東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2019年8月実施 機械工学第1部 問題1 I

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• 东京大学
• 往复与多级压缩

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 1-1 に示す往復圧縮機について考える。この圧縮機は，圧力 $p_1$，温度 $T_1$ の気体を吸入して，圧縮後に圧力 $p_2$，温度 $T_2$ の気体を排出する（$p_1<p_2$）。シリンダの容積は，ピストンが上死点のとき $V_{\mathrm{TDC}}$，下死点のとき $V_{\mathrm{BDC}}$ であり，シリンダの内圧 $p$ が $p_1$ 以下では吸入弁が，$p_2$ 以上では排出弁が開いており，その他の条件ではどちらの弁も閉じているとする。また，全ての弁が閉じているときの作動流体の変化は可逆断熱過程であり，弁が開いている期間のシリンダ内の圧力は，弁とつながっているシリンダ外の空間の圧力と等しくなるとする。比熱比 $\kappa$，ガス定数 $R$ が一定の理想気体を作動流体として，以下の設問に答えよ。ただし，作動流体の熱力学的状態は，弁を通過する際には変化しない。また，作動流体の流体力学的損失および摩擦損失は無視する。

(1) この圧縮機の 1 サイクルの $p$–$V$ 線図を描き，気体の吸入，圧縮，排出に相当する過程を線図中に記入せよ。

(2) ピストンの行程容積に対する吸入容積の比（容積効率 $\eta$）を導出過程と共に示せ。

(3) 1 サイクルの作動に要する仕事量を，$V_{\mathrm{TDC}},V_{\mathrm{BDC}},p_1,p_2,\kappa,\eta$ を用いて，導出過程と共に示せ。

次に，図 1-2 に示すように，LPC，HPC から構成される二段ターボ型圧縮機を用いて，圧力 $p_1$，温度 $T_1$ の気体を圧力 $p_2$ まで昇圧することを考える。一段目の圧縮機 LPC に取り込まれた作動流体は，圧力 $p_x$ まで可逆断熱圧縮される。その後，作動流体は，熱交換器により温度 $T_1$ の熱浴に単位質量あたり熱量 $Q$ をわたして温度 $T_x$ まで冷やされる。この熱交換において，作動流体の圧力は一定である。最後に，作動流体は，二段目の圧縮機 HPC に流入して，圧力 $p_2$ まで可逆断熱圧縮される。LPC と HPC の仕事の和は最小化されている。比熱比 $\kappa$，ガス定数 $R$ が一定の理想気体を作動流体として，以下の設問に答えよ。ただし，作動流体の熱力学的状態は，圧縮機の出入口を通過する際には変化しない。また，作動流体の流体力学的損失および摩擦損失は無視する。

(4) 圧縮機 HPC 入口の気体の温度 $T_x$ を，導出過程と共に示せ。

(5) 圧縮機 HPC 入口の気体の圧力 $p_x$ と作動流体が熱交換器で熱交換した熱量 $Q$ を，それぞれ導出過程と共に示せ。

题目描述

图 1-1 的往复式压缩机吸入压强 $p_1$、温度 $T_1$ 的气体，压缩后以压强 $p_2$、温度 $T_2$ 排出，$p_1<p_2$。活塞在上、下止点时气缸容积分别为 $V_{\mathrm{TDC}},V_{\mathrm{BDC}}$。缸内压强 $p\le p_1$ 时吸气阀开启，$p\ge p_2$ 时排气阀开启，其他情况两阀均关闭。全阀关闭时工质经历可逆绝热变化；有阀开启时，缸内压强等于该阀连通的缸外空间压强。工质为比热比 $\kappa$、气体常数 $R$ 恒定的理想气体。工质通过阀时热力学状态不变，忽略流体动力学损失和摩擦损失。

(1) 画出一个循环的 $p$–$V$ 图，标明吸气、压缩和排气过程。

(2) 推导吸入容积与活塞行程容积之比，即容积效率 $\eta$，写出推导过程。

(3) 用 $V_{\mathrm{TDC}},V_{\mathrm{BDC}},p_1,p_2,\kappa,\eta$ 表示每循环所需功，并给出推导。

接着考虑图 1-2 由 LPC、HPC 组成的两级透平压缩机，将 $p_1,T_1$ 的气体压缩到 $p_2$。工质在第一级 LPC 可逆绝热压缩至 $p_x$，随后在换热器内向温度 $T_1$ 的热库释放单位质量热量 $Q$，冷却至 $T_x$，该换热过程压强恒定。最后进入第二级 HPC，可逆绝热压缩至 $p_2$。两级总功已最小化。工质仍为 $\kappa,R$ 恒定的理想气体，通过压缩机进出口时热力学状态不变，忽略流体动力学和摩擦损失。

(4) 求 HPC 入口温度 $T_x$，给出推导。

(5) 分别求 HPC 入口压强 $p_x$ 及换热器交换热量 $Q$，给出推导。

Kai

(1)

残留気体の再膨張 $A\to B$、吸入 $B\to C$、圧縮 $C\to D$、排出 $D\to A$ となる。

(2)

$r_p=p_2/p_1$ とおく。$A$ は $(V_{\rm TDC},p_2)$ なので、再膨張終了時の容積は

$$V_B=V_{\rm TDC}r_p^{1/\kappa}.$$

吸入容積は $V_{\rm BDC}-V_B$、行程容積は $V_{\rm BDC}-V_{\rm TDC}$。したがって

$$\boxed{\eta=\frac{V_{\rm BDC}-V_{\rm TDC}r_p^{1/\kappa}} {V_{\rm BDC}-V_{\rm TDC}}}.$$

(3)

1サイクルに圧送する質量は $m=p_1\eta(V_{\rm BDC}-V_{\rm TDC})/(RT_1)$。 $T_2/T_1=r_p^{(\kappa-1)/\kappa}$ より

$$\boxed{\begin{gathered} W=mc_p(T_2-T_1)\\ =\frac{\kappa p_1\eta(V_{\rm BDC}-V_{\rm TDC})}{\kappa-1} \left[r_p^{(\kappa-1)/\kappa}-1\right] \end{gathered}}.$$

(4)

$a=(\kappa-1)/\kappa$ とおく。単位質量当たりの仕事は

$$w=c_p\left[T_1\left\{\left(\frac{p_x}{p_1}\right)^a-1\right\} +T_x\left\{\left(\frac{p_2}{p_x}\right)^a-1\right\}\right].$$

$\partial w/\partial T_x>0$ なので、熱浴で実現できる最低温度まで冷却する。よって $\boxed{T_x=T_1}$。

(5)

$X=(p_x/p_1)^a$ とおくと $w/(c_pT_1)=X+r_p^a/X-2$。相加相乗平均から $X=r_p^{a/2}$ で最小となるため

$$\begin{gathered} \boxed{p_x=\sqrt{p_1p_2}},\\ \boxed{Q=\frac{\kappa RT_1}{\kappa-1} \left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(\kappa-1)/(2\kappa)}-1\right]}. \end{gathered}$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答