東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2020年度 機械工学第1部 問題1 II

标签：

• Tokyo-University
• Conduction-with-Heat-Generation

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

半径 $r$、長さ $l$、熱伝導率 $\lambda$ の細い金属線に一定電流 $I$ を流す。両端 $x=\pm l/2$ は $T_0$ に保たれ、断面内温度は一様、放射は無視する。断面積を $A=\pi r^2$ とすると、単位長さ当たりの発熱は $I^2\rho/A$ である。

1. 電気抵抗率が一定 $\rho_0$ で真空中にあるときの定常熱伝導方程式と $T(x)$ を求めよ。
2. 同じ抵抗率で、温度 $T_0$ の気体へ熱伝達率 $h$ で放熱するときの方程式を示せ。
3. $\rho(T)=\rho_0[1+\beta(T-T_0)]$（$\beta>0$）の場合に (2) の方程式を書き換えよ。
4. (3) の温度分布を求めよ。
5. 温度依存抵抗率の場合、真空中での $R=\int_{-l/2}^{l/2}\rho(T)\,dx/A$ を用い、$(R-R_0)/R_0$ を $\lambda$ の関数で表せ。ただし $R_0=\rho_0l/A$。

题目描述

细金属线通恒定电流，两端固定于 $T_0$，忽略径向温差及辐射。求恒定电阻率下的真空温度分布及有对流时的方程，再考虑电阻率线性依赖温度，求稳态解，并将真空中的相对电阻变化表示为热导率的函数。

Kai

$A=\pi r^2$、$P=2\pi r$、$\theta=T-T_0$ とおく。

(1)

単位長さの熱収支は $\lambda A T''+I^2\rho_0/A=0$。両端条件から

$$\boxed{T(x)=T_0+\frac{I^2\rho_0}{2\lambda A^2} \left(\frac{l^2}{4}-x^2\right)}.$$

(2)

$$\boxed{\lambda A T''+\frac{I^2\rho_0}{A}-hP(T-T_0)=0}.$$

(3)

$$\boxed{\theta''-b\theta=-a},\qquad a=\frac{I^2\rho_0}{\lambda A^2},\quad b=\frac{hP}{\lambda A}-a\beta, \qquad\theta(\pm l/2)=0.$$

(4)

対称性から奇関数の項はなく、

$$\boxed{\theta(x)= \begin{cases} \dfrac ab\left[1-\dfrac{\cosh(\sqrt b\,x)}{\cosh(\sqrt b\,l/2)}\right],&b>0,\\[6pt] \dfrac a2\left(\dfrac{l^2}4-x^2\right),&b=0,\\[6pt] \dfrac a{k^2}\left[\dfrac{\cos(kx)}{\cos(kl/2)}-1\right],&b=-k^2<0. \end{cases}}$$

$b<0$ の物理的な安定定常解には $kl<\pi$ が必要である。

(5)

真空では $h=0$ より $k=I\sqrt{\rho_0\beta/\lambda}/A$。したがって

$$\frac R{R_0}=\frac1l\int_{-l/2}^{l/2}[1+\beta\theta(x)]\,dx =\frac{\tan(kl/2)}{kl/2}.$$

$$\boxed{\frac{R-R_0}{R_0} =\frac{\tan\left(\dfrac{Il}{2\pi r^2}\sqrt{\dfrac{\rho_0\beta}{\lambda}}\right)} {\dfrac{Il}{2\pi r^2}\sqrt{\dfrac{\rho_0\beta}{\lambda}}}-1}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答