東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2019年8月実施 問題 2

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• 东京大学
• 边界层
• 控制体动量守恒
• 纳维–斯托克斯方程

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 2-1 に示すような，速度 $U_\infty$ の一様な流れと平行に置かれた平板まわりの流れを考える。流れは定常・二次元・層流・非圧縮性流れであるとする。

ここに，$\delta(x)$ は平板の前縁からの距離 $x$ における境界層の厚さであり，$\delta$ は $x$ に対して十分に小さいものと仮定する。一般に，二次元の定常非圧縮性流れは以下に示す，連続の式，およびナビエ・ストークス方程式により表される。

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$$

$$u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial x} +\nu\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\right)$$

$$u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} =-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial y} +\nu\left(\frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}\right)$$

ここに，$x,y$ はそれぞれ平板と平行な座標軸，垂直な座標軸であり，座標軸の原点は平板の前縁（平板の左上の角）にとられている。$u,v$ はそれぞれ $x$ 方向，および $y$ 方向の流速成分であり，$p$ は圧力である。また，$\rho,\nu$ はそれぞれ流体の密度，および動粘度であり，これらは一定の値であるものとする。以下の設問に答えよ。

(1) 上式の各項のうち，圧力勾配項を除く項のオーダーを $\delta,x,U_\infty$ および $\nu$ を用いて表せ。

(2) 設問 (1) で得られた結果を用いて，平板まわりの境界層内の流れに対しては以下に示す方程式（平板の境界層方程式）が成り立つことを示せ。

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0,\qquad u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} =\nu\frac{\partial^2u}{\partial y^2}$$

(3) 設問 (2) に示した境界層方程式を用いて，壁面のごく近傍では速度 $u$ は壁面からの距離 $y$ の 1 次関数になることを示せ。

(4) 設問 (1) で得られた結果を用いて，境界層厚さ $\delta$ と前縁からの距離 $x$ との間に成立する関係を求めよ。

(5) 境界層が乱流に遷移した場合，前縁からの距離 $x$ が同じ位置において，境界層厚さ $\delta$ は層流の場合と比較してどうなるか，理由と共に説明しなさい。

次に，図 2-2 に示すような検査体積を考える。$\mathrm dx$ は検査体積の流れ方向の長さであり，上面 DC は境界層の厚さ $\delta$ よりも十分高い位置にとられている。検査体積の奥行き方向の長さは単位長さとする。$\tau_w(x)$ は平板の上面に働く壁面せん断応力である。

(6) 検査体積に対して質量の保存則を適用することにより，上面 DC を通って単位時間当たりに検査体積から流出する質量 $\dot m_{\mathrm{DC}}$ を下記の式により定義される排除厚さ $\delta^*(x)$ を用いて表せ。

$$\delta^*(x)\equiv\int_0^\infty\left(1-\frac{u}{U_\infty}\right)\mathrm dy$$

(7) 検査体積に対して運動量の保存則を適用することにより，せん断応力 $\tau_w(x)$ を下記の式により定義される運動量厚さ $\theta(x)$ を用いて表せ。

$$\theta(x)\equiv\int_0^\infty\frac{u}{U_\infty}\left(1-\frac{u}{U_\infty}\right)\mathrm dy$$

最後に，図 2-3 に示すように 2 枚の平板が距離 $D$ を隔てて対向している場合を考える。2 枚の平板間の距離 $D$ は境界層厚さ $\delta(x)$ の 2 倍よりも大きいものとする。2 枚の平板間に流入する（平板の影響は受けていない）主流速度，圧力をそれぞれ $U_\infty,P_\infty$ とする。

(8) 2 枚の平板間の流れの主流速度 $U(x)$ は上下の壁面の境界層の発達により増加する。2 枚の平板の前縁からの距離 $x$ の位置における主流速度 $U(x)$ を，同位置における境界層の排除厚さ $\delta^*(x)$，2 枚の平板間の距離 $D$，および平板の影響を受けていない主流速度 $U_\infty$ を用いて表せ。ただし，これ以降，境界層の排除厚さ $\delta^*(x)$ は次式により定義するものとする。

$$\delta^*(x)\equiv\int_0^{D/2}\left(1-\frac{u}{U(x)}\right)\mathrm dy$$

(9) 平板の前縁からの距離 $x$ の位置における圧力 $P(x)$ を同位置における境界層の排除厚さ $\delta^*(x)$，2 枚の平板間の距離 $D$，密度 $\rho$，および平板の影響を受けていない主流速度 $U_\infty$ ならびに圧力 $P_\infty$ を用いて表せ。

