東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 機械工学第1部 問題1 II

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

液体と気体との間の定常の熱交換の問題を考える。図 1-2 に示すように厚さ $d$ の金属板で高温（$T_L$）の液体と低温（$T_G$）の気体が隔離されている。液体から気体への熱通過を促進するために，気体側には半径 $R$，長さ $L$ の円柱形のフィンが取り付けられている。また，金属板の厚み方向の温度分布を考え，それに垂直な面内方向の温度分布は無視できるとする。金属板とフィンは熱伝導率 $\lambda$ の同じ材料を融着したものである。ここで，フィン根本の中心を原点 O としてフィンの長さ方向に $x$ 座標を定義する。液体側の熱伝達率を $h_L$，気体側の熱伝達率を $h_G$，金属板の液体側の面積を $A$ とする。また，フィン先端からの熱伝達は無視できる（断熱）とし，円柱の $x$ 軸に垂直な断面内の温度は一様と仮定する。以下の設問に答えよ。

(1) フィンの軸方向の温度分布を求める。図 1-3 に示す微小長さ $\mathrm dx$ の検査体積の熱バランスを示せ。また，フーリエの式を用いてフィンの軸方向の 1 次元温度分布 $T(x)$ を求める微分方程式を導出せよ。

(2) フィンの軸方向の温度分布を求めよ。ただし，フィン根本温度を $T_0$ とする。

(3) フィン表面からの放熱量 $Q_f$ を求めよ。また，以下の比によって定義されるフィン効率 $\eta$ を求めよ。

$$\eta=\frac{Q_f}{Q_{f,\mathrm{ideal}}}$$

ここで，$Q_{f,\mathrm{ideal}}$ は，フィン全面の表面温度が根本の温度 $T_0$ と等しいときのフィン全面からの放熱量である。

(4) フィンがないシンプルな場合について，液体から気体への熱通過率 $K$ を $A,h_L,h_G,d,\lambda$ を用いて表せ。ただし，液体から気体への伝熱量 $Q$ を用いて，熱通過率 $K$ は $Q=K(T_L-T_G)$ として定義される。また，熱通過率 $K$ の逆数である総括熱抵抗 $R_t=1/K$ をいくつかの熱抵抗の和として表せ。

(5) 図 1-2 のようにフィンがある場合には，金属板から気体への伝熱はフィン根本以外の面積 $A_0$ からの伝熱とフィン表面の面積 $A_f$ からの伝熱 $Q_f$ の和として表される。フィンがある場合の総括熱抵抗 $R_t$ を求めよ。また，設問 (3) のフィン効率 $\eta$ が実用的なフィンの設計に用いられる理由について記述せよ。

题目描述

考虑液体与气体间的稳态换热。图 1-2 中，厚 $d$ 的金属板将高温 $T_L$ 的液体与低温 $T_G$ 的气体隔开。为促进传热，在气体侧安装半径 $R$、长 $L$ 的圆柱翅片。金属板只考虑厚度方向温度分布，忽略板面内的温度变化。板和翅片由导热系数同为 $\lambda$ 的相同材料熔接而成。以翅片根部中心 O 为原点，沿其长度定义 $x$ 轴。液体侧、气体侧换热系数分别为 $h_L,h_G$，金属板液体侧面积为 $A$。忽略翅片末端换热，即末端绝热；假设垂直于 $x$ 轴的截面内温度均匀。

(1) 为求轴向温度分布，写出图 1-3 所示长 $\mathrm dx$ 的微元控制体热平衡，并结合傅里叶定律，推导一维轴向温度 $T(x)$ 的微分方程。

(2) 翅片根部温度为 $T_0$，求轴向温度分布。

(3) 求翅片表面散热量 $Q_f$，以及效率 $\eta=Q_f/Q_{f,\mathrm{ideal}}$。其中 $Q_{f,\mathrm{ideal}}$ 表示翅片整个表面均保持根部温度 $T_0$ 时的总散热量。

(4) 无翅片时，用 $A,h_L,h_G,d,\lambda$ 表示液体至气体的传热系数 $K$，此处以总传热量 $Q=K(T_L-T_G)$ 定义 $K$。再将总热阻 $R_t=1/K$ 表示成各部分热阻之和。

(5) 有翅片时，金属板至气体的传热由根部以外面积 $A_0$ 上的传热与表面积 $A_f$ 的翅片传热 $Q_f$ 相加。求总热阻 $R_t$，并说明为什么实际翅片设计采用 (3) 定义的翅片效率。

Kai

(1)

断面積 $A_c=\pi R^2$、周長 $P=2\pi R$ とする。$Q_x=-\lambda A_cT'$ より

$$\begin{gathered} Q_x-Q_{x+dx}-h_GP(T-T_G)dx=0,\\ \boxed{T''-m^2(T-T_G)=0},\\ m^2=\frac{2h_G}{\lambda R}. \end{gathered}$$

(2)

$T(0)=T_0,T'(L)=0$ を用いて

$$\boxed{T(x)=T_G+(T_0-T_G)\frac{\cosh[m(L-x)]}{\cosh(mL)}}.$$

(3)

$$\boxed{\begin{gathered} Q_f=-\lambda A_cT'(0)\\ =\lambda\pi R^2m(T_0-T_G)\tanh(mL) \end{gathered}}.$$

$A_f=2\pi RL$、$Q_{f,\mathrm{ideal}}=h_GA_f(T_0-T_G)$ なので

$$\boxed{\eta=\frac{\tanh(mL)}{mL}}.$$

(4)

$$\begin{gathered} \boxed{R_t=\frac1{h_LA}+\frac d{\lambda A}+\frac1{h_GA}},\\ \boxed{K=R_t^{-1}}. \end{gathered}$$

(5)

板面とフィンの放熱経路は並列で、気体側の熱コンダクタンスは $h_G(A_0+\eta A_f)$。よって

$$\begin{gathered} \boxed{R_t=\frac1{h_LA}+\frac d{\lambda A} +\frac1{h_G(A_0+\eta A_f)}},\\ A_0=A-\pi R^2. \end{gathered}$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答