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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2016年8月実施 機械工学第1部 問題1 I

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

以下の各設問に答えよ。

ここで，圧力 PP，比容積 vv，比熱比 κ\kappa，プランク定数 hh，光速 cc，ボルツマン定数 kBk_B とする。

(1) 内燃機関は様々な理論サイクルで表現される。図 1-1 のスケッチの理論サイクルのうち，理論上あり得ないものをすべて選び，その理由を述べよ。

図 1-1(a)(b) 理論サイクルのスケッチ

図 1-1(c)(d) 理論サイクルのスケッチ

(2) ヘリウムと酸素とのモル比 2:32:3 の混合ガスの等エントロピー過程について，Pvκ=一定Pv^\kappa=\text{一定}，κ=31/21\kappa=31/21 の関係が成り立つことを示せ。ただし，混合ガスは理想気体と考える。

(3) オットーサイクル（断熱圧縮，等容加熱，断熱膨張，等容冷却のサイクル）の理論熱効率を導き，圧縮比 ε\varepsilon と比熱比 κ\kappa で表わせ。また，比熱比が小さくなると理論熱効率も減少することを示せ。

(4) 熱放射のプランクの法則は，単位体積の空間内の電磁波（光子）の振動の分布から導ける。電磁波のエネルギーは，量子化されており，振動数 ν\nu であれば 0,hν,2hν,3hν,…0,h\nu,2h\nu,3h\nu,\ldots の値をとる。絶対温度 TT の系の場合に，エネルギーが EiE_i の光子の存在割合は e−Ei/(kBT)e^{-E_i/(k_BT)} に比例する（ボルツマン分布）として，系のエネルギーの平均値 E‾\overline E を求めよ。また，単位体積の空間に存在し，振動数が ν\nu から ν+dν\nu+d\nu の間にある電磁波の振動モードの数が

Nν∼ν+dν=8πν2c3 dνN_{\nu\sim\nu+d\nu}=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\,d\nu

で与えられることを用いて，振動数が ν\nu から ν+dν\nu+d\nu の間にある電磁波のエネルギー Dν∼ν+dνD_{\nu\sim\nu+d\nu} を求めよ。さらに，振動数 ν\nu を波長 λ\lambda に変換して，波長が λ\lambda から λ+dλ\lambda+d\lambda の間にある電磁波のエネルギー Dλ∼λ+dλD_{\lambda\sim\lambda+d\lambda} を求めよ。

题目描述​

回答以下问题。记压力为 PP、比容为 vv、比热比为 κ\kappa、普朗克常数为 hh、光速为 cc、玻尔兹曼常数为 kBk_B。

(1) 内燃机可用各种理论循环表示。从图 1-1 的理论循环草图中，选出所有理论上不可能的循环并说明原因。

(2) 对氦气与氧气摩尔比为 2:32:3 的混合气体，证明其等熵过程满足 Pvκ=常数Pv^\kappa=\text{常数}、κ=31/21\kappa=31/21。将混合气视为理想气体。

(3) 推导奥托循环（绝热压缩、等容加热、绝热膨胀、等容冷却）的理论热效率，用压缩比 ε\varepsilon 和比热比 κ\kappa 表示。并证明比热比减小时，理论热效率也减小。

(4) 普朗克热辐射定律可由单位体积空间内电磁波（光子）的振动分布导出。电磁波能量量子化，频率为 ν\nu 时可取 0,hν,2hν,3hν,…0,h\nu,2h\nu,3h\nu,\ldots。在绝对温度为 TT 的系统中，能量为 EiE_i 的光子的存在比例正比于 e−Ei/(kBT)e^{-E_i/(k_BT)}（玻尔兹曼分布）。求系统能量平均值 E‾\overline E。已知单位体积中频率位于 ν\nu 至 ν+dν\nu+d\nu 的电磁振动模式数为

Nν∼ν+dν=8πν2c3 dν,N_{\nu\sim\nu+d\nu}=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\,d\nu,

利用此式求该频段内的电磁波能量 Dν∼ν+dνD_{\nu\sim\nu+d\nu}。再将频率 ν\nu 换成波长 λ\lambda，求波长在 λ\lambda 至 λ+dλ\lambda+d\lambda 范围内的电磁波能量 Dλ∼λ+dλD_{\lambda\sim\lambda+d\lambda}。

Kai​

(1)​

成立しないものは (a),(c),(d)\boxed{(a),(c),(d)}。

(a) では同一点から出る等温線と断熱線の傾きの大小が逆である。理想気体では

∣dPdv∣s=κPv>∣dPdv∣T=Pv.\left|\frac{dP}{dv}\right|_s=\kappa\frac Pv> \left|\frac{dP}{dv}\right|_T=\frac Pv.

(c),(d) は異なる断熱線が同一の状態で交わっており、状態量であるエントロピーの一意性に反する。また、一つの吸熱過程と二つの断熱過程だけでは熱機関のサイクルは閉じない。

(2)​

混合気体1 mol 当たり、通常温度で

CV=2532R0+3552R0=2110R0,CP=CV+R0=3110R0,κ=3121.\begin{gathered} C_V=\frac25\frac32R_0+\frac35\frac52R_0=\frac{21}{10}R_0,\\ C_P=C_V+R_0=\frac{31}{10}R_0,\\ \boxed{\kappa=\frac{31}{21}}. \end{gathered}

CVdT+P dV=0C_VdT+P\,dV=0 と PV=R0TPV=R_0T より dP/P+κ dV/V=0dP/P+\kappa\,dV/V=0。積分すると Pvκ=const.\boxed{Pv^\kappa=\mathrm{const.}}。

(3)​

T2=T1εκ−1T_2=T_1\varepsilon^{\kappa-1}、T4=T3ε1−κT_4=T_3\varepsilon^{1-\kappa} なので

η=1−cv(T4−T1)cv(T3−T2)=1−ε1−κ.\boxed{\eta=1-\frac{c_v(T_4-T_1)}{c_v(T_3-T_2)}=1-\varepsilon^{1-\kappa}}.

ε>1\varepsilon>1 に対して ∂η/∂κ=ε1−κln⁡ε>0\partial\eta/\partial\kappa=\varepsilon^{1-\kappa}\ln\varepsilon>0。よって κ\kappa の減少は効率の減少をもたらす。

(4)​

z=e−hν/(kBT)z=e^{-h\nu/(k_BT)} とし、∑j=0∞zj=(1−z)−1\sum_{j=0}^\infty z^j=(1-z)^{-1} を微分して

E‾=hν∑jzj∑zj=hνehν/(kBT)−1.\boxed{\overline E=h\nu\frac{\sum jz^j}{\sum z^j} =\frac{h\nu}{e^{h\nu/(k_BT)}-1}}.

モード数を掛けると

Dν∼ν+dν=8πhν3c3dνehν/(kBT)−1.\boxed{D_{\nu\sim\nu+d\nu} =\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{d\nu}{e^{h\nu/(k_BT)}-1}}.

ν=c/λ\nu=c/\lambda、∣dν∣=c dλ/λ2|d\nu|=c\,d\lambda/\lambda^2 より

Dλ∼λ+dλ=8πhcλ5dλehc/(λkBT)−1.\boxed{D_{\lambda\sim\lambda+d\lambda} =\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{d\lambda}{e^{hc/(\lambda k_BT)}-1}}.

Reference​

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