東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2016年8月実施 機械工学第1部 問題1 II

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• 换热器与热阻

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 1-2 に示すように，内径 $D$，肉厚 $t$，長さ $L$，熱伝導率 $\lambda_c$ の銅製の冷却管の中を密度 $\rho$，比熱 $C_p$，断面平均流速 $U_0$ の冷却水が流れており，冷却水の流速分布および温度分布は完全に発達している。一方，冷却管の外側には一様流速 $U_\infty$，一様温度 $T_\infty$ の高温の空気が冷却管と直交する方向に流れている。入口および出口における冷却水の混合平均温度をそれぞれ $T_0$ および $T_1$ とし，冷却管の内表面の温度 $T_w$，および外表面の温度 $T_a$ は場所により変化しない。冷却管の内側の熱伝達率 $h_w$，および外側の平均熱伝達率 $h_a$ も一定とする。輻射や重力の影響は考慮する必要はない。以下の設問に答えよ。

(1) 入口からの距離 $x$ の断面の混合平均温度を $T_m(x)$ とする。$x$ と微小な距離 $dx$ だけ離れた断面との間の単位時間当たりの伝熱量 $dQ$ を温度差，熱伝達率，熱伝導率など必要な量を用いて三通りに表せ。この伝熱を図 1-3 に示すような熱回路網モデルで表した場合，冷却管外側の熱抵抗 $dR_a$，冷却管の熱抵抗 $dR_c$，冷却管内側の熱抵抗 $dR_w$，および全体の熱抵抗 $dR$ を求めよ。ただし，肉厚 $t$ は内径 $D$ に比較して十分に薄いため，冷却管壁の内部（外表面と内表面との間）の温度分布は線形になるものと仮定し，冷却管外側の表面積は内側の表面積と同一とみなしてよい。

(2) 断面 $x$ の混合平均温度を $T_m(x)$，断面 $(x+dx)$ の混合平均温度を $(T_m(x)+dT_m(x))$ とする。この二つの断面と冷却管の内表面とで囲まれた検査体積をとり，熱の収支を考える。まず，上流側の断面 $x$ から単位時間当たり持ち込まれる内部エネルギーを求めよ。同様にして，下流側の断面 $(x+dx)$ から単位時間当たり持ち出される内部エネルギーを求めよ。これらの結果を用いて，熱バランスを表す関係式を導け。

(3) 設問 (2) で求めた関係式を冷却管入口から出口まで積分することにより，冷却管の出口における混合平均温度 $T_1$ を，入口の混合平均温度 $T_0$，冷却管の内表面の温度 $T_w$・熱伝達率 $h_w$，冷却水の密度 $\rho$，比熱 $C_p$，断面平均流速 $U_0$，および冷却管の内径 $D$，長さ $L$ を用いて表せ。また，この結果を用いて，単位時間当たりに高温空気から冷却水に受け渡される総伝熱量 $Q$ を求めよ。

(4) 冷却管の内径 $D$ を $20\,\mathrm{mm}$，肉厚 $t$ を $2\,\mathrm{mm}$，長さ $L$ を $1.0\,\mathrm m$ とし，冷却水の入口温度 $T_0$ を $20\,{}^\circ\mathrm C$，断面平均流速 $U_0$ を $1.0\,\mathrm{m/s}$ とする。また，高温空気の一様温度 $T_\infty$ を $80\,{}^\circ\mathrm C$，一様流速 $U_\infty$ を $10\,\mathrm{m/s}$ とする。この時，冷却管内表面のヌセルト数 $Nu_w$ は断面平均流速 $U_0$ の $0.8$ 乗に比例し，その値は $140$ であった。また，外表面のヌセルト数 $Nu_a$ は一様流速 $U_\infty$ の $0.6$ 乗に比例し，その値は $60$ であった。いずれのヌセルト数も冷却管の内径 $D$ を代表長さとしたものである。この条件において，設問 (1) で求めた各熱抵抗の中で支配的なものは何になるか述べよ。また，総伝熱量 $Q$ は冷却水の断面平均流速 $U_0$，および高温空気の一様流速 $U_\infty$ の変化に対してそれぞれどのように変化するかを論ぜよ。必要があれば表 1-1 に示す物性値（概略値）を用いよ。

(5) 設問 (4) の結果を用いて全体の熱抵抗を簡略化し，単位時間当たりに高温空気から冷却水に受け渡される総伝熱量 $Q$ を冷却水の入口の混合平均温度 $T_0$，高温空気の一様流速 $U_\infty$，一様温度 $T_\infty$，冷却水の密度 $\rho$，比熱 $C_p$，断面平均流速 $U_0$，冷却管の内径 $D$，肉厚 $t$，長さ $L$，冷却管内側の熱伝達率 $h_w$，外側の熱伝達率 $h_a$，および冷却管の熱伝導率 $\lambda_c$ の中から必要なものを用いて表せ。

表 1-1

材質	密度 (kg/m³)	比熱 (J/(kg K))	熱伝導率 (W/(m K))	動粘性係数 (m²/s)
冷却管	$9.0\times10^3$	$4.0\times10^2$	$4.0\times10^2$	—
冷却水	$1.0\times10^3$	$4.0\times10^3$	$0.6$	$1.0\times10^{-6}$
高温空気	$1.2$	$1.0\times10^3$	$0.03$	$2.0\times10^{-5}$

