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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2018年度 機械工学第2部 問題 1

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

I​

内半径 rr、肉厚 t≪rt\ll r の薄肉容器を鉛直につるす。上端は水平な剛体壁に固定し、直胴部の下端には同じ半径・厚さの半球殻がある。直胴部の長さは L>rL>r、容器材料の密度は dd、重力加速度は gg。半球と直胴の接続高さを x=0x=0、上向きを正とする。

  1. 空容器の直胴部 0≤x≤L0\le x\le L の応力分布を求めよ。
  2. 密度 mm の液体を高さ x=hx=h まで入れたときの直胴部の応力分布を求めよ。
  3. h=Lh=L まで満たす。直胴部の最大主応力が σb\sigma_b を超えると破壊する場合の最小肉厚を求めよ。自重だけでは破壊せず、半球殻は破壊しないものとする。

II​

D 固定、B 単純支持、全長 LL のはり BCD と、A 固定、長さ SS のはり AC がある。C は BCD の中央で、AC の先端を下から支持する。両はりの曲げ剛性は EIEI、AC には下向き等分布荷重 qq が作用する。C の接触力の大きさを RCR_C とする。

  1. AC の C における下向きたわみ δAC\delta_{AC} を求めよ。
  2. BCD の C における下向きたわみ δBCD\delta_{BCD} を求めよ。
  3. RCR_C を求めよ。
  4. BCD の最大たわみの位置（B からの距離）と値を求めよ。

構造・座標の模式図

题目描述​

I：上端固定的薄壁圆柱容器，下接同半径 rr、同厚 tt 的半球底，直筒长 LL，容器密度 dd。以球底与直筒交界为 x=0x=0、向上为正。求空容器及装至 x=hx=h、液体密度 mm 时的轴向和环向应力；装满时按最大主应力不超过 σb\sigma_b 求最小厚度。

II：长 SS 的悬臂梁 AC 受均布载荷 qq，先端 C 由长 LL、一端 D 固定另一端 B 简支的梁中点托住，两梁抗弯刚度均为 EIEI。求 C 的两梁挠度、接触力以及 BCD 最大挠度与位置。

Kai​

I​

(1) 半球殻の重量 2πr2tdg2\pi r^2tdg と、切断面より下の直胴の重量 2πrtxdg2\pi rtxdg を考えると

σx=dg(r+x),σθ=0.\boxed{\sigma_x=dg(r+x),\qquad \sigma_\theta=0}.

(2) 液体全体の重量は mgπr2(h+2r/3)mg\pi r^2(h+2r/3)。軸方向のつり合いと、局所内圧 p(x)=mg(h−x)p(x)=mg(h-x) より

σx(x)=dg(r+x)+mgr2t(h+2r3),\boxed{\sigma_x(x)=dg(r+x)+\frac{mgr}{2t}\left(h+\frac{2r}{3}\right)},
σθ(x)={mgr(h−x)/t0≤x≤h,0h≤x≤L.\boxed{\sigma_\theta(x)=\begin{cases}mgr(h-x)/t&0\le x\le h,\\0&h\le x\le L.\end{cases}}

膜理論では他の応力成分はゼロとする。

(3) 軸応力の最大値は上端、周応力の最大値は下端で生じる。

σx,max⁡=dg(r+L)+mgr2t(L+2r3),σθ,max⁡=mgrLt.\sigma_{x,\max}=dg(r+L)+\frac{mgr}{2t}\left(L+\frac{2r}{3}\right),\qquad \sigma_{\theta,\max}=\frac{mgrL}{t}.

両方が σb\sigma_b 以下でなければならないので

tmin⁡=max⁡{mgr(3L+2r)6[σb−dg(r+L)], mgrLσb}.\boxed{t_{\min}=\max\left\{ \frac{mgr(3L+2r)}{6[\sigma_b-dg(r+L)]},\ \frac{mgrL}{\sigma_b} \right\}}.

ここで自重に関する仮定より σb>dg(r+L)\sigma_b>dg(r+L) である。

II​

(1) 先端集中荷重と等分布荷重の重ね合わせから

δAC=qS48EI−RCS33EI.\boxed{\delta_{AC}=\frac{qS^4}{8EI}-\frac{R_CS^3}{3EI}}.

(2) B からの座標を zz とする。B の上向き反力を RBR_B とし、v(0)=v(L)=v′(L)=0v(0)=v(L)=v'(L)=0 を用いると RB=5RC/16R_B=5R_C/16。たわみは

v(z)=RC96EI{3L2z−5z30≤z≤L/2,11z3−24Lz2+15L2z−2L3L/2≤z≤L.v(z)=\frac{R_C}{96EI}\begin{cases} 3L^2z-5z^3&0\le z\le L/2,\\ 11z^3-24Lz^2+15L^2z-2L^3&L/2\le z\le L. \end{cases}

したがって δBCD=7RCL3/(768EI)\boxed{\delta_{BCD}=7R_CL^3/(768EI)}。

(3) δAC=δBCD\delta_{AC}=\delta_{BCD} より

RC=96qS4256S3+7L3.\boxed{R_C=\frac{96qS^4}{256S^3+7L^3}}.

(4) 0<z<L/20<z<L/2 では v′(z)=RC(L2−5z2)/(32EI)v'(z)=R_C(L^2-5z^2)/(32EI)。後半区間には内点での極値がないので

zmax⁡=L5,vmax⁡=RCL3485EI=2qS4L35EI(256S3+7L3).\boxed{z_{\max}=\frac{L}{\sqrt5}},\qquad \boxed{v_{\max}=\frac{R_CL^3}{48\sqrt5EI} =\frac{2qS^4L^3}{\sqrt5EI(256S^3+7L^3)}}.

Reference​

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