した復元トルクが働き，そのばね定数を $k$ とする。さらに，モータとリンクの間にはリンクの角速度 $\dot\theta$ に比例した減衰トルクが生じており，その減衰係数は $C$ とする。なお，重力加速度は無視できるとする。以下の設問に答えよ。

(1) 1自由度マニピュレータの運動方程式を求めよ。

(2) $X=[\theta_1\quad\theta_2]^{\mathsf T}=[\theta\quad\dot\theta]^{\mathsf T}$ を状態ベクトル，$\theta_1,\theta_2$ を状態変数，$Y=\theta$ を出力変数として，状態方程式を求めよ。

(3) 設問(2)で求められた状態方程式を基に，1自由度マニピュレータの可制御性と可観測性を議論せよ。

(4) 角度 $\theta$ がゼロのとき，復元トルクはゼロであるとする。モータのトルク $\tau$ は，目標角度を $\theta_r$（定数）とする PID 制御によって出力されるとする。比例ゲインは $k_p$，積分ゲインは $k_i$，微分ゲインは $k_d$ とする。このとき，PID 制御系が安定となる PID ゲインの条件を導出せよ。

题目描述

考虑图8-1所示在 $x$–$y$ 平面内运动的单自由度机械臂。电动机固定于地面，能够输出转矩 $\tau$，并连接一根质量为 $m$、长度为 $2L$ 的均匀刚性杆作为连杆。电动机与连杆之间安装有弹簧，产生与连杆角度 $\theta$ 成正比的回复力矩，弹簧常数为 $k$。此外，两者之间还产生与连杆角速度 $\dot\theta$ 成正比的阻尼力矩，阻尼系数为 $C$。忽略重力加速度的影响。回答下列问题。

(1) 求单自由度机械臂的运动方程。

(2) 以 $X=[\theta_1\quad\theta_2]^{\mathsf T}=[\theta\quad\dot\theta]^{\mathsf T}$ 为状态向量，以 $\theta_1,\theta_2$ 为状态变量，以 $Y=\theta$ 为输出变量，求状态方程。

(3) 根据第(2)问所得状态方程，讨论该机械臂的可控性和可观性。

(4) 假设当角度 $\theta=0$ 时回复力矩为零。电动机转矩 $\tau$ 由目标角度为常数 $\theta_r$ 的 PID 控制产生。比例、积分、微分增益分别为 $k_p,k_i,k_d$。导出使 PID 控制系统稳定的增益条件。

Kai

(1)

リンクの端点回り慣性モーメントは

$$J=\frac13m(2L)^2=\frac43mL^2.$$

したがって

$$\boxed{J\ddot\theta+C\dot\theta+k\theta=\tau}.$$

(2)

$$\boxed{\dot X=AX+B\tau,\qquad Y=HX},$$

$$A=\begin{bmatrix}0&1\\-k/J&-C/J\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\1/J\end{bmatrix},\quad H=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}.$$

(3)

可制御行列と可観測行列は

$$\mathcal C=[B\ AB]=\begin{bmatrix}0&1/J\\1/J&-C/J^2\end{bmatrix},\qquad \mathcal O=\begin{bmatrix}H\\HA\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

$\det\mathcal C=-1/J^2\ne0$、$\operatorname{rank}\mathcal O=2$ より、可制御かつ可観測である。

(4)

$e=\theta_r-\theta$ とし

$$\tau=k_pe+k_i\int e\,\mathrm dt+k_d\dot e$$

を運動方程式に代入すると、特性多項式は

$$D(s)=Js^3+(C+k_d)s^2+(k+k_p)s+k_i.$$

三次のラウス–フルビッツ条件より

$$\boxed{C+k_d>0,\quad k+k_p>0,\quad k_i>0,\quad (C+k_d)(k+k_p)>Jk_i}.$$

積分器を用いない $k_i=0$ のPD制御として実装する場合は、二次系の条件 $C+k_d>0,\ k+k_p>0$ に帰着する。

Reference

• 東京大学公式問題
• zzy の解答