東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2017年8月実施 問題 2 設問 III

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• Tokyo-University
• Cylindrical-Couette-Flow
• Navier-Stokes-Equations

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

内半径 $R_1$、外半径 $R_2$ の十分長い同心二重円筒の間を、密度 $\rho$、粘性係数 $\mu$ の非圧縮流体が満たしている。内筒は静止、外筒は角速度 $\Omega$ で回転する。定常層流で周方向に一様、軸方向流れと端面の影響はない。軸・周・半径方向を $(x,\theta,r)$、速度を $(u_x,u_\theta,u_r)$ とする。

(1) 円筒座標の連続の式を簡単化せよ。(2) $u_\theta,u_r$ の壁面条件を書け。(3) $u_r$ を求めよ。

(4) 円筒座標の Navier–Stokes 方程式を簡単化せよ。(5) $u_\theta(r)$ を求めよ。

(6) 内筒が軸方向の単位長さ当たりに受けるトルクを求めよ。

(7) $R_2/R_1=\sqrt2$ の場合、外筒面と内筒面の圧力差 $\Delta p=p(R_2)-p(R_1)$ を求めよ。

题目描述

内筒静止、外筒以角速度 $\Omega$ 转动的同心圆筒间，存在无轴向流动的定常轴对称黏性流。简化连续及动量方程，给出边界条件，求径向速度、周向速度、内筒单位长度所受转矩，以及 $R_2/R_1=\sqrt2$ 时的内外壁压差。

Kai

(1)–(3)

$u_x=0$、$\partial_\theta=0$ なので、連続の式は

$$\frac1r\frac{d(ru_r)}{dr}=0.$$

境界条件は

$$u_r(R_1)=u_r(R_2)=0,\qquad u_\theta(R_1)=0,\quad u_\theta(R_2)=R_2\Omega.$$

$ru_r$ は一定であり、壁面条件から $\boxed{u_r=0}$。

(4)

端面の影響がない軸方向に一様な流れでは、

$$\boxed{\frac{dp}{dr}=\rho\frac{u_\theta^2}{r},\qquad \frac d{dr}\left[\frac1r\frac d{dr}(ru_\theta)\right]=0,\qquad p_x=0}.$$

(5)

周方向方程式の一般解は $u_\theta=Ar+B/r$。境界条件を適用して、

$$\boxed{u_\theta(r)=\frac{R_2^2\Omega}{R_2^2-R_1^2}\left(r-\frac{R_1^2}{r}\right)}.$$

(6)

円筒座標のせん断応力は $\tau_{r\theta}=\mu(du_\theta/dr-u_\theta/r)$。内筒面では $u_\theta=0$ なので、

$$\boxed{T'=2\pi R_1^2\tau_{r\theta}(R_1) =\frac{4\pi\mu R_1^2R_2^2\Omega}{R_2^2-R_1^2}}.$$

向きは外筒の回転方向である。

(7)

$R_1=R_2/\sqrt2$ では $u_\theta=\Omega(2r-R_2^2/r)$。よって

$$\Delta p=\rho\Omega^2\int_{R_2/\sqrt2}^{R_2} \left(4r-\frac{4R_2^2}{r}+\frac{R_2^4}{r^3}\right)dr =\boxed{\frac{\rho R_2^2\Omega^2}{2}(3-4\ln2)}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2018年度）
• SN の解答・解説