東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2017年8月実施 機械工学第2部 問題 1

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• 东京大学
• 薄壁压力容器
• 梁的挠度

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の I，II の両方について解答せよ。I の解答に答案用紙 1 枚を，II の解答に答案用紙 1 枚を，それぞれ用いること。

I

図 1-1 に示すように，下端が薄肉半球殻となっている薄肉円筒容器の上端を壁面に固定した。壁面は剛体とみなしてよく，その表面は水平である。容器はその中心軸が鉛直となるように壁面に固定されている。中心軸に沿って $x$ 軸を鉛直上向きに設定する。容器の中心軸と直胴部下端面の交点を $x$ 軸の原点 O とする。直胴部および半球殻部とも内半径 $r$，厚さは $t$ である。直胴部長さは $L$（$>r$）である。内半径 $r$ に比して厚さ $t$ は十分小さい。容器の質量密度を $d$ とし，重力加速度を $g$ として以下の設問に答えよ。

(1) 直胴部（$0\le x\le L$）に生じる応力成分の分布を $x$ を用いて表せ。

(2) 図 1-2 に示すように，容器内部に $x=h$ の高さまで質量密度 $m$ の液体を注入した。直胴部（$0\le x\le L$）に生じる応力成分の分布を $x$ を用いて表せ。

(3) 容器内部を質量密度 $m$ の液体で $x=L$ まで完全に満たした。容器が破壊しないための，厚さ $t$ の最小値を答えよ。なお，容器直胴部の最大主応力が $\sigma_b$ を超えたときに破壊が発生するものとする。容器は自重のみでは破壊せず，また半球殻部（$x<0$）では破壊は発生しないものとする。

II

図 1-3 および図 1-4 に示すように，D 端で固定支持，B 端で移動支持されている長さ $L$ のはり BCD，および A 端で固定支持され C 点ではり BCD に支えられている長さ $S$ のはり AC がある。はり AC は等分布荷重 $q$ を受けているとする。C 点において，はり AC とはり BCD が互いに力 $R_C$ を及ぼしている。はり AC とはり BCD の曲げ剛性は $EI$ とする。以下の設問に答えよ。

(1) はり AC の点 C のたわみ $\delta_{\mathrm{AC}}$ を，$R_C,q,S$ および $EI$ を用いて表せ。

(2) はり BCD の点 C のたわみ $\delta_{\mathrm{BCD}}$ を $R_C,L$ および $EI$ を用いて表せ。

(3) $R_C$ を $q,S,L$ を用いて表せ。

(4) はり BCD のたわみが最大になる位置（点 B からの距離）と，そこでのたわみを求めよ。

题目描述

回答 I、II 两部分，各使用一张答题纸。

I

图 1-1 中，下端为薄壁半球壳的薄壁圆筒容器，其上端固定在水平刚性壁面，中心轴保持竖直。沿中心轴取竖直向上的 $x$ 轴，以中心轴与直筒部下端面的交点 O 为原点。直筒和半球壳的内半径均为 $r$，厚度均为 $t$，直筒长 $L>r$，且 $t$ 远小于 $r$。容器材料的质量密度为 $d$，重力加速度为 $g$。

(1) 用 $x$ 表示直筒部 $0\le x\le L$ 的应力分量分布。

(2) 按图 1-2，将质量密度为 $m$ 的液体注入容器至 $x=h$。用 $x$ 表示直筒部 $0\le x\le L$ 的应力分量分布。

(3) 以密度 $m$ 的液体装满至 $x=L$，求保证不破坏的最小厚度 $t$。规定直筒部最大主应力超过 $\sigma_b$ 时发生破坏；容器仅受自重不会破坏，半球壳部分 $x<0$ 也不会发生破坏。

II

图 1-3、1-4 中，梁 BCD 长 $L$，D 端固定、B 端滚动支承；梁 AC 长 $S$，A 端固定、C 端由梁 BCD 支承。AC 受均布载荷 $q$。两梁在 C 点互相施加力 $R_C$，弯曲刚度均为 $EI$。

(1) 用 $R_C,q,S,EI$ 表示梁 AC 在 C 点的挠度 $\delta_{\mathrm{AC}}$。

(2) 用 $R_C,L,EI$ 表示梁 BCD 在 C 点的挠度 $\delta_{\mathrm{BCD}}$。

(3) 用 $q,S,L$ 表示 $R_C$。

(4) 求梁 BCD 挠度最大的地点（距 B 点的距离）及该处挠度。

Kai

I

(1)

半球殻の重量 $2\pi r^2tdg$ と、切断面より下の直胴の重量 $2\pi rtxdg$ を考えると

$$\boxed{\sigma_x=dg(r+x),\qquad \sigma_\theta=0}.$$

(2)

液体全体の重量は $mg\pi r^2(h+2r/3)$。軸方向のつり合いと、局所内圧 $p(x)=mg(h-x)$ より

$$\boxed{\sigma_x(x)=dg(r+x)+\frac{mgr}{2t}\left(h+\frac{2r}{3}\right)},$$

$$\boxed{\sigma_\theta(x)=\begin{cases}mgr(h-x)/t&0\le x\le h,\\0&h\le x\le L.\end{cases}}$$

膜理論では他の応力成分はゼロとする。

(3)

軸応力の最大値は上端、周応力の最大値は下端で生じる。

$$\begin{gathered} \sigma_{x,\max}=dg(r+L)+\frac{mgr}{2t}\left(L+\frac{2r}{3}\right),\\ \sigma_{\theta,\max}=\frac{mgrL}{t}. \end{gathered}$$

両方が $\sigma_b$ 以下でなければならないので

$$\boxed{t_{\min}=\max\left\{ \frac{mgr(3L+2r)}{6[\sigma_b-dg(r+L)]},\ \frac{mgrL}{\sigma_b} \right\}}.$$

ここで自重に関する仮定より $\sigma_b>dg(r+L)$ である。

II

(1)

先端集中荷重と等分布荷重の重ね合わせから

$$\boxed{\delta_{AC}=\frac{qS^4}{8EI}-\frac{R_CS^3}{3EI}}.$$

(2)

B からの座標を $z$ とする。B の上向き反力を $R_B$ とし、$v(0)=v(L)=v'(L)=0$ を用いると $R_B=5R_C/16$。たわみは

$$v(z)=\frac{R_C}{96EI}\begin{cases} 3L^2z-5z^3&0\le z\le L/2,\\ 11z^3-24Lz^2+15L^2z-2L^3&L/2\le z\le L. \end{cases}$$

したがって $\boxed{\delta_{BCD}=7R_CL^3/(768EI)}$。

(3)

$\delta_{AC}=\delta_{BCD}$ より

$$\boxed{R_C=\frac{96qS^4}{256S^3+7L^3}}.$$

(4)

$0<z<L/2$ では $v'(z)=R_C(L^2-5z^2)/(32EI)$。後半区間には内点での極値がないので

$$\begin{gathered} \boxed{z_{\max}=\frac{L}{\sqrt5}},\\ \boxed{v_{\max}=\frac{R_CL^3}{48\sqrt5EI} =\frac{2qS^4L^3}{\sqrt5EI(256S^3+7L^3)}}. \end{gathered}$$

Reference

• 東京大学 公式問題（2018年度、第2部）
• SN：H30-I 材料力学
• SN：H30-II 材料力学