東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2019年度 機械工学第2部 問題 1

标签：

• Tokyo-University
• Truss
• Strain-Energy
• Fracture-Mechanics

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

I

鉛直な剛体壁上の A、B と右側の C を二本の棒で結ぶ。棒1は水平な AC、長さ $L$、断面積 $A_1$、ヤング率 $E_1$。棒2は BC で、棒1と棒2の C での角度は $\theta$、断面積 $A_2$、ヤング率 $E_2$。各節点はピン接合で、C に鉛直下向き荷重 $P$ を加える。変形は微小、座屈・重力・摩擦を無視する。

1. 引張りを正として、両棒の軸力を求めよ。
2. 棒2の材料破壊が支配するとする。B の位置と $A_2$ を変更し、耐荷重を一定に保つとき、棒2を最も軽くする $\theta$ を求めよ。
3. 各棒の弾性ひずみエネルギーを求めよ。
4. C の下向き変位を求めよ。

II

等方線形弾性の薄膜（ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$）の面内応力を $\sigma_x,\sigma_y$、ひずみを $\varepsilon_x,\varepsilon_y$ とする。初期無応力状態を S0 とし、以下の各状態を考える。変形は微小で平面応力とする。

1. S1：$\sigma_x=\sigma_0,\sigma_y=0$。各ひずみとひずみエネルギー密度 $u_1$ を求めよ。
2. S2：$\varepsilon_y=0$ を保ち $\sigma_x=\sigma_0$。$\varepsilon_x,\sigma_y,u_2$ を求めよ。
3. S3：$\sigma_x=\sigma_y=\sigma_0$。共通ひずみ $\varepsilon_3$ と $u_3$ を求めよ。
4. S3 から $\varepsilon_y=\varepsilon_3$ を保ち $\sigma_x$ をゼロにして S4 とする。$\sigma_{y4}$ と解放エネルギー密度 $\Delta u$ を求めよ。
5. 基板上の厚さ $h$、長さ $L_x,L_y$ の薄膜が S3 にあり、$x$ 方向の端から長さ $a$ だけ剥離する。剥離部が S4 になる近似の下、単位剥離面積あたりのエネルギー解放率を求めよ。$h/L_x,h/L_y\ll1$ とし、厚さ方向の応力変化を無視する。

题目描述

I：水平杆 AC 长 $L$，斜杆 BC 与其在 C 的夹角为 $\theta$，壁上 A、B 及 C 均为铰接，C 受向下力 $P$。求轴力、保证同样承载力时使斜杆最轻的角度、两杆应变能和 C 位移，忽略屈曲。

II：薄膜在单轴应力、横向约束、等双轴应力及保持横向应变并卸去纵向应力四种状态下，求应力、应变和能量密度；再求厚 $h$ 的等双轴受拉薄膜从边缘剥离时的单位面积能量释放率。

Kai

I

(1) C のつり合い $N_1+N_2\cos\theta=0$、$N_2\sin\theta+P=0$ より

$$\boxed{N_1=P\cot\theta,\qquad N_2=-\frac{P}{\sin\theta}}.$$

(2) 棒2の許容圧縮応力を $\sigma_b$ とすれば、所要断面積は $A_2=P/(\sigma_b\sin\theta)$。体積は

$$V_2=\frac{PL}{\sigma_b\sin\theta\cos\theta}=\frac{2PL}{\sigma_b\sin2\theta}.$$

したがって $\sin2\theta$ が最大となる $\boxed{\theta=\pi/4}$。

(3) $U=N^2l/(2EA)$ より

$$\boxed{U^{(1)}=\frac{P^2L\cot^2\theta}{2E_1A_1}},\qquad \boxed{U^{(2)}=\frac{P^2L}{2E_2A_2\sin^2\theta\cos\theta}}.$$

(4) カスティリアノの定理より

$$\boxed{\delta_y=\frac{\partial(U^{(1)}+U^{(2)})}{\partial P} =\frac{PL\cot^2\theta}{E_1A_1}+\frac{PL}{E_2A_2\sin^2\theta\cos\theta}}.$$

II

平面応力の構成式とエネルギー密度は

$$\varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E},\quad \varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E},\quad u=\frac12(\sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y).$$

(1) $\boxed{\varepsilon_{x1}=\sigma_0/E,\quad\varepsilon_{y1}=-\nu\sigma_0/E,\quad u_1=\sigma_0^2/(2E)}$。

(2) $\varepsilon_y=0$ より $\sigma_y=\nu\sigma_0$。よって

$$\boxed{\varepsilon_{x2}=\frac{(1-\nu^2)\sigma_0}{E},\quad\sigma_{y2}=\nu\sigma_0,\quad u_2=\frac{(1-\nu^2)\sigma_0^2}{2E}}.$$

(3) $\boxed{\varepsilon_3=(1-\nu)\sigma_0/E,\quad u_3=(1-\nu)\sigma_0^2/E}$。

(4) $\sigma_{x4}=0$、$\varepsilon_{y4}=\varepsilon_3$ より

$$\boxed{\sigma_{y4}=(1-\nu)\sigma_0},\qquad u_4=\frac{(1-\nu)^2\sigma_0^2}{2E}.$$

したがって

$$\boxed{\Delta u=u_3-u_4=\frac{(1-\nu^2)\sigma_0^2}{2E}}.$$

(5) 剥離体積は $ahL_y$、剥離面積は $aL_y$。したがって

$$\boxed{G=h\Delta u=\frac{(1-\nu^2)\sigma_0^2h}{2E}}.$$

Reference

• 東京大学 公式問題（2019年度、第2部）
• SN：H31-I 材料力学
• SN：H31-II 材料力学