東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2019年8月実施 機械工学第2部 問題 1

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• 东京大学
• 梁的挠度
• 扭转
• 应力变换与主应力

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の I，II の両方について解答せよ。なお，I の解答には答案用紙 1 枚を，II の解答には答案用紙 1 枚を，それぞれ用いること。

I

図 1-1 の片端固定支持梁を考える。左端 A を $x$ 軸の原点 $x=0$ とし，梁の長さは $L$，梁の縦弾性係数は $E$ である。梁には，$x=a$ の C 点で荷重 $P$ が作用しており，右端 B は垂直な剛体壁に固定支持されている。梁は弾性変形状態にあると考え，以下の設問に答えよ。

(1) 位置 $x$ にある横断面に作用する曲げモーメント $M(x)$ を求めよ。

(2) 断面二次モーメントを $I$ とし，たわみ曲線 $v(x)$ を求めよ。

(3) 図 1-2 に示す通り，梁の横断面が矩形で高さが $h$，幅が $b$ である場合に，梁に発生する最大引張応力を $h,b,P,L,a$ により表せ。また最大引張応力が発生する位置を，$x,y,z$ 座標を用いて示せ。

次に，図 1-3 に示すように，梁の A 点（$x=0$）の位置を，ばね定数 $k$ のコイルばねで支持する。コイルばねは A 点で梁に接合されており，D 点で剛体床に支持され，横方向には自由に移動できる。剛体床からコイルばねに作用する力を $R_D$ とする。梁に荷重 $P$ が作用する前には，コイルばねは自然長であってコイルばねから梁に作用する力 $R_A$ は，$R_A=0$ である。コイルばねの中心線は剛体床に鉛直であり，梁に荷重 $P$ が作用した後も鉛直な状態を保つ。断面二次モーメントを $I$ とする。梁に荷重 $P$ が作用し，コイルばねと梁からなる系が平衡状態にある場合について，以下の設問に答えよ。

(4) 位置 $x$ にある横断面に作用する曲げモーメント $M(x)$ を，$P,x,a,R_D$ を用いて表せ。

(5) D 点での力 $R_D$ を，$k,E,I,P,L,a$ を用いて表せ。

II

図 1-4 に示すように平均半径 $R$，ピッチ角 $\alpha$ の円筒形コイルばねを考える。コイルばねの中心軸は $y$ 軸と平行であり，コイルばねには $y$ 軸方向の引張荷重 $P$ が働いている。素線は等方線形弾性体であり，断面は直径 $d$ の円形である。$z$ 座標が最大となる位置において素線に垂直な断面 A–A′ を図 1-4 のように定める。断面 A–A′ の位置における局所直交座標系として，$xyz$ 座標系から $xy$ 面内において $z$ 軸に関してピッチ角 $\alpha$ だけ回転した $\xi\eta\zeta$ 座標系を設定する。図 1-5 左は断面 A–A′ 周辺の拡大図，右は断面 A–A′ の断面図である。断面 A–A′ には $y$ 方向で大きさが $P$ の面力と，$x$ 方向で大きさが $PR$ の内力モーメントがかかる。図 1-5 右に示すように，断面 A–A′ 上において，点 h は $\eta$ が最大となる点，点 i は $\zeta$ が最小となる点，点 j は $\eta$ が最小となる点，点 k は $\zeta$ が最大となる点とする。以下の設問に答えよ。

(1) 断面 A–A′ に働く大きさ $P$ の面力は，大きさ $S$ のせん断力と大きさ $N$ の軸力に分解される。$S$ と $N$ を求めよ。

(2) 断面 A–A′ に働く大きさ $PR$ の内力モーメントは，大きさ $T$ のねじりモーメントと大きさ $M$ の曲げモーメントに分解される。$T$ と $M$ を求めよ。

以下の設問においては $d/R\ll1$ であり，$S,N$ により生じる応力は $T,M$ により生じる応力より十分小さいとして無視する。

(3) 断面 A–A′ 上の点 h および点 i における，垂直応力 $\sigma_{\xi\xi}$，せん断応力 $\tau_{\xi\eta},\tau_{\xi\zeta}$ を $T,M,d,I,I_P$ を用いて表せ。ここで $I$ は素線の断面二次モーメント，$I_P$ は断面二次極モーメントである。

(4) 点 h および点 i における第一，第二，第三主応力 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ を $T,M,d,I,I_P$ で表せ。

(5) 点 h，i，j，k のうち，第一主応力が最大と最小となる点を選べ。選んだ理由を 200 字以内で記せ。

题目描述

I、II 均须作答，分别使用一张答题纸。

I

图 1-1 为一端固支梁，以左端 A 为 $x=0$，梁长为 $L$，杨氏模量为 $E$。在 $x=a$ 的 C 点作用荷载 $P$，右端 B 固定于竖直刚壁，梁处于弹性变形状态。

(1) 求横截面位置 $x$ 处的弯矩 $M(x)$。

(2) 截面二次矩为 $I$，求挠曲线 $v(x)$。

(3) 梁截面如图 1-2，为高 $h$、宽 $b$ 的矩形。用 $h,b,P,L,a$ 表示最大拉应力，并以 $x,y,z$ 坐标表示其发生位置。

再如图 1-3，在 A 点以刚度 $k$ 的螺旋弹簧支撑。弹簧在 A 点与梁连接，在 D 点由刚性地面支撑，横向可自由移动。地面对弹簧的力为 $R_D$。施加荷载 $P$ 前，弹簧处于自然长度，对梁作用力 $R_A=0$。弹簧中心线垂直于地面，加载后仍保持竖直。梁截面二次矩为 $I$。施加 $P$ 后，弹簧与梁组成的系统处于平衡。

