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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2018年8月実施 問題 2

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

図 2-1 に点線で示すような，側面が流管と一致する検査体積をとり，船に取り付けられたプロペラ周りの流れを考える。検査体積内の流れは一次元の定常・非圧縮性流れであり，損失の発生や重力の影響は無視できる。検査体積の入口，出口の圧力は等しく，検査体積の側面に働く力は無視できる。検査体積の入口からは，船速 V1V_1 と等しい速さで流れが流入し，質量流量は M˙\dot M である。プロペラにより加速された流れが検査体積の出口から V2V_2 の速さで流出する。以下の設問に答えよ。

図 2-1 船尾のプロペラと検査体積

(1) プロペラの推力を求めよ。

(2) 単位時間にプロペラが船に対して与えた仕事 W1W_1 を求めよ。

(3) 単位時間にプロペラが流体に対して与えた仕事 W2W_2 を求めよ。

(4) W2W_2 と W1W_1 の差 ΔW≡W2−W1\Delta W\equiv W_2-W_1 を求めよ。また，ΔW\Delta W が物理的に何を意味するかを説明せよ。

次に，損失の発生も考慮して，一定の角速度 ω\omega で回転するプロペラの周りの流れを考える。図 2-2 左に示すように，プロペラには 5 枚の同一の動翼が周方向に等ピッチで取り付けられている。同図右は代表半径 r0r_0 における円筒面内の流れと流体力との関係を示したものである。プロペラに流入する流れはプロペラの回転軸方向の流速成分のみを有し，回転軸に垂直な断面内一様であり，流入速度は V2V_2 と等しいものとする。簡単のために，動翼周りの流れは半径方向速度成分を持たず，1 枚の動翼に作用する流体力 FF は，次式により定義される，動翼の揚力係数 CLC_L，および抗力係数 CDC_D を用いて表されるものとする。

CL≡FL12ρU2S,CD≡FD12ρU2SC_L\equiv\frac{F_L}{\frac12\rho U^2S},\qquad C_D\equiv\frac{F_D}{\frac12\rho U^2S}

ここに，UU は代表半径 r0r_0 において動翼に流入する流れの相対速度の大きさを表し，FLF_L および FDF_D は，1 枚の動翼に作用する流体力 FF の，相対速度 UU に垂直な成分（揚力），および平行な成分（抗力）をそれぞれ表す。また，ρ\rho は流体の密度，SS は 1 枚の動翼の代表面積をそれぞれ表す。1 枚の動翼に作用するトルクは上記の流体力が代表半径 r0r_0 において作用しているものとして計算できるものとする。以下の設問に答えよ。

図 2-2 左：5 枚の動翼と代表半径

図 2-2 右：動翼の流体力と速度三角形

(5) プロペラの推力 FPF_P，およびトルク TPT_P を揚力係数 CLC_L，抗力係数 CDC_D，および必要な変数を用いて表せ。

(6) プロペラが単位時間に船に対して与える仕事をプロペラの単位時間の仕事で割った値をプロペラ効率 η\eta と定義する。η\eta を揚力係数 CLC_L，抗力係数 CDC_D，および必要な変数を用いて表せ。

(7) 設問 (1) から設問 (6) の結果に基づき，同一の船速で，プロペラの推力を変えずに，プロペラ効率を向上させる方法を 2 つ挙げよ。

题目描述​

取图 2-1 虚线所示、侧面与流管重合的控制体，考虑船用螺旋桨周围的流动。控制体内为一维稳态不可压缩流，可忽略损失和重力。入口与出口压强相等，忽略侧面受力。流体以等于船速 V1V_1 的速度流入，质量流量为 M˙\dot M；经螺旋桨加速后，以速度 V2V_2 流出。

(1) 求螺旋桨推力。

(2) 求螺旋桨单位时间对船做的功 W1W_1。

(3) 求螺旋桨单位时间对流体做的功 W2W_2。

(4) 求 ΔW≡W2−W1\Delta W\equiv W_2-W_1，并解释其物理意义。

接下来考虑损失，螺旋桨以恒定角速度 ω\omega 旋转。图 2-2 左侧所示的 5 片相同叶片沿周向等间距布置；右侧表示特征半径 r0r_0 处圆柱面内流动与流体力的关系。入流只有轴向速度分量，在垂直转轴的截面内均匀，流入速度等于 V2V_2。为简化，叶片周围流动没有径向速度分量。单片叶片受力 FF 用上述定义的升力系数 CLC_L、阻力系数 CDC_D 表示：UU 为半径 r0r_0 处入流相对速度大小，FL,FDF_L,F_D 分别为 FF 垂直和平行于相对速度 UU 的分量，即升力和阻力；ρ\rho 为流体密度，SS 为单片叶片特征面积。计算叶片转矩时，可视流体力集中作用于 r0r_0 处。

(5) 用 CL,CDC_L,C_D 及所需变量表示螺旋桨推力 FPF_P 与转矩 TPT_P。

(6) 定义螺旋桨效率 η\eta 为其单位时间对船做功除以螺旋桨单位时间的功。用 CL,CDC_L,C_D 及所需变量表示 η\eta。

(7) 根据 (1)–(6)，提出两种在船速相同且推力不变时提高螺旋桨效率的方法。

Kai​

(1)​

運動量保存則より推力の大きさは

F=M˙(V2−V1).\boxed{F=\dot M(V_2-V_1)}.

(2)​

したがって

W1=FV1=M˙V1(V2−V1).\boxed{W_1=FV_1=\dot M V_1(V_2-V_1)}.

(3)​

W2=12M˙(V22−V12).\boxed{W_2=\frac12\dot M(V_2^2-V_1^2)}.

(4)​

両者の差は

ΔW=12M˙(V2−V1)2.\boxed{\Delta W=\frac12\dot M(V_2-V_1)^2}.

これは静止水に対する後流の運動エネルギー流束であり、有効な船の推進仕事にならないエネルギーである。

(5)​

w=r0ωw=r_0\omega とおく。翼 1 枚の推進方向の力は FLw/U−FDV2/UF_Lw/U-F_DV_2/U、回転抵抗方向の力は FLV2/U+FDw/UF_LV_2/U+F_Dw/U。よって

FP=52ρUS(CLw−CDV2),\boxed{F_P=\frac52\rho US(C_Lw-C_DV_2)},
TP=52ρr0US(CLV2+CDw).\boxed{T_P=\frac52\rho r_0US(C_LV_2+C_Dw)}.

(6)​

η=FPV1TPω=V1(CLw−CDV2)w(CLV2+CDw).\boxed{\eta=\frac{F_PV_1}{T_P\omega} =\frac{V_1(C_Lw-C_DV_2)}{w(C_LV_2+C_Dw)}}.

(7)​

  1. プロペラ径を大きくして通過質量流量を増やし、同じ推力を小さい速度増加で得る。ΔW=F2/(2M˙)\Delta W=F^2/(2\dot M) が減少する。
  2. 翼形・迎角や表面状態を改善して揚抗比 CL/CDC_L/C_D を高める。翼面積などを調整して同じ推力を保つと、必要トルクを小さくできる。

Reference​

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