東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2018年度 機械工学第1部 問題1 II

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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

直径 $d$、長さ $l$ の細線を、温度 $T_\infty$、熱伝導率 $\lambda_\infty$、速度 $u_\infty$ の空気流に直交させる。細線は体積発熱率 $\dot q$ で一様に加熱され、断面温度は一様、熱容量と端部伝熱は無視する。自然対流・放射を無視する。

1. 周方向平均熱伝達率 $h$ を用いて細線温度 $T_d$ を求めよ。
2. $u_\infty=15\,\mathrm{m/s},d=1\,\mu\mathrm m,\nu=1.5\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}$ の流線を模式的に描け。
3. 速度が平均値の周りに $\pm1.5\,\mathrm{m/s}$、周波数 $f$ で変動する。流れの整定時間を $(5\text{〜}10)d/u_\infty$ として追従性を論ぜよ。
4. $f=1\,\mathrm{kHz}$、$Nu(15\,\mathrm{m/s})=1$、$Nu\propto Re^{0.3}$、$\dot q=10^{13}\,\mathrm{W/m^3}$、$T_\infty=20\,{}^\circ\mathrm C$、$\lambda_\infty=0.025\,\mathrm{W/(mK)}$ とし温度変動を示せ。

細線に外径 $D$、密度 $\rho$、比熱 $C_p$、熱伝導率 $\lambda$ の被覆を付ける。周方向・軸方向の温度差は無視する。

5. 被覆の非定常半径方向熱伝導方程式と、$r=d/2,D/2$ の境界条件を導け。
6. 流速一定の場合の定常細線温度を求めよ。
7. $\rho=2.5\times10^3\,\mathrm{kg/m^3},C_p=8.0\times10^2\,\mathrm{J/(kgK)},\lambda=1.0\,\mathrm{W/(mK)},D=1.0\,\mathrm{mm}$ について熱拡散時間を見積もり、追従性を論ぜよ。

题目描述

热丝以固定体积发热率加热，横置于空气流中。求丝温、低雷诺数流线、响应时间和给定正弦速度波动下的温度响应。再给热丝添加有热容量的圆筒包覆层，建立径向非稳态导热方程和边界条件，求稳态丝温并估算包覆后的响应时间。

Kai

(1)

$\dot q\pi d^2l/4=h\pi dl(T_d-T_\infty)$ より

$$\boxed{T_d=T_\infty+\frac{\dot qd}{4h}}.$$

(2)

$\boxed{Re=u_\infty d/\nu=1}$。粘性の影響が大きく、はく離渦列を生じず、流線は円柱を滑らかに回り込む。

(3)

$$\tau_f\simeq(5\text{〜}10)\frac d{u_\infty} =(3.3\text{〜}6.7)\times10^{-7}\,\mathrm s.$$

$\boxed{f\tau_f\ll1}$ なら準定常に追従できる。$f=1\,\mathrm{kHz}$ では十分成立する。

(4)

$u_\infty=15[1+0.1\sin(2000\pi t)]$ とすれば

$$h(t)=\frac{\lambda_\infty}{d}[1+0.1\sin(2000\pi t)]^{0.3}.$$

したがって

$$\boxed{T_d(t)=20+100[1+0.1\sin(2000\pi t)]^{-0.3}\quad[{}^\circ\mathrm C]}.$$

一次近似では $T_d\simeq120-3\sin(2000\pi t)$。速度が大きいと温度は低くなる。

(5)

円筒殻への正味伝導熱と蓄熱を等置して

$$\boxed{\rho C_p\frac{\partial T}{\partial t} =\frac\lambda r\frac\partial{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)}.$$

境界条件は

$$\boxed{-\lambda\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{d/2} =\frac{\dot qd}{4}},\qquad \boxed{-\lambda\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{D/2} =h[T(D/2,t)-T_\infty]}.$$

(6)

単位長さの発熱 $q'=\dot q\pi d^2/4$ は、被覆の熱抵抗 $\ln(D/d)/(2\pi\lambda)$ と外面の熱抵抗 $1/(\pi Dh)$ を通る。よって

$$\boxed{T_d=T_\infty+\frac{\dot qd^2}{8\lambda}\ln\frac Dd +\frac{\dot qd^2}{4Dh}}.$$

(7)

熱拡散率は $\alpha=\lambda/(\rho C_p)=5.0\times10^{-7}\,\mathrm{m^2/s}$。代表長さを $D$ とすると

$$\boxed{\tau_{\rm diff}\sim D^2/\alpha=2\,\mathrm s}.$$

被覆厚さを代表長さにとっても約 $0.5\,\mathrm s$ であり、$1\,\mathrm{kHz}$ の周期 $10^{-3}\,\mathrm s$ より大幅に長い。被覆なしに比べ追従性が著しく低下する。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答