東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2020年度 機械工学第1部 問題1 I

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• Tokyo-University
• Reciprocating-and-Multistage-Compression

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

理想気体（比熱比 $\kappa$、気体定数 $R$）を $p_1,T_1$ で吸入し、$p_2>p_1$ で排出する往復圧縮機を考える。上死点・下死点の容積は $V_{\rm TDC},V_{\rm BDC}$。圧力 $p\le p_1$ で吸入弁、$p\ge p_2$ で排出弁が開く。両弁閉鎖時は可逆断熱変化、開弁時は接続空間と等圧で、弁通過時の状態変化や摩擦・流動損失はない。

1. $p$–$V$ 線図を描き、吸入・圧縮・排出を示せ。
2. 吸入容積と行程容積との比 $\eta$ を求めよ。
3. 1サイクルの所要仕事を $V_{\rm TDC},V_{\rm BDC},p_1,p_2,\kappa,\eta$ で表せ。

次に、二段の可逆断熱ターボ圧縮機で $p_1,T_1$ の気体を $p_2$ まで圧縮する。第一段出口圧力は $p_x$。段間熱交換器で、温度 $T_1$ の熱浴に単位質量当たり $Q$ を放出して、等圧で $T_x$ まで冷却する。合計所要仕事は最小となるように調整されている。

4. $T_x$ を求めよ。
5. $p_x,Q$ を求めよ。

题目描述

往复压缩机从 $p_1,T_1$ 吸气，压缩到 $p_2$ 排出；有余隙容积 $V_{\rm TDC}$，最大容积 $V_{\rm BDC}$。闭阀过程可逆绝热，开阀时等压。画示功图，求容积效率和循环功。再对带环境温度 $T_1$ 中间冷却的两级可逆绝热压缩机，求功最小时的中冷出口温度、中间压力及中冷放热量。

Kai

(1)

残留気体の再膨張 $A\to B$、吸入 $B\to C$、圧縮 $C\to D$、排出 $D\to A$ となる。

(2)

$r_p=p_2/p_1$ とおく。$A$ は $(V_{\rm TDC},p_2)$ なので、再膨張終了時の容積は

$$V_B=V_{\rm TDC}r_p^{1/\kappa}.$$

吸入容積は $V_{\rm BDC}-V_B$、行程容積は $V_{\rm BDC}-V_{\rm TDC}$。したがって

$$\boxed{\eta=\frac{V_{\rm BDC}-V_{\rm TDC}r_p^{1/\kappa}} {V_{\rm BDC}-V_{\rm TDC}}}.$$

(3)

1サイクルに圧送する質量は $m=p_1\eta(V_{\rm BDC}-V_{\rm TDC})/(RT_1)$。 $T_2/T_1=r_p^{(\kappa-1)/\kappa}$ より

$$\boxed{W=mc_p(T_2-T_1) =\frac{\kappa p_1\eta(V_{\rm BDC}-V_{\rm TDC})}{\kappa-1} \left[r_p^{(\kappa-1)/\kappa}-1\right]}.$$

(4)

$a=(\kappa-1)/\kappa$ とおく。単位質量当たりの仕事は

$$w=c_p\left[T_1\left\{\left(\frac{p_x}{p_1}\right)^a-1\right\} +T_x\left\{\left(\frac{p_2}{p_x}\right)^a-1\right\}\right].$$

$\partial w/\partial T_x>0$ なので、熱浴で実現できる最低温度まで冷却する。よって $\boxed{T_x=T_1}$。

(5)

$X=(p_x/p_1)^a$ とおくと $w/(c_pT_1)=X+r_p^a/X-2$。相加相乗平均から $X=r_p^{a/2}$ で最小となるため

$$\boxed{p_x=\sqrt{p_1p_2}},\qquad \boxed{Q=\frac{\kappa RT_1}{\kappa-1} \left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(\kappa-1)/(2\kappa)}-1\right]}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答