東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2021年度 機械力学・制御 問題8

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• Rigid-Body-Moment-of-Inertia
• State-Space-Representation
• Controllability-and-Observability
• Proportional-Integral-Derivative-and-Integral-Proportional-Derivative-Control
• Routh-Hurwitz-Stability

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

$x$–$y$ 平面内を動く1自由度マニピュレータを考える。固定モータに、質量 $m$、長さ $2L$ の一様な剛体棒リンクの一端が接続され、モータはトルク $\tau$ を出力する。リンク角度を $\theta$、ねじりばね定数を $k$、回転粘性減衰係数を $C$ とし、重力を無視する。

1. 運動方程式を求めよ。
2. 状態 $X=[\theta,\dot\theta]^T$、入力 $\tau$、出力 $Y=\theta$ の状態方程式を求めよ。
3. 可制御性と可観測性を判定せよ。
4. $\theta=0$ でばねの復元トルクが0とする。定数目標角 $\theta_r$ へのPID制御で、比例・積分・微分ゲインを $k_p,k_i,k_d$ とするとき、閉ループ系の安定条件を求めよ。

题目描述

质量 $m$、长度 $2L$ 的均匀刚杆由固定电机驱动，转轴有扭簧和粘性阻尼，忽略重力。求运动方程、以角度和角速度为状态的状态空间模型，判断可控性与可观性，并求定值角度目标下PID闭环稳定的增益条件。

Kai

(1)

リンクの端点回り慣性モーメントは

$$J=\frac13m(2L)^2=\frac43mL^2.$$

したがって

$$\boxed{J\ddot\theta+C\dot\theta+k\theta=\tau}.$$

(2)

$$\boxed{\dot X=AX+B\tau,\qquad Y=HX},$$

$$A=\begin{bmatrix}0&1\\-k/J&-C/J\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\1/J\end{bmatrix},\quad H=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}.$$

(3)

可制御行列と可観測行列は

$$\mathcal C=[B\ AB]=\begin{bmatrix}0&1/J\\1/J&-C/J^2\end{bmatrix},\qquad \mathcal O=\begin{bmatrix}H\\HA\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

$\det\mathcal C=-1/J^2\ne0$、$\operatorname{rank}\mathcal O=2$ より、可制御かつ可観測である。

(4)

$e=\theta_r-\theta$ とし

$$\tau=k_pe+k_i\int e\,\mathrm dt+k_d\dot e$$

を運動方程式に代入すると、特性多項式は

$$D(s)=Js^3+(C+k_d)s^2+(k+k_p)s+k_i.$$

三次のラウス–フルビッツ条件より

$$\boxed{C+k_d>0,\quad k+k_p>0,\quad k_i>0,\quad (C+k_d)(k+k_p)>Jk_i}.$$

積分器を用いない $k_i=0$ のPD制御として実装する場合は、二次系の条件 $C+k_d>0,\ k+k_p>0$ に帰着する。

Reference

• 東京大学公式問題
• zzy の解答