東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2016年8月実施 問題 2 Author 祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)
Description 図 2-1 に示すように水を入れた容器に，水面から深さ H H H L L L d d d d d d H H H L L L M M M ρ \rho ρ g g g
(1) 円管出口から水が流れ出ないように，物体を押し付けておくのに必要となる最小の力 F 0 F_0 F 0
次に図 2-2 に示すように，物体を円管の出口から十分離した状態におき，物体に力 F F F V J V_J V J d d d M M M H H H
まず，損失のない場合を考える。
(2) 円管出口の流速 V J V_J V J
(3) 物体には右側から力 F = F 1 F=F_1 F = F 1 F 1 F_1 F 1
(4) 物体表面の圧力（ゲージ圧）の最大値 P max P_{\max} P m a x
(5) 力 F 1 F_1 F 1 F F F F 0 F_0 F 0 x x x
次に，再び図 2-2 の状態で，円管に入口損失および管摩擦損失がある場合を考える。容器と円管の接合部における入口損失の損失係数を ζ \zeta ζ λ \lambda λ λ \lambda λ u ˉ \bar u u ˉ Δ P \Delta P Δ P
Δ P ρ = λ L d u ˉ 2 2 \frac{\Delta P}{\rho}=\lambda\frac{L}{d}\frac{\bar u^2}{2} ρ Δ P = λ d L 2 u ˉ 2 円管内の流速が十分小さい場合には流れは層流となる。今，十分発達した層流の状態を考え，定数 α \alpha α d d d r r r
u = α { ( d 2 ) 2 − r 2 } (1) u=\alpha\left\{\left(\frac d2\right)^2-r^2\right\} \tag{1} u = α { ( 2 d ) 2 − r 2 } ( 1 ) と与える。このとき，以下の設問に答えよ。
(6) 断面平均流速 u ˉ \bar u u ˉ
(7) 式 (1) で与えられる速度分布を用いて管摩擦係数 λ 0 \lambda_0 λ 0 μ \mu μ
次に，管摩擦係数 λ \lambda λ
(8) いま，ζ = 0.5 \zeta=0.5 ζ = 0.5 λ = 0.02 \lambda=0.02 λ = 0.02 L = 2.5 m L=2.5\,\mathrm m L = 2.5 m d = 0.05 m d=0.05\,\mathrm m d = 0.05 m F = F 2 F=F_2 F = F 2 F 1 F_1 F 1 F 2 / F 1 F_2/F_1 F 2 / F 1
以下の設問では，円管の出口流速 V J V_J V J
(9) 力 F 1 F_1 F 1 t = 0 t=0 t = 0 F F F v ( t ) v(t) v ( t )
最後に，物体形状を変え，図 2-3 に示す形にした。このとき，物体に加える力を F 3 F_3 F 3
(10) 十分時間が経った後の物体の速度を求めよ。ただし，噴流は物体に流入するときの速さのまま角度 θ \theta θ
题目描述
图 2-1 中，装水容器在水面以下深度 H H H L L L d d d d d d H , L H,L H , L M M M ρ \rho ρ g g g
(1) 求使管口不流出水所需的最小压紧力 F 0 F_0 F 0
如图 2-2，将物体放到距管口足够远处，向其施加力 F F F V J V_J V J d d d M M M H H H
(2) 求管口流速 V J V_J V J
(3) 从右侧施加力 F = F 1 F=F_1 F = F 1 F 1 F_1 F 1
(4) 求物体表面压力（表压）的最大值 P max P_{\max} P m a x
(5) 从力 F 1 F_1 F 1 F 0 F_0 F 0 x x x
重新考虑图 2-2 中存在入口损失和管摩擦损失的情况。容器与圆管连接处的入口损失系数为 ζ \zeta ζ λ \lambda λ u ˉ \bar u u ˉ Δ P \Delta P Δ P
Δ P ρ = λ L d u ˉ 2 2 . \frac{\Delta P}{\rho}=\lambda\frac{L}{d}\frac{\bar u^2}{2}. ρ Δ P = λ d L 2 u ˉ 2 . 当流速足够小时为层流。对于充分发展层流，以常数 α \alpha α d d d r r r
u = α { ( d 2 ) 2 − r 2 } . u=\alpha\left\{\left(\frac d2\right)^2-r^2\right\}. u = α { ( 2 d ) 2 − r 2 } . (6) 求截面平均流速 u ˉ \bar u u ˉ
(7) 用该速度分布求管摩擦系数 λ 0 \lambda_0 λ 0 μ \mu μ
再考虑可将 λ \lambda λ
(8) 取 ζ = 0.5 \zeta=0.5 ζ = 0.5 λ = 0.02 \lambda=0.02 λ = 0.02 L = 2.5 m L=2.5\,\mathrm m L = 2.5 m d = 0.05 m d=0.05\,\mathrm m d = 0.05 m F = F 2 F=F_2 F = F 2 F 1 F_1 F 1 F 2 / F 1 F_2/F_1 F 2 / F 1