题目描述

图 1-2 中，铜冷却管内径 $D$、壁厚 $t$、长度 $L$、导热系数 $\lambda_c$。管内冷却水的密度为 $\rho$，比热为 $C_p$，截面平均流速为 $U_0$，速度和温度分布均已充分发展。管外温度均匀为 $T_\infty$、速度均匀为 $U_\infty$ 的高温空气沿垂直于管轴的方向流动。冷却水进出口混合平均温度分别为 $T_0,T_1$。管内、外表面温度 $T_w,T_a$ 均不随位置变化，内侧换热系数 $h_w$ 与外侧平均换热系数 $h_a$ 均恒定。不必考虑辐射和重力。

(1) 距入口 $x$ 处截面的混合平均温度为 $T_m(x)$。用温差、换热系数、导热系数等必要量，以三种方式表示长度为 $dx$ 微段的单位时间传热量 $dQ$。按图 1-3 的热阻网络模型，求管外热阻 $dR_a$、管壁热阻 $dR_c$、管内热阻 $dR_w$ 以及总热阻 $dR$。壁厚 $t$ 远小于内径 $D$，可假设管壁内温度呈线性分布，并将外表面积视为等于内表面积。

(2) 截面 $x$ 的混合平均温度为 $T_m(x)$，截面 $x+dx$ 为 $T_m(x)+dT_m(x)$。取两截面与管内壁围成的控制体，先分别求由上游截面流入、由下游截面流出的单位时间内能，再据此导出热平衡关系。

(3) 将 (2) 的关系从入口积分至出口，用 $T_0,T_w,h_w,\rho,C_p,U_0,D,L$ 表示出口混合平均温度 $T_1$，并据此求高温空气传给冷却水的单位时间总热量 $Q$。

(4) 取 $D=20\,\mathrm{mm}$、$t=2\,\mathrm{mm}$、$L=1.0\,\mathrm m$、$T_0=20\,{}^\circ\mathrm C$、$U_0=1.0\,\mathrm{m/s}$，以及 $T_\infty=80\,{}^\circ\mathrm C$、$U_\infty=10\,\mathrm{m/s}$。管内努塞尔数 $Nu_w$ 与 $U_0^{0.8}$ 成正比，此时为 $140$；管外努塞尔数 $Nu_a$ 与 $U_\infty^{0.6}$ 成正比，此时为 $60$。两者均以管内径 $D$ 为特征长度。说明 (1) 中哪些热阻占主导，并分别讨论 $Q$ 随 $U_0$、$U_\infty$ 的变化。如有需要可使用表 1-1 的近似物性值。

(5) 利用 (4) 的结果简化总热阻，从 $T_0,U_\infty,T_\infty,\rho,C_p,U_0,D,t,L,h_w,h_a,\lambda_c$ 中选取必要的量，表示由高温空气传向冷却水的单位时间总热量 $Q$。

表 1-1 的密度、比热、导热系数、运动黏度依次采用 kg/m³、J/(kg K)、W/(m K)、m²/s：

材料	密度	比热	导热系数	运动黏度
冷却管	$9.0\times10^3$	$4.0\times10^2$	$4.0\times10^2$	—
冷却水	$1.0\times10^3$	$4.0\times10^3$	$0.6$	$1.0\times10^{-6}$
高温空气	$1.2$	$1.0\times10^3$	$0.03$	$2.0\times10^{-5}$

Kai

(1)

$$\begin{gathered} dQ=h_a\pi Ddx(T_\infty-T_a)\\ =\frac{\lambda_C\pi Ddx}{t}(T_a-T_w)\\ =h_w\pi Ddx(T_w-T_m). \end{gathered}$$

$$\boxed{\begin{gathered} dR_a=\frac1{h_a\pi Ddx},\\ dR_C=\frac t{\lambda_C\pi Ddx},\\ dR_w=\frac1{h_w\pi Ddx},\\ dR=dR_a+dR_C+dR_w \end{gathered}}.$$

(2)

$\dot m=\rho\pi D^2U_0/4$。上流・下流のエネルギー流量は $\dot mC_PT_m$、$\dot mC_P(T_m+dT_m)$ なので

$$\boxed{\dot mC_P\frac{dT_m}{dx}=h_w\pi D(T_w-T_m)}.$$

(3)

$C=\dot mC_P$、$N_w=h_w\pi DL/C$ とすると

$$\begin{gathered} \boxed{T_1=T_w-(T_w-T_0)e^{-N_w}},\\ \boxed{Q=C(T_w-T_0)(1-e^{-N_w})}. \end{gathered}$$

(4)

$$\begin{gathered} h_w=\frac{140(0.6)}{0.02}=4200,\\ h_a=\frac{60(0.03)}{0.02}=90\\ [\mathrm{W/(m^2K)}]. \end{gathered}$$

単位面積当たりの抵抗は

$$\begin{gathered} \frac1{h_a}=1.11\times10^{-2},\\ \frac t{\lambda_C}=5.0\times10^{-6},\\ \frac1{h_w}=2.38\times10^{-4}\\ [\mathrm{m^2K/W}]. \end{gathered}$$

空気側抵抗が支配的である。$U_\infty$ を上げると $h_a\propto U_\infty^{0.6}$ が増し、伝熱量の増加が大きい。$U_0$ の増加による水側抵抗の改善は、既に小さいため効果が小さい。

(5)

管壁抵抗を無視すると $T_a\simeq T_w$。全長での外側熱収支は $Q=h_a\pi DL(T_\infty-T_w)$ である。(3) と連立し、$F=1-e^{-h_w\pi DL/C}$ とおいて

$$\boxed{Q=\frac{CF(T_\infty-T_0)}{1+CF/(h_a\pi DL)}}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答