東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学（流体力学）2020年実施 問題 3

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• 东京大学
• 纳维–斯托克斯方程
• 涡度与流函数
• 控制体动量守恒

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

以下の文章の空欄を埋めよ。なお，空欄1，2，14，15，16には適切な用語を記入し，それ以外の空欄には適切な数字，または数式を記入せよ。

$x$–$y$ 平面における2次元流れを考える。流体はニュートン流体とし，非圧縮とする。このとき，流れ場の支配方程式は （1），および （2） とよばれており，それぞれ質量保存則と運動量保存則を表す。

以下では，$x$ 方向速度を $U$，$y$ 方向速度を $V$ とする。また，流体の密度を $\rho$，粘性係数を $\mu$ とする。時刻 $t=t_0$ において，$U(x,y,t_0)=A_0\sin(kx)\cos(ky)$ であると仮定する。ここで，正の実定数 $A_0$ と $k$ は，それぞれ振幅と波数を表す。任意の $x$ において，$V$ の $y$ 方向の平均値はゼロとすると，時刻 $t=t_0$ における $V$ の空間分布は，（1）より $V(x,y,t_0)=$ （3） となる。この流れ場は，$x$–$y$ 平面に垂直な $z$ 方向の渦度成分を持っており，その値は $\omega_z(x,y,t_0)=$ （4） となる。この流れ場の流れ関数は，$\psi(x,y,t_0)=$ （5） で与えられる。ただし，$\psi(0,0,t_0)=0$ とする。（2）の両辺の発散をとり，（1）を用いてゼロとなる項を全て消去すると，圧力の空間分布 $P(x,y,t)$ を決める偏微分方程式が （6） と書ける。この式は，圧力ポアソン方程式とよばれる。

$x$–$y$ 平面内に $(x,y)=(0,\pi/(2k)),\ (0,0),\ (\pi/k,0),\ (\pi/k,\pi/(2k))$ の4点をとり，それぞれ A，B，C，D とする。これらの点で囲まれる長方形の領域を検査体積 ABCD とし，この領域内部における $x$ 方向の運動量の保存を考える。なお，以下の空欄7，8，9，10，11では，$z$ 方向の単位長さあたりの量を答えよ。時刻 $t=t_0$ において，検査体積 ABCD 内部における $x$ 方向運動量の積分量は （7） である。B と C を結んだ境界 BC から，対流により単位時間あたり検査体積 ABCD に流入する $x$ 方向の運動量はゼロである。境界 BC において，検査体積 ABCD に働く $x$ 方向の表面力は （8） である。境界 DA から，対流により単位時間あたり検査体積 ABCD に流入する $x$ 方向の運動量はゼロである。境界 DA において，検査体積 ABCD に働く $x$ 方向の表面力は （9） である。境界 AB と境界 CD において，対流により単位時間あたり検査体積 ABCD に流入する $x$ 方向の運動量の流入はゼロである。境界 AB と境界 CD において検査体積 ABCD に働く $x$ 方向の表面力に関して，流れ場の対称性により圧力による力は打ち消しあう。したがって，圧力の寄与を考えないと，境界 AB と境界 CD において検査体積 ABCD に働く $x$ 方向の表面力は等しく，その値は （10） となる。以上の結果より，検査体積 ABCD における $x$ 方向の運動量の単位時間あたりの減少量は （11） となる。

次に，上述の流れ場の時間発展を考える。任意の時刻 $t$ において $U$ が，$U(x,y,t)=A(t)\sin(kx)\cos(ky)$ で表現できると仮定する。ただし，$A(t_0)=A_0$ である。検査体積 ABCD における運動量の保存を考慮すると，$A(t)$ に関する常微分方程式が，$A,\rho,\mu,k$ を用いて，$dA/dt=$ （12） と書ける。時刻 $t=t_0$ における初期条件を考慮し，この常微分方程式を時間積分すると $A$ の時間発展が $A(t)=$ （13） と求められる。これより，流体の持つ運動エネルギーが時間と共に減少することが分かる。これは，流体の （14） によって運動エネルギーが （15） に変換されるためである。時刻 $t=t_0$ において，複数の粒子を $x$–$y$ 平面内に配置することを考える。ここで，粒子は局所の流体速度に完全に追従するものとする。各粒子は，時刻 $t=t_0$ における （16） の値が一定となる曲線上を運動する。$|x|<\pi/k$ かつ $|y|<\pi/k$ を満たす領域において，粒子が静止する位置は （17） 点存在する。

题目描述

填入下文空白。第1、2、14、15、16空填写适当术语，其余空填写适当数字或数学表达式。

考虑 $x$–$y$ 平面中的二维流动，流体为不可压缩牛顿流体。流场的控制方程称为 （1） 和 （2），分别表示质量守恒与动量守恒。

以下将 $x,y$ 方向的速度分别记为 $U,V$，流体密度记为 $\rho$，动力黏度记为 $\mu$。假设在 $t=t_0$ 时，$U(x,y,t_0)=A_0\sin(kx)\cos(ky)$，其中正常数 $A_0,k$ 分别表示振幅和波数。对任意 $x$，假设 $V$ 沿 $y$ 方向的平均值为零，则由（1），初始时刻的空间分布为 $V(x,y,t_0)=$ （3）。该流场具有垂直于 $x$–$y$ 平面的 $z$ 向涡度分量，其值为 $\omega_z(x,y,t_0)=$ （4）。流函数为 $\psi(x,y,t_0)=$ （5），其中 $\psi(0,0,t_0)=0$。对（2）两边取散度，利用（1）消去所有为零的项，可得到决定压力空间分布 $P(x,y,t)$ 的偏微分方程 （6），称为压力泊松方程。

