東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 機械工学第2部 問題 1

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• 东京大学
• 桁架
• 应变能
• 断裂力学

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の I，II の両方について解答せよ。なお，I の解答に答案用紙 1 枚を，II の解答に答案用紙 1 枚を，それぞれ用いること。

I

図 1-1 に示す平面トラス構造を考える。A 点で真直な部材 1 が，B 点で真直な部材 2 が，鉛直な剛体壁に回転自由な状態でピン接合されており，部材 1 と部材 2 は，C 点で回転自由な状態でピン接合されている。部材 1 は剛体壁に垂直であり，A 点と C 点との距離は $L$ である。部材 1 と部材 2 が C 点でなす角度を $\theta$ とする。この初期状態から，C 点に鉛直下向きに大きさ $P$ の荷重をかける場合について，以下の設問に答えよ。ただし，部材 1 の断面積を $A_1$，ヤング率を $E_1$，部材 2 の断面積を $A_2$，ヤング率を $E_2$ とする。変形は微小で部材は座屈しないと考え，重力や摩擦の影響は無視せよ。

(1) 部材 1 と部材 2 に生じる軸力を，$P$ と $\theta$ を用い表せ。軸力は引張りを正とする。

(2) トラス構造は部材 2 から破壊するものとする。部材 2 が剛体壁にピン接合されている B 点の位置と，断面積 $A_2$ を変える場合を考える。トラス構造の耐荷重が一定である条件のもとで，部材 2 を最も軽くできる角度 $\theta$ を求めよ。

(3) 部材 1 と部材 2 に生じる弾性ひずみエネルギー $U^{(1)}$ と $U^{(2)}$ を，$P,L,\theta,A_1,A_2,E_1,E_2$ で表せ。

(4) C 点の鉛直下向きの変位 $\delta_y$ を求めよ。

II

図 1-2 のように $xy$ 平面に平行に配置された薄膜を考える。薄膜の $x,y$ 方向の長さは，厚さに比して十分に大きいとする。薄膜は等方線形弾性体として扱うことができ，薄膜のヤング率を $E$，ポアソン比を $\nu$ とする。重力の影響は無視する。薄膜に外力が負荷されず応力がゼロとなっている初期状態を $S_0$ とする。$x,y$ 方向の垂直ひずみをそれぞれ $\varepsilon_x,\varepsilon_y$，垂直応力をそれぞれ $\sigma_x,\sigma_y$ で表す。変形は十分小であるとする。以下の設問に答えよ。

(1) 状態 $S_0$ より，$x$ 方向に引張り応力を $\sigma_x=\sigma_0$ となるまで徐々に負荷し，状態 $S_1$ とした。この際，$y$ 方向のひずみは拘束せず，$\sigma_y=0$ とした。状態 $S_1$ における $x,y$ 方向の垂直ひずみ $\varepsilon_{x1},\varepsilon_{y1}$ と，薄膜に蓄えられるひずみエネルギー密度（単位体積当たりのひずみエネルギー）$u_1$ を求めよ。

(2) 状態 $S_0$ より，$y$ 方向のひずみ拘束（$\varepsilon_y=0$）のもとで，$x$ 方向に引張り応力を $\sigma_x=\sigma_0$ となるまで徐々に負荷し，状態 $S_2$ とした。状態 $S_2$ における $x$ 方向の垂直ひずみ $\varepsilon_{x2}$，$y$ 方向垂直応力 $\sigma_{y2}$，薄膜に蓄えられるひずみエネルギー密度 $u_2$ を求めよ。

(3) 状態 $S_0$ より，$x,y$ 方向に等しい引張り応力を $\sigma_x=\sigma_y=\sigma_0$ となるまで徐々に負荷し，状態 $S_3$ とした。状態 $S_3$ における $x$ および $y$ 方向の垂直ひずみ $\varepsilon_3$ と，薄膜に蓄えられるひずみエネルギー密度 $u_3$ を求めよ。

(4) 状態 $S_3$ より，$y$ 方向のひずみを維持したまま（$\varepsilon_y=\varepsilon_3$），$x$ 方向垂直応力を徐々に減少させ $\sigma_x=0$ とした。これを状態 $S_4$ とする。状態 $S_4$ における $y$ 方向垂直応力 $\sigma_{y4}$ と，状態 $S_3$ から $S_4$ に至るまでの間に解放される薄膜のひずみエネルギー密度 $\Delta u$ を求めよ。

(5) 基板上に接着された二軸引張り状態（$\sigma_x=\sigma_y=\sigma_0$）にある薄膜（厚さ $h$）が，図 1-3 のように端部から長さ $a$ だけ剥離したときの薄膜のひずみエネルギー解放量を考える。設問 (4) で求めた $\Delta u$ を用いて，剥離面積あたりのひずみエネルギー解放量（エネルギー解放率）を見積もれ。薄膜は十分に薄く（$h/L_x\ll1,\ h/L_y\ll1$），応力の $z$ 方向の変化は無視できるものとする。

题目描述

I、II 均须作答，分别使用一张答题纸。

I

图 1-1 为平面桁架。直杆 1、2 分别在 A、B 点与竖直刚壁铰接，并在 C 点彼此铰接，所有铰均可自由转动。杆 1 垂直于刚壁，$AC=L$，两杆在 C 点夹角为 $\theta$。从此初始状态开始，在 C 点施加大小为 $P$ 的竖直向下荷载。两杆截面积、杨氏模量分别为 $A_1,E_1$ 与 $A_2,E_2$。假设变形微小、杆件不屈曲，忽略重力和摩擦。

