東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学（流体力学）2020年実施 問題 3

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• Navier-Stokes-Equations
• Vorticity-and-Streamfunction
• Control-Volume-Momentum

Author

祭音Myyura (Based on zzy's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

非圧縮ニュートン流体の $x$–$y$ 平面内の二次元流れを考える。速度成分を $(U,V)$、密度を $\rho$、粘性係数を $\mu$ とする。時刻 $t=t_0$ で

$$U(x,y,t_0)=A_0\sin(kx)\cos(ky),\qquad A_0>0,\quad k>0$$

とし、任意の $x$ において $V$ の $y$ 方向の平均値は零とする。以下の空欄 (1)〜(17) を埋めよ。(1)、(2)、(14)、(15)、(16) は用語、それ以外は数字または数式で答えよ。

質量保存則を表す支配方程式は (1)、運動量保存則を表す支配方程式は (2) である。初期時刻の速度分布、渦度、流れ関数はそれぞれ

$$V(x,y,t_0)=\text{(3)},\qquad \omega_z(x,y,t_0)=\text{(4)},\qquad \psi(x,y,t_0)=\text{(5)}$$

となる。ただし $\psi(0,0,t_0)=0$ とする。(2) の両辺の発散をとり、(1) を用いて零となる項を消去すると、圧力 $P(x,y,t)$ の空間分布を定める圧力ポアソン方程式 (6) が得られる。

次に、$A=(0,\pi/(2k))$、$B=(0,0)$、$C=(\pi/k,0)$、$D=(\pi/k,\pi/(2k))$ を頂点とする長方形を検査体積 ABCD とする。以下の (7)〜(11) は $z$ 方向の単位長さ当たりの量を答えよ。

時刻 $t=t_0$ における検査体積内の $x$ 方向運動量の積分量は (7) である。各辺を通じた対流による $x$ 方向運動量の流入は零であり、辺 BC、DA において検査体積に働く $x$ 方向の表面力は、それぞれ (8)、(9) となる。辺 AB、CD の圧力による力は対称性から相殺される。圧力を除くと、この二辺で検査体積に働く $x$ 方向の表面力は等しく、それぞれ (10) である。したがって検査体積内の $x$ 方向運動量の単位時間当たりの減少量は (11) となる。

任意の時刻に

$$U(x,y,t)=A(t)\sin(kx)\cos(ky),\qquad A(t_0)=A_0$$

と表せるとする。検査体積の運動量保存則から

$$\frac{dA}{dt}=\text{(12)},\qquad A(t)=\text{(13)}$$

を得る。運動エネルギーが減少するのは、流体の (14) によって (15) に変換されるためである。

局所の流体速度に完全に追従する粒子は、初期時刻の (16) の値が一定となる曲線上を移動する。$|x|<\pi/k$ かつ $|y|<\pi/k$ の領域内で、粒子が静止する位置は (17) 点存在する。

题目描述

二维不可压缩牛顿流体的初始速度满足 $U=A_0\sin(kx)\cos(ky)$，$V$ 沿 $y$ 的平均值为零。填出质量与动量守恒方程的名称、$V$、涡度、流函数及压力泊松方程。对顶点为 $(0,\pi/(2k)),(0,0),(\pi/k,0),(\pi/k,\pi/(2k))$ 的矩形控制体，求单位厚度的 $x$ 向动量、各边表面力及动量的减少率。设速度形状保持不变，求幅值 $A(t)$ 的微分方程和解，说明动能耗散的原因及去向、粒子轨迹对应的初始场量，并求 $|x|,|y|<\pi/k$ 内的驻点数。共 17 空，其中 (1)、(2)、(14)、(15)、(16) 填术语，其余填数值或公式。

Kai

(1)〜(5)

(1) 連続の式。(2) ナビエ・ストークス方程式。

$V_y=-U_x=-A_0k\cos(kx)\cos(ky)$ を積分し、$V$ の平均値が零であることから

$$\boxed{\text{(3)}=-A_0\cos(kx)\sin(ky)}.$$

$\omega_z=V_x-U_y$ および $U=\psi_y,\ V=-\psi_x$ より、

$$\boxed{\text{(4)}=2A_0k\sin(kx)\sin(ky)},\qquad \boxed{\text{(5)}=\frac{A_0}{k}\sin(kx)\sin(ky)}.$$

(6)

非圧縮条件により非定常項と粘性項の発散が零となるので、

$$\boxed{\text{(6)}:\quad \frac{\partial^2P}{\partial x^2}+\frac{\partial^2P}{\partial y^2} =-\rho\left[ \left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^2 +2\frac{\partial U}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial x} +\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2\right]}.$$

(7)〜(11)

運動量を積分すると

$$M_x=\int_0^{\pi/(2k)}\int_0^{\pi/k}\rho U\,dx\,dy =\boxed{\text{(7)}=\frac{2\rho A_0}{k^2}}.$$

せん断応力は $\tau_{xy}=\mu(U_y+V_x)=0$ なので、

$$\boxed{\text{(8)}=0},\qquad \boxed{\text{(9)}=0}.$$

粘性による法線応力は $\tau_{xx}=2\mu A_0k\cos(kx)\cos(ky)$。AB と CD の外向き法線はそれぞれ $-\boldsymbol e_x,+\boldsymbol e_x$ なので、

$$F_{AB}=-\int_0^{\pi/(2k)}\tau_{xx}(0,y)\,dy=-2\mu A_0, \qquad F_{CD}=\int_0^{\pi/(2k)}\tau_{xx}(\pi/k,y)\,dy=-2\mu A_0.$$

よって

$$\boxed{\text{(10)}=-2\mu A_0},\qquad \frac{dM_x}{dt}=-4\mu A_0,\qquad \boxed{\text{(11)}=4\mu A_0}.$$

(12)〜(15)

$M_x(t)=2\rho A(t)/k^2$ であるから、

$$\frac{2\rho}{k^2}\frac{dA}{dt}=-4\mu A,\qquad \boxed{\text{(12)}=-\frac{2\mu k^2}{\rho}A}.$$

初期条件を用いて積分すると、

$$\boxed{\text{(13)}=A_0\exp\left[-\frac{2\mu k^2}{\rho}(t-t_0)\right]}.$$

(14) 粘性散逸。(15) 内部エネルギー。

(16)、(17)

速度場は初期速度場の正の定数倍なので、流線の形は変化しない。したがって (16) は 流れ関数。

$U=V=0$ を満たす点は

$$(0,0),\qquad \left(\frac{\pi}{2k},\frac{\pi}{2k}\right),\quad \left(\frac{\pi}{2k},-\frac{\pi}{2k}\right),\quad \left(-\frac{\pi}{2k},\frac{\pi}{2k}\right),\quad \left(-\frac{\pi}{2k},-\frac{\pi}{2k}\right).$$

よって $\boxed{\text{(17)}=5}$。

Reference

• 東京大学 公式過去問（2021年度）
• zzy の解答・解説