東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2018年度 機械工学第1部 問題1 I

标签：

• Tokyo-University
• Otto-Diesel-and-Dual-Cycles

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

理想オットーサイクル $1\to2\to3\to4\to1$ を考える。$1\to2,3\to4$ は可逆断熱、$2\to3,4\to1$ は定積。モル数 $n$、一定定積モル比熱 $C_V$、一般気体定数 $R_0$、状態1のエントロピー $S_{\min}$、状態1と3の温度は $T_{\min},T_{\max}$、体積は $V_{\max},V_{\min}$。圧縮比を $\varepsilon=V_{\max}/V_{\min}$、大気圧を $P_0$ とする。

1. 第一法則から断熱関係 $TV^a=\mathrm{const.}$ の $a$ を導け。
2. $T_2$ を求めよ。
3. 吸熱量 $Q_{2\to3}$ を求めよ。
4. $S_3$ を求めよ。
5. 熱効率 $\eta$ を求めよ。
6. ヘリウムと窒素では、同じ圧縮比のときどちらが高効率か。

次に排気・吸気を含むサイクルを考える。状態4から A まで圧力 $P_4$ 一定で体積を $V_{\max}$ から $V_{\min}$ に減らして排気し、残ったシリンダ内の気体を $V_{\min}$ 一定のまま A から B まで冷却する。点 B の温度は $T_{\min}$、吸気 $B\to1$ は圧力 $P_1$ 一定で $V_{\min}$ から $V_{\max}$ まで行う。

7. 排気でピストンが気体にする仕事 $W_{4\to A}$ を、裏面圧力 $P_0$ を考慮して求めよ。
8. 吸気・排気を含む熱効率 $\eta'$ を求めよ。

题目描述

对给定温度极限、压缩比和恒定热容的理想奥托循环，导出绝热关系、各状态量和效率，并比较氦与氮。再考虑高压等压排气、外部冷却及低压等压吸气，求扣除活塞背面大气压后的排气功和含换气损失的效率。

Kai

(1)〜(4)

断熱過程の第一法則は $nC_VdT+PdV=0$。$P=nR_0T/V$ より

$$\boxed{a=\frac{R_0}{C_V}},\qquad \boxed{T_2=T_{\min}\varepsilon^a}.$$

定積加熱より

$$\boxed{Q_{2\to3}=nC_V(T_{\max}-T_{\min}\varepsilon^a)}, \qquad \boxed{S_3=S_{\min}+nC_V\ln\frac{T_{\max}}{T_{\min}\varepsilon^a}}.$$

(5)

$T_4=T_{\max}\varepsilon^{-a}$ より

$$\boxed{\eta=1-\frac{T_4-T_{\min}}{T_{\max}-T_2}=1-\varepsilon^{-a}}.$$

(6)

ヘリウムは $C_V=3R_0/2$、窒素は通常温度で $C_V=5R_0/2$。ヘリウムの方が $a$ が大きいため、同じ圧縮比では効率が高い。

(7)

$$P_4=\frac{nR_0T_{\max}\varepsilon^{-a}}{V_{\max}},\qquad \boxed{W_{4\to A}=(P_4-P_0)(V_{\max}-V_{\min})}.$$

(8)

圧縮・膨張による正味出力は $\eta Q_{2\to3}$。排気と吸気の合計では、大気圧の寄与が相殺され、追加の仕事損失は

$$W_{\rm pump}=(P_4-P_1)(V_{\max}-V_{\min}) =nR_0(T_4-T_{\min})(1-\varepsilon^{-1}).$$

したがって

$$\boxed{\eta'=\eta-\frac{W_{\rm pump}}{Q_{2\to3}} =1-\varepsilon^{-a}\left[1+a(1-\varepsilon^{-1})\right]}.$$

吸気・排気は物質の出入りを伴うので、一定モル数の定圧加熱・冷却としては扱わない。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答