以下各问用管口流速 V J V_J V J
(9) 从力 F 1 F_1 F 1 t = 0 t=0 t = 0 F F F v ( t ) v(t) v ( t )
最后将物体形状改成图 2-3，施加力 F 3 F_3 F 3
(10) 求充分长时间后的物体速度。射流流出时保持流入物体时的速率，方向为图中角度 θ \theta θ
Kai A = π d 2 / 4 A=\pi d^2/4 A = π d 2 /4
(1)
静水圧から F 0 = ρ g H A \boxed{F_0=\rho gHA} F 0 = ρ g H A
(2)
自由表面と出口の Bernoulli の式より V J = 2 g H \boxed{V_J=\sqrt{2gH}} V J = 2 g H
(3)
静止物体で噴流の x x x
F 1 = ρ A V J 2 = 2 ρ g H A . \boxed{F_1=\rho AV_J^2=2\rho gHA}. F 1 = ρ A V J 2 = 2 ρ g H A . (4)
P max = 1 2 ρ V J 2 = ρ g H . \boxed{P_{\max}=\frac12\rho V_J^2=\rho gH}. P m a x = 2 1 ρ V J 2 = ρ g H . (5)
物体速度を v v v ρ A ( V J − v ) \rho A(V_J-v) ρ A ( V J − v ) V J − v V_J-v V J − v
ρ A ( V J − v ) 2 = F 0 , v = ( 2 − 1 ) g H . \begin{gathered}
\rho A(V_J-v)^2=F_0,\\
\boxed{v=(\sqrt2-1)\sqrt{gH}}.
\end{gathered} ρ A ( V J − v ) 2 = F 0 , v = ( 2 − 1 ) g H . (6)
u ˉ = 2 π A ∫ 0 d / 2 α ( d 2 4 − r 2 ) r d r = α d 2 8 . \boxed{\bar u=\frac{2\pi}{A}\int_0^{d/2}\alpha\left(\frac{d^2}{4}-r^2\right)r\,dr
=\frac{\alpha d^2}{8}}. u ˉ = A 2 π ∫ 0 d /2 α ( 4 d 2 − r 2 ) r d r = 8 α d 2 . (7)
τ w = μ α d \tau_w=\mu\alpha d τ w = μα d Δ P A = τ w π d L \Delta P\,A=\tau_w\pi dL Δ P A = τ w π d L Δ P = 4 μ α L \Delta P=4\mu\alpha L Δ P = 4 μαL
λ 0 = 512 μ ρ α d 3 = 64 R e d , R e d = ρ u ˉ d μ . \boxed{\lambda_0=\frac{512\mu}{\rho\alpha d^3}
=\frac{64}{\mathrm{Re}_d}},\qquad \mathrm{Re}_d=\frac{\rho\bar u d}{\mu}. λ 0 = ρ α d 3 512 μ = Re d 64 , Re d = μ ρ u ˉ d . (8)
損失を含むエネルギー式は g H = ( 1 + ζ + λ L / d ) V J 2 / 2 gH=(1+\zeta+\lambda L/d)V_J^2/2 g H = ( 1 + ζ + λ L / d ) V J 2 /2
F 2 F 1 = 1 1 + ζ + λ L / d = 1 2.5 = 0.4 . \boxed{\frac{F_2}{F_1}=\frac1{1+\zeta+\lambda L/d}=\frac1{2.5}=0.4}. F 1 F 2 = 1 + ζ + λ L / d 1 = 2.5 1 = 0.4 . (9)
M d v d t = ρ A ( V J − v ) 2 , v ( 0 ) = 0. M\frac{dv}{dt}=\rho A(V_J-v)^2,\qquad v(0)=0. M d t d v = ρ A ( V J − v ) 2 , v ( 0 ) = 0. 変数分離して積分すると、
v ( t ) = V J ( 1 − 1 1 + ρ A V J t / M ) . \boxed{v(t)=V_J\left(1-\frac1{1+\rho AV_Jt/M}\right)}. v ( t ) = V J ( 1 − 1 + ρ A V J t / M 1 ) . (10)
相対流出速度の x x x ( V J − v ) cos θ (V_J-v)\cos\theta ( V J − v ) cos θ
F 3 = ρ A ( V J − v ) 2 ( 1 − cos θ ) , F_3=\rho A(V_J-v)^2(1-\cos\theta), F 3 = ρ A ( V J − v ) 2 ( 1 − cos θ ) , v = V J − F 3 ρ A ( 1 − cos θ ) = V J − 2 d F 3 π ρ ( 1 − cos θ ) . \boxed{\begin{gathered}
v=V_J-\sqrt{\frac{F_3}{\rho A(1-\cos\theta)}}\\
=V_J-\frac2d\sqrt{\frac{F_3}{\pi\rho(1-\cos\theta)}}
\end{gathered}}. v = V J − ρ A ( 1 − cos θ ) F 3 = V J − d 2 π ρ ( 1 − cos θ ) F 3 . Reference 
