東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2017年8月実施 問題 2 設問 I

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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

間隔 $2a$ の平行平板間の静止流体中で、物体を一定速度 $U_0$ で牽引する。物体とともに移動する座標をとり、$x$ を相対流の方向、中心線を $y=0$ とする。密度 $\rho$ の定常二次元非圧縮流れで、上下対称、奥行きは 1、平板の境界層を無視する。高さ $2a$ の検査体積の入口では $(P_0,U_0)$、出口では $|y|<a/2$ で $u=0$、$a/2\le |y|\le a$ で $u=U_1$。出口圧力は一様である。物体外側の流線に沿う損失を無視する。

(1) $U_1$ を求めよ。(2) 出口圧力 $P_1$ を求めよ。(3) 牽引力 $F$ と仕事率 $W_1$ を求めよ。

次に物体内のポンプで周囲の液体を吸い込み、中心の幅 $c<a$ の出口から噴射する。物体は外力なしで同じ速度 $U_0$ を保つ。出口速度は $a/2\le |y|\le a$ で $U_2$、$c/2\le |y|<a/2$ で零、$|y|<c/2$ で $U_3$。出口圧力 $P_2$ は一様、外側流線とポンプの損失を無視する。

(4) $U_2,U_3$ を $a,c,U_0$ で表せ。(5) $c=a/9$ のときのポンプ動力 $W_2$ を求めよ。

题目描述

宽度 $2a$ 的平行板通道中，物体以速度 $U_0$ 运动。物体坐标系内入口流速为 $U_0$，出口中央宽 $a$ 的尾流速度为零，外侧总宽 $a$ 的速度为 $U_1$。求外侧流速、出口压力、牵引力及功率。再改为无外力的泵喷推进：中央宽 $c$ 的喷流速度 $U_3$，外侧流速 $U_2$，其余尾流仍为零；出口压力均匀。求 $U_2,U_3$ 及 $c=a/9$ 时的泵功率。

Kai

(1)

$$2aU_0=aU_1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_1=2U_0}.$$

(2)

外側流線の Bernoulli の式から、

$$P_0+\frac12\rho U_0^2=P_1+\frac12\rho U_1^2,\qquad \boxed{P_1=P_0-\frac32\rho U_0^2}.$$

(3)

物体を含む検査体積の $x$ 方向運動量収支は

$$2a(P_0-P_1)-F=\rho(aU_1^2-2aU_0^2).$$

よって $\boxed{F=\rho aU_0^2}$、$\boxed{W_1=FU_0=\rho aU_0^3}$。

(4)

連続の式、外側流線の Bernoulli の式、および外力が零である物体を含む検査体積の運動量式は

$$2aU_0=aU_2+cU_3,$$

$$P_0-P_2=\frac12\rho(U_2^2-U_0^2),$$

$$2a(P_0-P_2)=\rho(aU_2^2+cU_3^2-2aU_0^2).$$

最後の二式から $cU_3^2=aU_0^2$。噴流は $+x$ 方向なので、

$$\boxed{U_3=\sqrt{\frac ac}\,U_0},\qquad \boxed{U_2=\left(2-\sqrt{\frac ca}\right)U_0}.$$

(5)

噴射流量は $Q_j=cU_3$。ポンプが与える単位体積当たりのエネルギーは、上流と噴流の全圧差

$$\Delta p_t=P_2+\frac12\rho U_3^2-\left(P_0+\frac12\rho U_0^2\right) =\frac12\rho(U_3^2-U_2^2)$$

である。$c=a/9$ では $U_3=3U_0$、$U_2=5U_0/3$ なので、

$$\boxed{W_2=Q_j\Delta p_t=\frac{28}{27}\rho aU_0^3}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2018年度）
• SN の解答・解説