東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2021年度 熱工学 問題1

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• 东京大学
• 储罐非稳态充气

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図1-1に示すように，温度 $T_0$，圧力 $p_0$ が一定の気体中にバルブ付きの一定容積 $V_1$ のタンクが置かれている系について考える。初期状態ではバルブは閉じており，タンク内には温度 $T_1$，圧力 $p_1\ (<p_0)$ の周囲と同じ気体が充填されている。ここで，バルブを開いてタンク内に周囲の気体を取り込み，タンク内の圧力が周囲の気体の圧力 $p_0$ と等しくなったところでバルブを閉じる場合について考える。気体は，比熱比 $\kappa$，気体定数 $R$ が一定の理想気体とする。タンクやバルブの壁面は断熱されている。また，バルブ内の流れは音速以下であり，それ以外の場所の流れは無視する。さらに，タンク内に流入した気体は，直ちにタンク内の気体と混合するため，タンク内の温度，圧力は，常に一様であるとする。以下の設問に答えよ。

まず，気体がバルブを通過する際に等エンタルピー変化をする場合について考える。

(1) バルブが開いている間に，この系のエントロピー増加をもたらした不可逆過程を二つ挙げよ。

(2) タンク内に流入した気体の質量とバルブを閉じた後のタンク内の気体の温度を求めよ。また，導出過程も示せ。

(3) バルブが開いている間に系で発生した熱量を求めよ。また，導出過程も示せ。

次に，気体がバルブを通過する際に等エントロピー変化をする場合について考える。

(4) タンク内に流入した気体の質量とバルブを閉じた後のタンク内の気体の温度を導出せよ。また，導出過程も示せ。

题目描述

如图1-1所示，考虑一个带阀门、容积恒为 $V_1$ 的储气罐，置于温度 $T_0$、压力 $p_0$ 恒定的气体环境中。初态阀门关闭，罐内充有与周围相同的气体，温度为 $T_1$，压力为 $p_1\ (<p_0)$。打开阀门使周围气体进入罐内，当罐内压力与环境压力 $p_0$ 相等时关闭阀门。气体为比热比 $\kappa$ 和气体常数 $R$ 均恒定的理想气体，罐壁和阀门壁绝热。阀门内的流速不超过声速，忽略其他位置的流动。进入罐内的气体立即与原有气体混合，因此罐内温度和压力始终均匀。回答下列问题。

首先考虑气体通过阀门时发生等焓变化的情况。

(1) 列举阀门打开期间导致该系统熵增加的两种不可逆过程。

(2) 求流入罐内的气体质量及关闭阀门后罐内气体的温度，并给出推导过程。

(3) 求阀门打开期间系统中产生的热量，并给出推导过程。

接着考虑气体通过阀门时发生等熵变化的情况。

(4) 导出流入罐内的气体质量及关闭阀门后罐内气体的温度，并给出推导过程。

Kai

(1)

圧力差を伴うバルブでの絞り、および流入気体とタンク内気体との非平衡混合である。

(2)

初期質量を $m_1=p_1V_1/(RT_1)$、流入質量を $m$、最終温度を $T_f$ とする。バルブ入口を含む固定検査体積で、流入エンタルピーを含めたエネルギー保存は

$$(m_1+m)c_vT_f-m_1c_vT_1=mc_pT_0.$$

最終状態の $(m_1+m)RT_f=p_0V_1$ と $c_p=\kappa R/(\kappa-1)$ を用いれば

$$\boxed{m=\frac{(p_0-p_1)V_1}{\kappa RT_0}},\qquad \boxed{T_f=\frac{\kappa p_0T_0T_1} {\kappa p_1T_0+(p_0-p_1)T_1}}.$$

(3)

断熱であるから境界を通る伝熱量は $\boxed{Q_{\rm ext}=0}$。一方、タンク内の内部エネルギー増加は

$$\boxed{\Delta U=mc_pT_0=\frac{(p_0-p_1)V_1}{\kappa-1}}.$$

これは流入エネルギーであり、熱移動ではない。流入気体が初め持つ内部エネルギー $mc_vT_0$ を除いた、押し込み仕事の内部エネルギーへの転換分は

$$\boxed{W_{\rm flow}=mRT_0=\frac{(p_0-p_1)V_1}{\kappa}}.$$

(4)

等エントロピー流れでも、断熱・軸仕事なしのバルブで保存されるのは全エンタルピーである。

$$h_{\rm jet}+\frac{u_{\rm jet}^2}{2}=c_pT_0.$$

流入時の運動エネルギーはタンク内の混合で内部エネルギーに変わる。したがってタンクとバルブを含む全体の収支は (2) と同じであり、

$$\boxed{m=\frac{(p_0-p_1)V_1}{\kappa RT_0},\qquad T_f=\frac{\kappa p_0T_0T_1} {\kappa p_1T_0+(p_0-p_1)T_1}}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答