東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2017年8月実施 機械工学第1部 問題1 I

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• 东京大学
• 奥托循环

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 1-1 に示した $P$–$V$ 線図および $T$–$S$ 線図で表現される理想的なオットーサイクルを考える。ただし，$V$ および $S$ はシリンダ内の作動気体の体積およびエントロピーとする。作動気体は理想気体とし，定積モル比熱を $C_v$ とする。$C_v$ の温度による変化は無視してよい。一般気体定数を $R_0$ とする。状態 1 でのシリンダ内の作動気体の量を $n\,[\mathrm{mol}]$，状態 1 のエントロピーを $S_{\min}$，状態 1 および状態 3 の温度と体積をそれぞれ $T_{\min},V_{\max}$ および $T_{\max},V_{\min}$，圧縮比を $\varepsilon$（$=V_{\max}/V_{\min}$），大気圧を $P_0$ とする。問題文中で与えられた変数および定数を用いて，以下の設問に答えよ。

(1) 状態 1 から状態 2 の変化において，$T$ と $V$ の関係が $TV^a=\text{一定}$ となることが知られている。熱力学第 1 法則を用いて $a$ を導け。導出過程も示すこと。

(2) 状態 2 の温度 $T_2$ を表せ。

(3) 状態 2 から状態 3 の変化において，作動気体が得る熱量 $Q_{2\to3}$ を表せ。

(4) 状態 3 における作動気体のエントロピー $S_3$ を表せ。

(5) 図 1-1 で表されるオットーサイクルの熱効率 $\eta$ を表せ。導出過程も示すこと。

(6) 作動気体としてヘリウムを用いた場合と窒素を用いた場合を比較すると，どちらの場合の熱効率 $\eta$ が高くなるか，理由とともに答えよ。

続いて，図 1-2 に示す排気および吸気過程を含めたオットーサイクルを考える。排気過程および吸気過程を含めると，ピストンは 1 サイクルで 2 往復することになる。排気過程において，体積 $V$ は $V_{\max}$（状態 4）から $V_{\min}$（図 1-2 における点 A）まで変化し，その間の圧力 $P$ は一定とする。その後，点 A から点 B において，シリンダ内の作動気体は体積 $V$ が一定のまま冷却される。点 B における温度 $T$ は $T_{\min}$ である。さらに，吸気過程において，体積 $V$ は $V_{\min}$（図 1-2 における点 B）から $V_{\max}$（状態 1）まで変化し，その間の圧力 $P$ は一定とする。以下の設問に答えよ。

(7) 排気過程においてピストンがする仕事 $W_{4\to A}$ を表せ。ただし，ピストン裏面にかかる圧力は大気圧（$P_0$）とする。

(8) 吸気・排気過程を含めたオットーサイクルにおける熱効率 $\eta'$ を表せ。導出過程も示すこと。

题目描述

考虑图 1-1 的 $P$–$V$ 图及 $T$–$S$ 图所示理想奥托循环，$V,S$ 分别为气缸内工质的体积和熵。工质为理想气体，摩尔定容热容为 $C_v$，可忽略其温度依赖性，通用气体常数为 $R_0$。状态 1 的工质物质的量为 $n\,[\mathrm{mol}]$，熵为 $S_{\min}$。状态 1 的温度、体积为 $T_{\min},V_{\max}$，状态 3 为 $T_{\max},V_{\min}$。压缩比为 $\varepsilon=V_{\max}/V_{\min}$，大气压为 $P_0$。使用题中给出的变量与常数回答。

(1) 已知状态 1 到 2 满足 $TV^a=\text{常数}$，由热力学第一定律推导 $a$，写出推导过程。

(2) 表示状态 2 的温度 $T_2$。

(3) 表示状态 2 到 3 工质吸收的热量 $Q_{2\to3}$。

(4) 表示状态 3 的熵 $S_3$。

(5) 表示图 1-1 奥托循环的热效率 $\eta$，并写出推导过程。

(6) 比较以氦气和氮气为工质时的热效率 $\eta$，说明哪种较高及原因。

接下来考虑图 1-2 中含排气和吸气过程的循环，此时活塞每循环往复两次。排气时体积从 $V_{\max}$（状态 4）变到 $V_{\min}$（点 A），压力保持恒定；从 A 到 B，缸内工质等容冷却，B 点温度为 $T_{\min}$；吸气时体积从 $V_{\min}$（点 B）变到 $V_{\max}$（状态 1），压力保持恒定。

(7) 表示排气过程中活塞所做的功 $W_{4\to A}$。活塞背面承受大气压 $P_0$。

(8) 表示包含吸气、排气过程的循环热效率 $\eta'$，写出推导过程。

Kai

(1)

断熱過程の第一法則は $nC_VdT+PdV=0$。$P=nR_0T/V$ より

$$\boxed{a=\frac{R_0}{C_V}}.$$

(2)

$$\boxed{T_2=T_{\min}\varepsilon^a}.$$

(3)

定積加熱より

$$\boxed{Q_{2\to3}=nC_V(T_{\max}-T_{\min}\varepsilon^a)}.$$

(4)

$$\boxed{S_3=S_{\min}+nC_V\ln\frac{T_{\max}}{T_{\min}\varepsilon^a}}.$$

(5)

$T_4=T_{\max}\varepsilon^{-a}$ より

$$\boxed{\eta=1-\frac{T_4-T_{\min}}{T_{\max}-T_2}=1-\varepsilon^{-a}}.$$

(6)

ヘリウムは $C_V=3R_0/2$、窒素は通常温度で $C_V=5R_0/2$。ヘリウムの方が $a$ が大きいため、同じ圧縮比では効率が高い。

(7)

$$\begin{gathered} P_4=\frac{nR_0T_{\max}\varepsilon^{-a}}{V_{\max}},\\ \boxed{W_{4\to A}=(P_4-P_0)(V_{\max}-V_{\min})}. \end{gathered}$$

(8)

圧縮・膨張による正味出力は $\eta Q_{2\to3}$。排気と吸気の合計では、大気圧の寄与が相殺され、追加の仕事損失は

$$\begin{gathered} W_{\rm pump}=(P_4-P_1)(V_{\max}-V_{\min})\\ =nR_0(T_4-T_{\min})(1-\varepsilon^{-1}). \end{gathered}$$

したがって

$$\boxed{\begin{gathered} \eta'=\eta-\frac{W_{\rm pump}}{Q_{2\to3}}\\ =1-\varepsilon^{-a}\left[1+a(1-\varepsilon^{-1})\right] \end{gathered}}.$$

吸気・排気は物質の出入りを伴うので、一定モル数の定圧加熱・冷却としては扱わない。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答