東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2021年度 機械力学・制御 問題7

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Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

水平面内で微小回転する一様な棒状剛体 A を、固定軸受 B と2本のばね S1、S2 で支える。棒の全長は $L$、質量は $m$、重心回りの慣性モーメントは $I$。ばね取付位置は初め重心から左右に距離 $a$ とする。

1. 軸受が重心にあり、ばね定数が $k_1,k_2$、回転粘性減衰係数が $c$ のとき、回転角 $\theta$ の運動方程式を求めよ。
2. 平衡位置から変位させて静かに放すと、振動せずに元へ戻った。このような2種類の応答を図で説明せよ。

次に軸受だけを重心から右へ $b$ 移し、軸受の回転抵抗を0、ばね定数を $k_1=k_2=k$ とする。

3. 運動方程式を求めよ。
4. $b=0$ の場合と比べた固有振動数の変化を説明せよ。
5. 固有振動数を $b=0$ のときと等しくするため、S2 の取付位置だけを変える方法と、S2 のばね定数だけを変える方法をそれぞれ求めよ。

题目描述

均匀刚杆在水平面内绕固定轴承微小转动，两弹簧起初安装在重心两侧距离 $a$ 处。先求重心支承时带粘性阻尼的运动方程，并比较过阻尼与临界阻尼自由响应。然后将轴承向右移 $b$、忽略阻尼，求方程和固有频率变化；分别仅调右侧弹簧位置或刚度，使频率恢复到轴承位于重心时的值。

Kai

(1)

ばね変位はそれぞれ $\pm a\theta$ なので、軸回りのモーメントの釣合いより

$$\boxed{I\ddot\theta+c\dot\theta+(k_1+k_2)a^2\theta=0}.$$

(2)

$$\omega_n=\sqrt{\frac{(k_1+k_2)a^2}{I}},\qquad \zeta=\frac{c}{2\sqrt{I(k_1+k_2)a^2}}.$$

初期条件を $\theta(0)=\theta_0,\ \dot\theta(0)=0$ とする。

臨界減衰 $\zeta=1$ では

$$\boxed{\theta=\theta_0(1+\omega_nt)e^{-\omega_nt}}.$$

過減衰 $\zeta>1$ では、$\lambda_{1,2}=-\omega_n(\zeta\mp\sqrt{\zeta^2-1})$ として

$$\boxed{\theta=\theta_0\frac{-\lambda_2e^{\lambda_1t}+\lambda_1e^{\lambda_2t}}{\lambda_1-\lambda_2}}.$$

両者とも振動しないが、同じ慣性・剛性で静かに放したとき、臨界減衰の方が速く平衡位置へ戻る。

(3)

軸回りの慣性モーメントは $I+mb^2$、ばねの腕の長さは $a+b,a-b$。よって

$$\boxed{(I+mb^2)\ddot\theta+2k(a^2+b^2)\theta=0}.$$

(4)

固有角振動数と固有振動数は

$$\boxed{\omega_n(b)=\sqrt{\frac{2k(a^2+b^2)}{I+mb^2}},\qquad f_n(b)=\frac{\omega_n(b)}{2\pi}}.$$

$b=0$ との差は

$$\omega_n^2(b)-\omega_n^2(0) =\frac{2kb^2(I-ma^2)}{I(I+mb^2)}.$$

したがって $b>0$ では、$a<\sqrt{I/m}$ なら増加、$a>\sqrt{I/m}$ なら減少、$a=\sqrt{I/m}$ なら不変である。

(5)

目標値は $\omega_n^2(0)=2ka^2/I$ とする。

S2 の軸受からの距離を $d$ に変えると

$$\frac{k[(a+b)^2+d^2]}{I+mb^2}=\frac{2ka^2}{I}.$$

よって

$$\boxed{d^2=D:=2a^2\left(1+\frac{mb^2}{I}\right)-(a+b)^2}.$$

$D\ge0$ かつ棒上に取付可能な場合、重心基準の位置を $x_2=b\pm\sqrt D$ のいずれかにする。

位置を変えずに S2 のばね定数を $k_2'$ とすると

$$\frac{k(a+b)^2+k_2'(a-b)^2}{I+mb^2}=\frac{2ka^2}{I}$$

より、$a\ne b$ に対して

$$\boxed{k_2'=k\frac{D}{(a-b)^2}}.$$

通常の正のばね定数で実現するには $D>0$ が必要である。$a=b$ では S2 の腕が0なので、そのばね定数を変えても固有振動数は変わらない。

Reference

• 東京大学公式問題
• zzy の解答