東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2017年度 機械工学第1部 問題1 II

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• Heat-Exchangers-and-Thermal-Resistance

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

内径 $D$、薄い肉厚 $t$、長さ $L$、熱伝導率 $\lambda_C$ の銅管内を、密度 $\rho$、比熱 $C_P$、平均速度 $U_0$ の冷却水が流れる。入口・出口の混合平均温度は $T_0,T_1$。外側には一様温度 $T_\infty$、速度 $U_\infty$ の空気が直交して流れる。内・外面温度をそれぞれ一定 $T_w,T_a$、熱伝達率を $h_w,h_a$ とする。薄肉のため内外面積は同じ、管壁温度は肉厚方向に線形と近似し、放射・重力は無視する。

1. 長さ $dx$ の区間の伝熱量 $dQ$ を外側対流、管壁伝導、内側対流の三通りで表し、各熱抵抗と全抵抗を求めよ。
2. 水の混合平均温度 $T_m(x)$ を用いて微小区間のエネルギー収支を導け。
3. $T_1$ と総伝熱量 $Q$ を求めよ。
4. $D=20\,\mathrm{mm},t=2\,\mathrm{mm},L=1.0\,\mathrm m,U_0=1.0\,\mathrm{m/s},U_\infty=10\,\mathrm{m/s},T_0=20\,{}^\circ\mathrm C,T_\infty=80\,{}^\circ\mathrm C$。$Nu_w=140\propto U_0^{0.8}$、$Nu_a=60\propto U_\infty^{0.6}$（ともに代表長さ $D$）のとき支配的な熱抵抗を選び、流速の影響を論ぜよ。熱伝導率は水 $0.6$、空気 $0.03$、銅 $400\,\mathrm{W/(mK)}$、水の $\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3},C_P=4000\,\mathrm{J/(kgK)}$ とする。
5. (4) に基づいて管壁抵抗を無視し、$Q$ を温度差、流量、熱伝達率等で表せ。

题目描述

热空气横掠薄壁铜管，加热管内冷却水。分别建立空气对流、管壁导热和水侧对流热阻，按恒壁温模型推导水温变化及总传热量。根据给定努塞尔数比较各热阻、讨论两侧速度的影响，再忽略铜壁热阻给出总传热量公式。

Kai

(1)

$$dQ=h_a\pi Ddx(T_\infty-T_a) =\frac{\lambda_C\pi Ddx}{t}(T_a-T_w) =h_w\pi Ddx(T_w-T_m).$$

$$\boxed{dR_a=\frac1{h_a\pi Ddx},\quad dR_C=\frac t{\lambda_C\pi Ddx},\quad dR_w=\frac1{h_w\pi Ddx},\quad dR=dR_a+dR_C+dR_w}.$$

(2)

$\dot m=\rho\pi D^2U_0/4$。上流・下流のエネルギー流量は $\dot mC_PT_m$、$\dot mC_P(T_m+dT_m)$ なので

$$\boxed{\dot mC_P\frac{dT_m}{dx}=h_w\pi D(T_w-T_m)}.$$

(3)

$C=\dot mC_P$、$N_w=h_w\pi DL/C$ とすると

$$\boxed{T_1=T_w-(T_w-T_0)e^{-N_w}},\qquad \boxed{Q=C(T_w-T_0)(1-e^{-N_w})}.$$

(4)

$$h_w=\frac{140(0.6)}{0.02}=4200, \qquad h_a=\frac{60(0.03)}{0.02}=90 \quad[\mathrm{W/(m^2K)}].$$

単位面積当たりの抵抗は

$$\frac1{h_a}=1.11\times10^{-2},\quad \frac t{\lambda_C}=5.0\times10^{-6},\quad \frac1{h_w}=2.38\times10^{-4}\quad[\mathrm{m^2K/W}].$$

空気側抵抗が支配的である。$U_\infty$ を上げると $h_a\propto U_\infty^{0.6}$ が増し、伝熱量の増加が大きい。$U_0$ の増加による水側抵抗の改善は、既に小さいため効果が小さい。

(5)

管壁抵抗を無視すると $T_a\simeq T_w$。全長での外側熱収支は $Q=h_a\pi DL(T_\infty-T_w)$ である。(3) と連立し、$F=1-e^{-h_w\pi DL/C}$ とおいて

$$\boxed{Q=\frac{CF(T_\infty-T_0)}{1+CF/(h_a\pi DL)}}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答