(1) 用 $P,\theta$ 表示两杆轴力，拉伸为正。

(2) 假设桁架从杆 2 开始破坏。改变其与刚壁铰接的 B 点位置以及截面积 $A_2$，在桁架承载力保持不变的条件下，求使杆 2 最轻的角度 $\theta$。

(3) 用 $P,L,\theta,A_1,A_2,E_1,E_2$ 表示两杆弹性应变能 $U^{(1)},U^{(2)}$。

(4) 求 C 点竖直向下位移 $\delta_y$。

II

图 1-2 的薄膜平行于 $xy$ 平面，$x,y$ 方向长度均远大于厚度。薄膜为各向同性线弹性体，杨氏模量为 $E$，泊松比为 $\nu$。忽略重力，初始无外力、应力为零的状态记作 $S_0$。两方向正应变为 $\varepsilon_x,\varepsilon_y$，正应力为 $\sigma_x,\sigma_y$；变形足够小。

(1) 从 $S_0$ 开始，逐渐沿 $x$ 方向加载至 $\sigma_x=\sigma_0$，达到 $S_1$，期间不约束 $y$ 向应变，$\sigma_y=0$。求 $\varepsilon_{x1},\varepsilon_{y1}$ 及单位体积应变能 $u_1$。

(2) 从 $S_0$ 开始，在 $\varepsilon_y=0$ 约束下逐渐加载至 $\sigma_x=\sigma_0$，达到 $S_2$。求 $x$ 向正应变 $\varepsilon_{x2}$、$y$ 向正应力 $\sigma_{y2}$ 及应变能密度 $u_2$。

(3) 从 $S_0$ 开始，沿两方向逐渐施加相同拉应力至 $\sigma_x=\sigma_y=\sigma_0$，达到 $S_3$。求两方向相同的正应变 $\varepsilon_3$ 与应变能密度 $u_3$。

(4) 从 $S_3$ 开始，保持 $\varepsilon_y=\varepsilon_3$，逐渐将 $x$ 向应力降为零，达到 $S_4$。求此时 $y$ 向应力 $\sigma_{y4}$ 及从 $S_3$ 到 $S_4$ 释放的应变能密度 $\Delta u$。

(5) 粘接在基板上的厚 $h$ 薄膜处于等双轴拉伸状态 $\sigma_x=\sigma_y=\sigma_0$，如图 1-3 从端部剥离长度 $a$。利用 (4) 的 $\Delta u$ 估算单位剥离面积的应变能释放量，即能量释放率。薄膜足够薄，$h/L_x\ll1,h/L_y\ll1$，可忽略应力沿 $z$ 向的变化。

Kai

I

(1)

C のつり合い $N_1+N_2\cos\theta=0$、$N_2\sin\theta+P=0$ より

$$\boxed{N_1=P\cot\theta,\qquad N_2=-\frac{P}{\sin\theta}}.$$

(2)

棒2の許容圧縮応力を $\sigma_b$ とすれば、所要断面積は $A_2=P/(\sigma_b\sin\theta)$。体積は

$$V_2=\frac{PL}{\sigma_b\sin\theta\cos\theta}=\frac{2PL}{\sigma_b\sin2\theta}.$$

したがって $\sin2\theta$ が最大となる $\boxed{\theta=\pi/4}$。

(3)

$U=N^2l/(2EA)$ より

$$\begin{gathered} \boxed{U^{(1)}=\frac{P^2L\cot^2\theta}{2E_1A_1}},\\ \boxed{U^{(2)}=\frac{P^2L}{2E_2A_2\sin^2\theta\cos\theta}}. \end{gathered}$$

(4)

カスティリアノの定理より

$$\boxed{\begin{gathered} \delta_y=\frac{\partial(U^{(1)}+U^{(2)})}{\partial P}\\ =\frac{PL\cot^2\theta}{E_1A_1}+\frac{PL}{E_2A_2\sin^2\theta\cos\theta} \end{gathered}}.$$

II

平面応力の構成式とエネルギー密度は

$$\begin{gathered} \varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E},\\ \varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E},\\ u=\frac12(\sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y). \end{gathered}$$

(1)

$\boxed{\varepsilon_{x1}=\sigma_0/E,\quad\varepsilon_{y1}=-\nu\sigma_0/E,\quad u_1=\sigma_0^2/(2E)}$。

(2)

$\varepsilon_y=0$ より $\sigma_y=\nu\sigma_0$。よって

$$\boxed{\begin{gathered} \varepsilon_{x2}=\frac{(1-\nu^2)\sigma_0}{E},\\ \sigma_{y2}=\nu\sigma_0,\\ u_2=\frac{(1-\nu^2)\sigma_0^2}{2E} \end{gathered}}.$$

(3)

$\boxed{\varepsilon_3=(1-\nu)\sigma_0/E,\quad u_3=(1-\nu)\sigma_0^2/E}$。

(4)

$\sigma_{x4}=0$、$\varepsilon_{y4}=\varepsilon_3$ より

$$\boxed{\sigma_{y4}=(1-\nu)\sigma_0},\qquad u_4=\frac{(1-\nu)^2\sigma_0^2}{2E}.$$

したがって

$$\boxed{\Delta u=u_3-u_4=\frac{(1-\nu^2)\sigma_0^2}{2E}}.$$

(5)

剥離体積は $ahL_y$、剥離面積は $aL_y$。したがって

$$\boxed{G=h\Delta u=\frac{(1-\nu^2)\sigma_0^2h}{2E}}.$$

Reference

• 東京大学 公式問題（2019年度、第2部）
• SN：H31-I 材料力学
• SN：H31-II 材料力学