東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2021年度 熱工学 問題1

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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

一定温度 $T_0$、圧力 $p_0$ の気体中に、容積 $V_1$ の断熱剛体タンクがある。初めタンク内には同じ理想気体が $T_1,p_1<p_0$ で入っている。バルブを開き、圧力が $p_0$ に等しくなったとき閉じる。比熱比 $\kappa$ と気体定数 $R$ は一定。タンク・バルブは断熱され、バルブ内は亜音速、それ以外の流速は無視できる。流入気体は直ちに混合し、タンク内は一様な状態にある。

1. バルブ通過が等エンタルピー変化の場合、エントロピー増加を生じる不可逆過程を二つ挙げよ。
2. 流入質量と最終タンク温度を求めよ。
3. バルブが開いている間に系で発生した熱量を求めよ。
4. バルブ通過が等エントロピー変化の場合の流入質量と最終タンク温度を求めよ。

题目描述

绝热刚性罐初态为 $T_1,p_1$，经阀门与恒定 $T_0,p_0>p_1$ 的同种理想气体环境连通，压力平衡时关阀。罐内气体始终混合均匀。分析等焓阀的不可逆过程，求流入质量、终温及能量转化；再讨论等熵阀情况下的结果。

Kai

(1)

圧力差を伴うバルブでの絞り、および流入気体とタンク内気体との非平衡混合である。

(2)

初期質量を $m_1=p_1V_1/(RT_1)$、流入質量を $m$、最終温度を $T_f$ とする。バルブ入口を含む固定検査体積で、流入エンタルピーを含めたエネルギー保存は

$$(m_1+m)c_vT_f-m_1c_vT_1=mc_pT_0.$$

最終状態の $(m_1+m)RT_f=p_0V_1$ と $c_p=\kappa R/(\kappa-1)$ を用いれば

$$\boxed{m=\frac{(p_0-p_1)V_1}{\kappa RT_0}},\qquad \boxed{T_f=\frac{\kappa p_0T_0T_1} {\kappa p_1T_0+(p_0-p_1)T_1}}.$$

(3)

断熱であるから境界を通る伝熱量は $\boxed{Q_{\rm ext}=0}$。一方、タンク内の内部エネルギー増加は

$$\boxed{\Delta U=mc_pT_0=\frac{(p_0-p_1)V_1}{\kappa-1}}.$$

これは流入エネルギーであり、熱移動ではない。流入気体が初め持つ内部エネルギー $mc_vT_0$ を除いた、押し込み仕事の内部エネルギーへの転換分は

$$\boxed{W_{\rm flow}=mRT_0=\frac{(p_0-p_1)V_1}{\kappa}}.$$

(4)

等エントロピー流れでも、断熱・軸仕事なしのバルブで保存されるのは全エンタルピーである。

$$h_{\rm jet}+\frac{u_{\rm jet}^2}{2}=c_pT_0.$$

流入時の運動エネルギーはタンク内の混合で内部エネルギーに変わる。したがってタンクとバルブを含む全体の収支は (2) と同じであり、

$$\boxed{m=\frac{(p_0-p_1)V_1}{\kappa RT_0},\qquad T_f=\frac{\kappa p_0T_0T_1} {\kappa p_1T_0+(p_0-p_1)T_1}}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答