(10) 図 2-4 に示すような，下面 AB が平板の上面に接しており，また上面 DC が 2 枚の平板間の中心線に接している，主流方向の長さ $\mathrm dx$ の検査体積をとる。検査体積の奥行方向の長さは単位長さとする。検査体積に対して運動量の保存則を適用することにより，設問 (8)，(9) の結果を用いて，壁面摩擦応力 $\tau_w(x)$ を境界層の排除厚さ $\delta^*(x)$，運動量厚さ $\theta(x)$，2 枚の平板間の距離 $D$，密度 $\rho$，および平板の影響を受けていない主流速度 $U_\infty$ を用いて表せ。ただし，運動量厚さ $\theta(x)$ は以下の式により定義するものとする。

$$\theta(x)\equiv\int_0^{D/2}\frac{u}{U_\infty}\left(1-\frac{u}{U_\infty}\right)\mathrm dy$$

题目描述

图 2-1 中，平板平行于速度为 $U_\infty$ 的均匀来流，流动为稳态、二维、层流、不可压缩流。前缘起距离 $x$ 处的边界层厚度为 $\delta(x)$，假设 $\delta\ll x$。流动满足上列连续方程与两条纳维–斯托克斯方程。$x,y$ 分别平行、垂直于平板，原点在前缘左上角；$u,v$ 为相应速度分量，$p$ 为压强，密度 $\rho$ 与运动黏度 $\nu$ 均恒定。

(1) 用 $\delta,x,U_\infty,\nu$ 表示上述方程中除压强梯度项外各项的数量级。

(2) 根据 (1) 证明边界层内满足所列平板边界层方程：连续方程和 $u\partial_xu+v\partial_yu=\nu\partial_y^2u$。

(3) 用 (2) 的方程证明，紧邻壁面处的速度 $u$ 是壁面距离 $y$ 的一次函数。

(4) 根据 (1) 求边界层厚度 $\delta$ 与前缘距离 $x$ 的关系。

(5) 若边界层转捩为湍流，在同一 $x$ 处，其厚度与层流情况相比如何变化？说明理由。

再考虑图 2-2 控制体，流向长度为 $\mathrm dx$，顶面 DC 远高于边界层厚度 $\delta$，出纸面深度取单位长度。$\tau_w(x)$ 为平板上表面所受壁面剪应力。

(6) 应用质量守恒，用给定的排挤厚度 $\delta^*(x)=\int_0^\infty(1-u/U_\infty)\,\mathrm dy$ 表示每单位时间由顶面 DC 流出控制体的质量 $\dot m_{\mathrm{DC}}$。

(7) 应用动量守恒，用给定的动量厚度 $\theta(x)=\int_0^\infty(u/U_\infty)(1-u/U_\infty)\,\mathrm dy$ 表示 $\tau_w(x)$。

最后考虑图 2-3 两平板相对放置、间距为 $D$ 的情况，$D>2\delta(x)$。进入板间、尚未受平板影响的来流速度和压强分别为 $U_\infty,P_\infty$。

(8) 上下壁面边界层的发展使板间主流速度 $U(x)$ 增大。用同一位置的排挤厚度 $\delta^*(x)$、间距 $D$ 和未受影响的来流速度 $U_\infty$ 表示 $U(x)$。此后排挤厚度改为 $\delta^*(x)=\int_0^{D/2}[1-u/U(x)]\,\mathrm dy$。

(9) 用 $\delta^*(x),D,\rho,U_\infty,P_\infty$ 表示前缘起距离 $x$ 处的压强 $P(x)$。

(10) 取图 2-4 控制体，其底面 AB 接触下板上表面，顶面 DC 位于两板中心线，流向长 $\mathrm dx$，出纸面深度为单位长度。对其应用动量守恒，并利用 (8)、(9)，用 $\delta^*(x),\theta(x),D,\rho,U_\infty$ 表示壁面摩擦应力 $\tau_w(x)$。此处动量厚度按上式定义，积分上限为 $D/2$，速度分母均为 $U_\infty$。

