東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2019年度 機械工学第1部 問題1 II

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• Tokyo-University
• Fins-and-Thermal-Resistance

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

温度 $T_L$ の液体と $T_G$ の気体を、厚さ $d$、面積 $A$、熱伝導率 $\lambda$ の金属板で隔てる。気体側に同材料の半径 $R$、長さ $L$ の円柱フィンを1本設ける。液体・気体の熱伝達率は $h_L,h_G$。板面内温度差とフィン断面内温度差を無視し、フィン先端は断熱。フィン根元を $x=0$、根元温度を $T_0$ とする。

1. フィン微小区間の熱収支と温度の微分方程式を示せ。
2. $T(x)$ を求めよ。
3. フィン放熱量 $Q_f$ と、全フィンが $T_0$ の場合に対する効率 $\eta$ を求めよ。
4. フィンがないとき、$Q=K(T_L-T_G)$ で定義する熱通過率 $K$ と全熱抵抗 $R_t=1/K$ を求めよ。
5. フィンがあるときの全熱抵抗を、根元以外の露出板面積 $A_0$ とフィン側面積 $A_f$ を用いて表せ。

题目描述

高温液体和低温气体隔着金属板换热，气体侧设一根末端绝热的圆柱翅片。求翅片能量方程、温度分布、散热量与效率，再求无翅片和有翅片时从液体到气体的总热阻。

Kai

(1)

断面積 $A_c=\pi R^2$、周長 $P=2\pi R$ とする。$Q_x=-\lambda A_cT'$ より

$$Q_x-Q_{x+dx}-h_GP(T-T_G)dx=0, \qquad \boxed{T''-m^2(T-T_G)=0},\quad m^2=\frac{2h_G}{\lambda R}.$$

(2)

$T(0)=T_0,T'(L)=0$ を用いて

$$\boxed{T(x)=T_G+(T_0-T_G)\frac{\cosh[m(L-x)]}{\cosh(mL)}}.$$

(3)

$$\boxed{Q_f=-\lambda A_cT'(0) =\lambda\pi R^2m(T_0-T_G)\tanh(mL)}.$$

$A_f=2\pi RL$、$Q_{f,\mathrm{ideal}}=h_GA_f(T_0-T_G)$ なので

$$\boxed{\eta=\frac{\tanh(mL)}{mL}}.$$

(4)

$$\boxed{R_t=\frac1{h_LA}+\frac d{\lambda A}+\frac1{h_GA}}, \qquad\boxed{K=R_t^{-1}}.$$

(5)

板面とフィンの放熱経路は並列で、気体側の熱コンダクタンスは $h_G(A_0+\eta A_f)$。よって

$$\boxed{R_t=\frac1{h_LA}+\frac d{\lambda A} +\frac1{h_G(A_0+\eta A_f)}},\qquad A_0=A-\pi R^2.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答