東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2017年8月実施 問題 2 設問 I

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• 控制体动量守恒
• 喷流推进

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

2 枚の平行平板の間が静止流体で満たされ，その中心線上において，物体が外力 $F$ により一定速度 $U_0$ で牽引されている。$x$ 軸と $y$ 軸を図 2-1(a) に示すように定義する。流れ場は 2 次元であり，中心線 $y=0$ に対して上下対称である。流れは非圧縮性とし，定常である。流体の密度を $\rho$ とする。平行平板間の距離を $2a$ とする。図 2-1(a) の点線で示すような，物体とともに移動する $y$ 方向高さが $2a$ の検査体積 1-2-3-4-1 を考える。境界 1-2 は物体から十分前方に位置しており，境界 1-2 上では，圧力は $p=P_0$（一定），$x$ 方向速度は $u=U_0$（一定）である。ただし，図 2-1(b) に示すように，境界 3-4 における $x$ 方向速度 $u$ は，$0\le|y|<a/2$ では $u=0$ であり，$a/2\le|y|\le a$ において $u=U_1$ とする。2 枚の平板に生じる境界層は無視してよい。紙面垂直方向には単位長さを考える。以下の設問に答えよ。

(1) $U_1$ を $U_0$ を用いて表せ。

(2) 境界 3-4 上の $a/2\le|y|\le a$ における圧力 $P_1$ を，$P_0,\rho,U_0$ を用いて表せ。ただし，図 2-1(a) に示すような流線に沿って流れる流体の損失は無視してよい。

(3) 検査体積 1-2-3-4-1 における $x$ 方向の運動量の釣り合いを考える。外力 $F$ および牽引に必要となる単位時間あたりの仕事 $W_1$ を，$a,\rho,U_0$ を用いて表せ。ただし，境界 3-4 上の圧力は一様であると仮定してよい。

次に，図 2-2(a) に示すように，ポンプ M によって物体が周囲から流体を吸い込み，下流へ噴射する場合を考える。破線に示される流線に沿う流れの損失は無視できる。このとき，物体は外力無しで静止流体中を一定速度 $U_0$ で移動する。境界 3-4 では，図 2-2(b) に示すように，流体の噴射により，$a/2\le|y|\le a$ において $u=U_2$，$c/2\le|y|<a/2$ において $u=0$，$0\le|y|<c/2$ において $u=U_3$ となった。ただし，$c<a$ とする。なお，境界 3-4 上の圧力は一様であると仮定してよい。以下の設問に答えよ。

(4) $U_2$ と $U_3$ を，$a,c,U_0$ を用いて表せ。

(5) $c=a/9$ のとき，ポンプが単位時間あたりにする仕事 $W_2$ を，$\rho,U_0,a$ を用いて求めよ。ポンプの損失は無視してよい。

题目描述

两块平行平板之间充满静止流体，物体位于中心线上，受外力 $F$ 牵引而以恒速 $U_0$ 运动。$x,y$ 轴如图 2-1(a)。流场为二维、关于 $y=0$ 上下对称的不可压缩定常流，密度为 $\rho$，平板间距为 $2a$。取图 2-1(a) 虚线所示随物体移动、高度为 $2a$ 的控制体 1-2-3-4-1。边界 1-2 位于物体充分前方，其压力恒为 $p=P_0$，$x$ 向速度恒为 $u=U_0$。边界 3-4 的速度如图 2-1(b)：$0\le|y|<a/2$ 内为 $u=0$，$a/2\le|y|\le a$ 内为 $u=U_1$。忽略平板边界层，按单位垂直纸面长度考虑。

(1) 用 $U_0$ 表示 $U_1$。

(2) 用 $P_0,\rho,U_0$ 表示边界 3-4 上 $a/2\le|y|\le a$ 区域的压力 $P_1$。忽略沿图 2-1(a) 流线的流动损失。

(3) 对控制体写出 $x$ 向动量平衡，用 $a,\rho,U_0$ 表示外力 $F$ 和牵引所需的单位时间功 $W_1$。可假设边界 3-4 上压力均匀。

接下来如图 2-2(a)，物体利用泵 M 从周围吸入流体并向下游喷出。忽略沿虚线流线的损失。此时物体在没有外力的情况下，以恒速 $U_0$ 在静止流体中运动。边界 3-4 的速度如图 2-2(b)：$a/2\le|y|\le a$ 内为 $u=U_2$，$c/2\le|y|<a/2$ 内为 $u=0$，$0\le|y|<c/2$ 内为 $u=U_3$，其中 $c<a$。可假设边界 3-4 上压力均匀。

(4) 用 $a,c,U_0$ 表示 $U_2,U_3$。

(5) $c=a/9$ 时，用 $\rho,U_0,a$ 表示泵的单位时间做功 $W_2$，忽略泵损失。

Kai

(1)

$$2aU_0=aU_1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_1=2U_0}.$$

(2)

外側流線の Bernoulli の式から、

$$\begin{gathered} P_0+\frac12\rho U_0^2=P_1+\frac12\rho U_1^2,\\ \boxed{P_1=P_0-\frac32\rho U_0^2}. \end{gathered}$$

(3)

物体を含む検査体積の $x$ 方向運動量収支は

$$2a(P_0-P_1)-F=\rho(aU_1^2-2aU_0^2).$$

よって $\boxed{F=\rho aU_0^2}$、$\boxed{W_1=FU_0=\rho aU_0^3}$。

(4)

連続の式、外側流線の Bernoulli の式、および外力が零である物体を含む検査体積の運動量式は

$$2aU_0=aU_2+cU_3,$$

$$P_0-P_2=\frac12\rho(U_2^2-U_0^2),$$

$$2a(P_0-P_2)=\rho(aU_2^2+cU_3^2-2aU_0^2).$$

最後の二式から $cU_3^2=aU_0^2$。噴流は $+x$ 方向なので、

$$\begin{gathered} \boxed{U_3=\sqrt{\frac ac}\,U_0},\\ \boxed{U_2=\left(2-\sqrt{\frac ca}\right)U_0}. \end{gathered}$$

(5)

噴射流量は $Q_j=cU_3$。ポンプが与える単位体積当たりのエネルギーは、上流と噴流の全圧差

$$\begin{gathered} \Delta p_t=P_2+\frac12\rho U_3^2-\left(P_0+\frac12\rho U_0^2\right)\\ =\frac12\rho(U_3^2-U_2^2) \end{gathered}$$

である。$c=a/9$ では $U_3=3U_0$、$U_2=5U_0/3$ なので、

$$\boxed{W_2=Q_j\Delta p_t=\frac{28}{27}\rho aU_0^3}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2018年度）
• SN の解答・解説