在 $x$–$y$ 平面内取四点 $(x,y)=(0,\pi/(2k)),\ (0,0),\ (\pi/k,0),\ (\pi/k,\pi/(2k))$，依次记为 A、B、C、D。以四点围成的矩形区域为控制体 ABCD，考虑其内部 $x$ 向动量守恒。以下第7、8、9、10、11空均回答沿 $z$ 方向单位长度对应的量。在 $t=t_0$ 时，控制体内 $x$ 向动量的积分值为 （7）。经连接 B、C 两点的边界 BC，由对流在单位时间内流入控制体的 $x$ 向动量为零。边界 BC 处作用于控制体的 $x$ 向表面力为 （8）。经边界 DA，由对流在单位时间内流入控制体的 $x$ 向动量为零；该边界处作用于控制体的 $x$ 向表面力为 （9）。在边界 AB、CD 处，由对流在单位时间内流入控制体的 $x$ 向动量也为零。关于这两处作用于控制体的 $x$ 向表面力，由流场对称性，压力所产生的力互相抵消。因此不考虑压力的贡献时，边界 AB 和 CD 处作用于控制体的 $x$ 向表面力相等，值为 （10）。综上，控制体内 $x$ 向动量在单位时间内的减少量为 （11）。

接着考虑上述流场随时间的演化。假设任意时刻 $t$ 的速度均可表示为 $U(x,y,t)=A(t)\sin(kx)\cos(ky)$，且 $A(t_0)=A_0$。考虑控制体 ABCD 的动量守恒，关于 $A(t)$ 的常微分方程可用 $A,\rho,\mu,k$ 写成 $dA/dt=$ （12）。利用 $t=t_0$ 时的初始条件，对该方程作时间积分可得 $A(t)=$ （13）。由此可知流体动能随时间减少，这是因为流体的 （14） 使动能转变为 （15）。设在 $t=t_0$ 时于 $x$–$y$ 平面内放置多个粒子，粒子完全随局部流体速度运动。各粒子沿着初始时刻 （16） 的值保持恒定的曲线运动。在满足 $|x|<\pi/k$ 且 $|y|<\pi/k$ 的区域内，共有 （17） 个使粒子静止的位置。

Kai

(1)〜(5)

(1) 連続の式。(2) ナビエ・ストークス方程式。

$V_y=-U_x=-A_0k\cos(kx)\cos(ky)$ を積分し、$V$ の平均値が零であることから

$$\boxed{\text{(3)}=-A_0\cos(kx)\sin(ky)}.$$

$\omega_z=V_x-U_y$ および $U=\psi_y,\ V=-\psi_x$ より、

$$\boxed{\text{(4)}=2A_0k\sin(kx)\sin(ky)},\qquad \boxed{\text{(5)}=\frac{A_0}{k}\sin(kx)\sin(ky)}.$$

(6)

非圧縮条件により非定常項と粘性項の発散が零となるので、

$$\boxed{\text{(6)}:\quad \frac{\partial^2P}{\partial x^2}+\frac{\partial^2P}{\partial y^2} =-\rho\left[ \left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^2 +2\frac{\partial U}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial x} +\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2\right]}.$$

(7)〜(11)

運動量を積分すると

$$M_x=\int_0^{\pi/(2k)}\int_0^{\pi/k}\rho U\,dx\,dy =\boxed{\text{(7)}=\frac{2\rho A_0}{k^2}}.$$

せん断応力は $\tau_{xy}=\mu(U_y+V_x)=0$ なので、

$$\boxed{\text{(8)}=0},\qquad \boxed{\text{(9)}=0}.$$

粘性による法線応力は $\tau_{xx}=2\mu A_0k\cos(kx)\cos(ky)$。AB と CD の外向き法線はそれぞれ $-\boldsymbol e_x,+\boldsymbol e_x$ なので、

$$\begin{aligned} F_{AB}&=-\int_0^{\pi/(2k)}\tau_{xx}(0,y)\,dy=-2\mu A_0,\\ F_{CD}&=\int_0^{\pi/(2k)}\tau_{xx}(\pi/k,y)\,dy=-2\mu A_0. \end{aligned}$$

よって

$$\boxed{\text{(10)}=-2\mu A_0},\qquad \frac{dM_x}{dt}=-4\mu A_0,\qquad \boxed{\text{(11)}=4\mu A_0}.$$

(12)〜(15)

$M_x(t)=2\rho A(t)/k^2$ であるから、

$$\frac{2\rho}{k^2}\frac{dA}{dt}=-4\mu A,\qquad \boxed{\text{(12)}=-\frac{2\mu k^2}{\rho}A}.$$

初期条件を用いて積分すると、

$$\boxed{\text{(13)}=A_0\exp\left[-\frac{2\mu k^2}{\rho}(t-t_0)\right]}.$$

(14) 粘性散逸。(15) 内部エネルギー。

(16)、(17)

速度場は初期速度場の正の定数倍なので、流線の形は変化しない。したがって (16) は 流れ関数。

$U=V=0$ を満たす点は

$$\begin{gathered} (0,0),\\ \left(\frac{\pi}{2k},\frac{\pi}{2k}\right),\quad \left(\frac{\pi}{2k},-\frac{\pi}{2k}\right),\\ \left(-\frac{\pi}{2k},\frac{\pi}{2k}\right),\quad \left(-\frac{\pi}{2k},-\frac{\pi}{2k}\right). \end{gathered}$$

よって $\boxed{\text{(17)}=5}$。

Reference

• 東京大学 公式過去問（2021年度）
• zzy の解答・解説