東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2019年8月実施 問題 2

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• Tokyo-University
• Boundary-Layer
• Control-Volume-Momentum
• Navier-Stokes-Equations

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

一様速度 $U_\infty$ の流れに平行な平板上の、定常・二次元・非圧縮性層流を考える。前縁からの距離を $x$、壁からの距離を $y$、速度を $(u,v)$、密度を $\rho$、動粘度を $\nu$ とする。境界層厚さ $\delta(x)$ は $x$ より十分小さい。

(1) 連続の式と二方向の Navier–Stokes 方程式の各項（圧力項を除く）の大きさを $\delta,x,U_\infty,\nu$ で評価せよ。

(2) 平板境界層の式 $u_x+v_y=0$、$uu_x+vu_y=\nu u_{yy}$ を導け。

(3) ごく壁面近傍で $u$ が $y$ の一次関数になることを示せ。(4) $\delta$ と $x$ の関係を求めよ。(5) 乱流へ遷移した場合の厚さを層流と比較し、理由を述べよ。

(6) 壁面から境界層外までの高さを持ち、$x$ 方向の長さ $dx$、奥行き 1 の検査体積をとる。上面 DC からの流出質量流量を

$$\delta^*(x)=\int_0^\infty\left(1-\frac{u}{U_\infty}\right)dy$$

で表せ。(7) 壁面せん断応力 $\tau_w$ を

$$\theta(x)=\int_0^\infty\frac{u}{U_\infty}\left(1-\frac{u}{U_\infty}\right)dy$$

で表せ。

続いて、間隔 $D>2\delta(x)$ の平行二平板間の助走流れを考える。入口の速度・圧力を $U_\infty,P_\infty$、非粘性の中心部を $U(x),P(x)$ とする。

(8) $\displaystyle\delta^*(x)=\int_0^{D/2}(1-u/U(x))dy$ を用いて $U(x)$ を求めよ。(9) $P(x)$ を求めよ。

(10) 下壁から中心線までの検査体積に運動量法則を適用し、$\tau_w$ を求めよ。ここで本問の定義は

$$\theta(x)=\int_0^{D/2}\frac{u}{U_\infty}\left(1-\frac{u}{U_\infty}\right)dy$$

である。

题目描述

对零压梯平板层流边界层作量级分析，推导边界层方程、近壁线性速度及厚度标度，并比较湍流厚度。利用位移厚度与动量厚度求控制体顶面的质量流率及壁面切应力。再考虑间距 $D$、两侧边界层尚未合并的平行板入口段，求核心速度和压力及壁面切应力。最后一问的位移厚度用局部核心速度 $U(x)$ 定义，而动量厚度按原题用入口速度 $U_\infty$ 定义。

Kai

(1)

$u=O(U_\infty)$、$\partial_x=O(x^{-1})$、$\partial_y=O(\delta^{-1})$。連続の式から $v=O(U_\infty\delta/x)$ である。

項	オーダー
$u_x,v_y$	$U_\infty/x$
$uu_x,vu_y$	$U_\infty^2/x$
$\nu u_{xx}$	$\nu U_\infty/x^2$
$\nu u_{yy}$	$\nu U_\infty/\delta^2$
$uv_x,vv_y$	$U_\infty^2\delta/x^2$
$\nu v_{xx}$	$\nu U_\infty\delta/x^3$
$\nu v_{yy}$	$\nu U_\infty/(x\delta)$

(2)

$\delta/x\ll1$ より $u_{xx}$ は $u_{yy}$ に対して無視できる。$y$ 方向の圧力変化も高次なので $p_y\simeq0$。外部一様流では $p_x=-\rho U_\infty U_\infty'=0$ であり、

$$\boxed{u_x+v_y=0,\qquad uu_x+vu_y=\nu u_{yy}}.$$

(3)

壁面では $u=v=0$ なので $u_{yy}(x,0)=0$。Taylor 展開と粘着条件から

$$u(x,y)=u_y(x,0)y+O(y^3)\simeq\frac{\tau_w(x)}{\rho\nu}y.$$

(4)

慣性項と粘性項の釣合い $U_\infty^2/x\sim\nu U_\infty/\delta^2$ より、

$$\boxed{\delta\sim\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}},\qquad \delta/x\sim\mathrm{Re}_x^{-1/2}}.$$

(5)

乱流では速度変動による壁垂直方向の運動量輸送が加わるため、壁面の影響が遠くまで及ぶ。同じ $x$ では一般に乱流境界層のほうが厚い。

(6)

境界層外に固定した高さ $h$ をとると、$\int_0^h u\,dy=U_\infty(h-\delta^*)$。質量保存則より上面の流出量は

$$\boxed{\dot m_{DC}=-\rho\frac{d}{dx}\int_0^h u\,dy\,dx =\rho U_\infty\frac{d\delta^*}{dx}\,dx}.$$

(7)

上面から流出する運動量 $U_\infty\dot m_{DC}$ を含めると、

$$-\tau_w\,dx=\rho\frac{d}{dx}\int_0^h u^2dy\,dx+U_\infty\dot m_{DC}.$$

したがって

$$\boxed{\tau_w=\rho\frac{d}{dx}\int_0^h u(U_\infty-u)dy =\rho U_\infty^2\frac{d\theta}{dx}}.$$

(8)

流量保存より $U_\infty D=U(x)[D-2\delta^*(x)]$。よって

$$\boxed{U(x)=\frac{DU_\infty}{D-2\delta^*(x)}}.$$

(9)

非粘性の中心部に Bernoulli の式を適用すると、

$$\boxed{P(x)=P_\infty+\frac{\rho U_\infty^2}{2} \left[1-\left(\frac{D}{D-2\delta^*(x)}\right)^2\right]}.$$

(10)

対称性から中心線で $v=0$ である。半流路の流量と運動量流束は、原題の $\theta$ の定義より

$$\int_0^{D/2}u\,dy=\frac{U_\infty D}{2},\qquad M=\rho\int_0^{D/2}u^2dy=\rho U_\infty^2\left(\frac D2-\theta\right).$$

$M'=-DP'/2-\tau_w$ であり、(9) より

$$P'=-\frac{2\rho U_\infty^2}{D}\frac{\delta^{*\prime}}{(1-2\delta^*/D)^3}.$$

したがって

$$\boxed{\tau_w=\rho U_\infty^2\left[ \frac{d\theta}{dx}+\frac{1}{(1-2\delta^*/D)^3}\frac{d\delta^*}{dx}\right]}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2020年度）
• SN の解答・解説