東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2018年8月実施 問題 2

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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

船に固定した座標でプロペラを通る流管を考える。入口・出口の圧力は等しく、側面に働く力、重力、損失を無視する。定常非圧縮一次元流れであり、質量流量は $\dot M$、入口速度は船速に等しい $V_1$、出口速度は $V_2$ である。

(1) 推力を求めよ。(2) 船への仕事率 $W_1$ を求めよ。(3) 流体への仕事率 $W_2$ を求めよ。(4) $\Delta W=W_2-W_1$ とその意味を述べよ。

次に損失のあるプロペラを考える。同一の 5 枚の動翼が角速度 $\omega$ で回転する。代表半径 $r_0$ での翼への軸方向流入速度は $V_2$、相対速度の大きさは $U=\sqrt{V_2^2+(r_0\omega)^2}$ とする。半径方向の速度は零。翼 1 枚の面積を $S$、密度を $\rho$ とし、揚力・抗力を

$$F_L=\tfrac12\rho U^2SC_L,\qquad F_D=\tfrac12\rho U^2SC_D$$

と定義する。揚力は相対流に垂直、抗力は相対流に平行である。翼のトルクは全流体力が $r_0$ に作用するとして計算する。

(5) 推力 $F_P$、必要軸トルク $T_P$ を求めよ。(6) 船への仕事率を軸動力で割った効率 $\eta$ を求めよ。(7) 船速と推力を維持しながら効率を高める方法を二つ挙げよ。

题目描述

先用理想流管模型求船舶螺旋桨的推力、对船及流体的功率和尾流能量损失。再考虑含阻力的五叶片模型，给定代表半径 $r_0$、转速 $\omega$、轴向流速 $V_2$、单叶面积 $S$ 及升阻力系数，求推力、轴转矩和推进效率，并说明保持船速及推力时提高效率的两种办法。

Kai

(1)–(4)

運動量保存則より推力の大きさは

$$\boxed{F=\dot M(V_2-V_1)}.$$

したがって

$$\boxed{W_1=FV_1=\dot M V_1(V_2-V_1)},\qquad \boxed{W_2=\frac12\dot M(V_2^2-V_1^2)}.$$

両者の差は

$$\boxed{\Delta W=\frac12\dot M(V_2-V_1)^2}.$$

これは静止水に対する後流の運動エネルギー流束であり、有効な船の推進仕事にならないエネルギーである。

(5)

$w=r_0\omega$ とおく。翼 1 枚の推進方向の力は $F_Lw/U-F_DV_2/U$、回転抵抗方向の力は $F_LV_2/U+F_Dw/U$。よって

$$\boxed{F_P=\frac52\rho US(C_Lw-C_DV_2)},$$

$$\boxed{T_P=\frac52\rho r_0US(C_LV_2+C_Dw)}.$$

(6)

$$\boxed{\eta=\frac{F_PV_1}{T_P\omega} =\frac{V_1(C_Lw-C_DV_2)}{w(C_LV_2+C_Dw)}}.$$

(7)

1. プロペラ径を大きくして通過質量流量を増やし、同じ推力を小さい速度増加で得る。$\Delta W=F^2/(2\dot M)$ が減少する。
2. 翼形・迎角や表面状態を改善して揚抗比 $C_L/C_D$ を高める。翼面積などを調整して同じ推力を保つと、必要トルクを小さくできる。

Reference

• 東京大学 公式過去問（2019年度）
• SN の解答・解説