(4) 用 $P,x,a,R_D$ 表示横截面位置 $x$ 处的弯矩 $M(x)$。

(5) 用 $k,E,I,P,L,a$ 表示 D 点的力 $R_D$。

II

图 1-4 的圆柱螺旋弹簧平均半径为 $R$，螺旋角为 $\alpha$，中心轴平行于 $y$ 轴，承受沿 $y$ 轴的拉力 $P$。簧丝为各向同性线弹性体，截面为直径 $d$ 的圆。在 $z$ 坐标最大处，取垂直于簧丝的截面 A–A′。局部直角坐标 $\xi\eta\zeta$ 由 $xyz$ 坐标系绕 $z$ 轴在 $xy$ 平面内旋转角 $\alpha$ 得到。图 1-5 左为局部放大图，右为截面图。截面承受沿 $y$ 方向、大小 $P$ 的面力及沿 $x$ 方向、大小 $PR$ 的内力矩。截面上 h、i、j、k 分别为 $\eta$ 最大、$\zeta$ 最小、$\eta$ 最小、$\zeta$ 最大的点。

(1) 将面力 $P$ 分解为大小 $S$ 的剪力及大小 $N$ 的轴力，求 $S,N$。

(2) 将内力矩 $PR$ 分解为大小 $T$ 的扭矩及大小 $M$ 的弯矩，求 $T,M$。

以下各问取 $d/R\ll1$，忽略 $S,N$ 引起的应力，因为它们远小于 $T,M$ 引起的应力。

(3) 用 $T,M,d,I,I_P$ 表示 h、i 两点的正应力 $\sigma_{\xi\xi}$ 和剪应力 $\tau_{\xi\eta},\tau_{\xi\zeta}$。$I$ 为簧丝截面二次矩，$I_P$ 为截面极二次矩。

(4) 用 $T,M,d,I,I_P$ 表示 h、i 两点的第一、第二、第三主应力 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$。

(5) 在 h、i、j、k 中分别选出第一主应力最大和最小的点，并在 200 字以内说明理由。

Kai

I

(1)

正の曲げモーメントを下側引張りとすると

$$\boxed{M(x)=\begin{cases}0&0\le x\le a,\\-P(x-a)&a\le x\le L.\end{cases}}$$

(2)

$EI v''=-M$ に $v(L)=v'(L)=0$ と $x=a$ での連続条件を用いると

$$\boxed{v(x)=\frac{P}{6EI}\begin{cases} (L-a)^2(2L+a-3x)&0\le x\le a,\\ (L-x)^2(2L+x-3a)&a\le x\le L. \end{cases}}$$

(3)

$I=bh^3/12$、$\sigma_x=M(x)y/I$ より

$$\begin{gathered} \boxed{\sigma_{\max}=\frac{6P(L-a)}{bh^2}},\\ \boxed{x=L,\ y=-h/2,\ -b/2\le z\le b/2}. \end{gathered}$$

(4)

重ね合わせにより

$$\boxed{M(x)=\begin{cases}R_Dx&0\le x\le a,\\R_Dx-P(x-a)&a\le x\le L.\end{cases}}$$

(5)

A の下向き変位とばねの圧縮量を等置する。

$$\frac{R_D}{k}=\frac{P(L-a)^2(2L+a)}{6EI}-\frac{R_DL^3}{3EI}.$$

したがって

$$\boxed{R_D=\frac{kP(L-a)^2(2L+a)}{6EI+2kL^3}}.$$

II

(1)

軸への射影より

$$\boxed{S=P\cos\alpha,\qquad N=P\sin\alpha}.$$

(2)

$$\boxed{T=PR\cos\alpha,\qquad M=PR\sin\alpha}.$$

(3)

$+\xi$ 面では

$$\begin{gathered} \sigma_{\xi\xi}=-\frac{M\zeta}{I},\\ \tau_{\xi\eta}=-\frac{T\zeta}{I_p},\\ \tau_{\xi\zeta}=\frac{T\eta}{I_p}. \end{gathered}$$

したがって

点	$\sigma_{\xi\xi}$	$\tau_{\xi\eta}$	$\tau_{\xi\zeta}$
h	$0$	$0$	$Td/(2I_p)$
i	$Md/(2I)$	$Td/(2I_p)$	$0$

(4)

$s=Md/(2I)$、$t=Td/(2I_p)$ とおく。大きい順に

$$\boxed{(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)_h=(t,0,-t)},$$

$$\boxed{(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)_i= \left(\frac s2+\sqrt{\frac{s^2}{4}+t^2},\ 0,\ \frac s2-\sqrt{\frac{s^2}{4}+t^2}\right)}.$$

(5)

$0<\alpha<\pi/2$ では、最大は i、最小は k。

• i：曲げ引張応力が最大だから。
• k：曲げ圧縮応力が最大だから。

Reference

• 東京大学 公式問題（2020年度、第2部）
• SN：2020-I 材料力学
• SN：2020-II 材料力学