跳到主要内容

東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2020年度 機械工学第2部 問題 1

标签：

Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

I​

長さ LL、曲げ剛性 EIEI のはり AB の右端 B を固定する。左端 A を x=0x=0、B を x=Lx=L とし、x=ax=a に下向き荷重 PP が作用する。たわみ vv と断面の座標 yy は下向きを正とする。

  1. 曲げモーメント M(x)M(x) を求めよ。
  2. たわみ曲線 v(x)v(x) を求めよ。
  3. 断面が幅 bb、高さ hh の長方形であるとき、最大引張応力とその位置を求めよ。
  4. A を、自然長から始めるばね定数 kk の鉛直ばねで下から支える。ばね下端 D は床面上を水平移動でき、ばねは鉛直を保つ。上向き反力 RDR_D を用いて M(x)M(x) を表せ。
  5. RDR_D を求めよ。

II​

平均半径 RR、ピッチ角 α\alpha、素線直径 dd の円筒形コイルばねを、中心軸方向（yy 方向）の力 PP で引っ張る。zz が最大となる素線断面を考え、x,yx,y 軸を zz 軸まわりに α\alpha 回転した局所軸を ξ,η\xi,\eta、ζ=z\zeta=z とする。素線軸は ξ\xi。正の ξ\xi 面に働く力は +y+y 向きの PP、モーメントは +x+x 向きの PRPR。

  1. 力をせん断力 SS と軸力 NN に分解せよ。
  2. モーメントをねじり TT と曲げ MM に分解せよ。
  3. d/R≪1d/R\ll1 として S,NS,N による応力を無視する。断面の点 h（η=d/2\eta=d/2）と i（ζ=−d/2\zeta=-d/2）の σξξ,τξη,τξζ\sigma_{\xi\xi},\tau_{\xi\eta},\tau_{\xi\zeta} を、T,M,d,I,IpT,M,d,I,I_p で表せ。
  4. h、i の三つの主応力を求めよ。
  5. h、i、j（η=−d/2\eta=-d/2）、k（ζ=d/2\zeta=d/2）のうち、第1主応力が最大・最小となる点を答え、それぞれの理由を20字以内で述べよ。

構造・座標の模式図

题目描述​

I：右端 B 固定、长 LL 的梁，左端 A 为 x=0x=0，在 x=ax=a 受向下力 PP。求弯矩、挠度以及矩形截面最大拉应力与位置。再在 A 下方加刚度 kk 的竖直弹簧，求弯矩与支承反力。

II：平均半径 RR、螺旋角 α\alpha、线径 dd 的螺旋弹簧受轴向拉力 PP。将截面力和力矩分解到素线局部坐标，忽略直接轴力与剪力的应力，求指定边缘点应力、主应力以及第1主应力最大和最小的点。

Kai​

I​

(1) 正の曲げモーメントを下側引張りとすると

M(x)={00≤x≤a,−P(x−a)a≤x≤L.\boxed{M(x)=\begin{cases}0&0\le x\le a,\\-P(x-a)&a\le x\le L.\end{cases}}

(2) EIv′′=−MEI v''=-M に v(L)=v′(L)=0v(L)=v'(L)=0 と x=ax=a での連続条件を用いると

v(x)=P6EI{(L−a)2(2L+a−3x)0≤x≤a,(L−x)2(2L+x−3a)a≤x≤L.\boxed{v(x)=\frac{P}{6EI}\begin{cases} (L-a)^2(2L+a-3x)&0\le x\le a,\\ (L-x)^2(2L+x-3a)&a\le x\le L. \end{cases}}

(3) I=bh3/12I=bh^3/12、σx=M(x)y/I\sigma_x=M(x)y/I より

σmax⁡=6P(L−a)bh2,x=L, y=−h/2, −b/2≤z≤b/2.\boxed{\sigma_{\max}=\frac{6P(L-a)}{bh^2}},\qquad \boxed{x=L,\ y=-h/2,\ -b/2\le z\le b/2}.

(4) 重ね合わせにより

M(x)={RDx0≤x≤a,RDx−P(x−a)a≤x≤L.\boxed{M(x)=\begin{cases}R_Dx&0\le x\le a,\\R_Dx-P(x-a)&a\le x\le L.\end{cases}}

(5) A の下向き変位とばねの圧縮量を等置する。

RDk=P(L−a)2(2L+a)6EI−RDL33EI.\frac{R_D}{k}=\frac{P(L-a)^2(2L+a)}{6EI}-\frac{R_DL^3}{3EI}.

したがって

RD=kP(L−a)2(2L+a)6EI+2kL3.\boxed{R_D=\frac{kP(L-a)^2(2L+a)}{6EI+2kL^3}}.

II​

(1)・(2) 軸への射影より

S=Pcos⁡α,N=Psin⁡α,T=PRcos⁡α,M=PRsin⁡α.\boxed{S=P\cos\alpha,\quad N=P\sin\alpha,\quad T=PR\cos\alpha,\quad M=PR\sin\alpha}.

(3) +ξ+\xi 面では

σξξ=−MζI,τξη=−TζIp,τξζ=TηIp.\sigma_{\xi\xi}=-\frac{M\zeta}{I},\qquad \tau_{\xi\eta}=-\frac{T\zeta}{I_p},\qquad \tau_{\xi\zeta}=\frac{T\eta}{I_p}.

したがって

点σξξ\sigma_{\xi\xi}τξη\tau_{\xi\eta}τξζ\tau_{\xi\zeta}
h0000Td/(2Ip)Td/(2I_p)
iMd/(2I)Md/(2I)Td/(2Ip)Td/(2I_p)00

(4) s=Md/(2I)s=Md/(2I)、t=Td/(2Ip)t=Td/(2I_p) とおく。大きい順に

(σ1,σ2,σ3)h=(t,0,−t),\boxed{(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)_h=(t,0,-t)},
(σ1,σ2,σ3)i=(s2+s24+t2, 0, s2−s24+t2).\boxed{(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)_i= \left(\frac s2+\sqrt{\frac{s^2}{4}+t^2},\ 0,\ \frac s2-\sqrt{\frac{s^2}{4}+t^2}\right)}.

(5) 0<α<π/20<\alpha<\pi/2 では、最大は i、最小は k。

  • i：曲げ引張応力が最大だから。
  • k：曲げ圧縮応力が最大だから。

Reference​

本页目录