Kai

(1)

$u=O(U_\infty)$、$\partial_x=O(x^{-1})$、$\partial_y=O(\delta^{-1})$。連続の式から $v=O(U_\infty\delta/x)$ である。

項	オーダー
$u_x,v_y$	$U_\infty/x$
$uu_x,vu_y$	$U_\infty^2/x$
$\nu u_{xx}$	$\nu U_\infty/x^2$
$\nu u_{yy}$	$\nu U_\infty/\delta^2$
$uv_x,vv_y$	$U_\infty^2\delta/x^2$
$\nu v_{xx}$	$\nu U_\infty\delta/x^3$
$\nu v_{yy}$	$\nu U_\infty/(x\delta)$

(2)

$\delta/x\ll1$ より $u_{xx}$ は $u_{yy}$ に対して無視できる。$y$ 方向の圧力変化も高次なので $p_y\simeq0$。外部一様流では $p_x=-\rho U_\infty U_\infty'=0$ であり、

$$\boxed{u_x+v_y=0,\qquad uu_x+vu_y=\nu u_{yy}}.$$

(3)

壁面では $u=v=0$ なので $u_{yy}(x,0)=0$。Taylor 展開と粘着条件から

$$u(x,y)=u_y(x,0)y+O(y^3)\simeq\frac{\tau_w(x)}{\rho\nu}y.$$

(4)

慣性項と粘性項の釣合い $U_\infty^2/x\sim\nu U_\infty/\delta^2$ より、

$$\boxed{\delta\sim\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}},\qquad \delta/x\sim\mathrm{Re}_x^{-1/2}}.$$

(5)

乱流では速度変動による壁垂直方向の運動量輸送が加わるため、壁面の影響が遠くまで及ぶ。同じ $x$ では一般に乱流境界層のほうが厚い。

(6)

境界層外に固定した高さ $h$ をとると、$\int_0^h u\,dy=U_\infty(h-\delta^*)$。質量保存則より上面の流出量は

$$\boxed{\begin{gathered} \dot m_{DC}=-\rho\frac{d}{dx}\int_0^h u\,dy\,dx\\ =\rho U_\infty\frac{d\delta^*}{dx}\,dx \end{gathered}}.$$

(7)

上面から流出する運動量 $U_\infty\dot m_{DC}$ を含めると、

$$-\tau_w\,dx=\rho\frac{d}{dx}\int_0^h u^2dy\,dx+U_\infty\dot m_{DC}.$$

したがって

$$\boxed{\tau_w=\rho\frac{d}{dx}\int_0^h u(U_\infty-u)dy =\rho U_\infty^2\frac{d\theta}{dx}}.$$

(8)

流量保存より $U_\infty D=U(x)[D-2\delta^*(x)]$。よって

$$\boxed{U(x)=\frac{DU_\infty}{D-2\delta^*(x)}}.$$

(9)

非粘性の中心部に Bernoulli の式を適用すると、

$$\boxed{P(x)=P_\infty+\frac{\rho U_\infty^2}{2} \left[1-\left(\frac{D}{D-2\delta^*(x)}\right)^2\right]}.$$

(10)

対称性から中心線で $v=0$ である。半流路の流量と運動量流束は、原題の $\theta$ の定義より

$$\begin{gathered} \int_0^{D/2}u\,dy=\frac{U_\infty D}{2},\\ M=\rho\int_0^{D/2}u^2dy=\rho U_\infty^2\left(\frac D2-\theta\right). \end{gathered}$$

$M'=-DP'/2-\tau_w$ であり、(9) より

$$P'=-\frac{2\rho U_\infty^2}{D}\frac{\delta^{*\prime}}{(1-2\delta^*/D)^3}.$$

したがって

$$\boxed{\tau_w=\rho U_\infty^2\left[ \frac{d\theta}{dx}+\frac{1}{(1-2\delta^*/D)^3}\frac{d\delta^*}{dx}\right]}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2020年度）
• SN の解答・解説