東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2017年度 機械工学第1部 問題1 I

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• Photon-Gas-and-Stefan-Boltzmann-Law

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

圧力 $P$、比容積 $v$、比熱比 $\kappa$、プランク定数 $h$、光速 $c$、ボルツマン定数 $k_B$ を用い、次に答えよ。

1. 下図のサイクルから理論上成立しないものをすべて選び、理由を述べよ。図中の曲線は記された等温・断熱過程を表す。
2. ヘリウムと酸素をモル比 $2:3$ で混合した理想気体の等エントロピー関係が $Pv^\kappa=\mathrm{const.}$、$\kappa=31/21$ となることを示せ。
3. 圧縮比 $\varepsilon$ のオットーサイクルの効率を導き、$\kappa$ が小さいほど効率が低いことを示せ。
4. 振動数 $\nu$ の1振動モードのエネルギーが $0,h\nu,2h\nu,\ldots$、各準位の重みが $e^{-E_i/(k_BT)}$ に比例するとき、平均エネルギーを求めよ。単位体積のモード数 $8\pi\nu^2d\nu/c^3$ を用い、振動数および波長ごとの電磁波エネルギーを求めよ。

题目描述

判断示意循环能否成立；推导氦氧摩尔比 $2:3$ 混合气的等熵关系与比热比；推导奥托循环效率对比热比的依赖；再从量子化振动模式的玻尔兹曼权重导出频率形式和波长形式的普朗克能量密度。

Kai

(1)

成立しないものは $\boxed{(a),(c),(d)}$。

(a) では同一点から出る等温線と断熱線の傾きの大小が逆である。理想気体では

$$\left|\frac{dP}{dv}\right|_s=\kappa\frac Pv> \left|\frac{dP}{dv}\right|_T=\frac Pv.$$

(c),(d) は異なる断熱線が同一の状態で交わっており、状態量であるエントロピーの一意性に反する。また、一つの吸熱過程と二つの断熱過程だけでは熱機関のサイクルは閉じない。

(2)

混合気体1 mol 当たり、通常温度で

$$C_V=\frac25\frac32R_0+\frac35\frac52R_0=\frac{21}{10}R_0, \quad C_P=C_V+R_0=\frac{31}{10}R_0, \quad\boxed{\kappa=\frac{31}{21}}.$$

$C_VdT+P\,dV=0$ と $PV=R_0T$ より $dP/P+\kappa\,dV/V=0$。積分すると $\boxed{Pv^\kappa=\mathrm{const.}}$。

(3)

$T_2=T_1\varepsilon^{\kappa-1}$、$T_4=T_3\varepsilon^{1-\kappa}$ なので

$$\boxed{\eta=1-\frac{c_v(T_4-T_1)}{c_v(T_3-T_2)}=1-\varepsilon^{1-\kappa}}.$$

$\varepsilon>1$ に対して $\partial\eta/\partial\kappa=\varepsilon^{1-\kappa}\ln\varepsilon>0$。よって $\kappa$ の減少は効率の減少をもたらす。

(4)

$z=e^{-h\nu/(k_BT)}$ とし、$\sum_{j=0}^\infty z^j=(1-z)^{-1}$ を微分して

$$\boxed{\overline E=h\nu\frac{\sum jz^j}{\sum z^j} =\frac{h\nu}{e^{h\nu/(k_BT)}-1}}.$$

モード数を掛けると

$$\boxed{D_{\nu\sim\nu+d\nu} =\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{d\nu}{e^{h\nu/(k_BT)}-1}}.$$

$\nu=c/\lambda$、$|d\nu|=c\,d\lambda/\lambda^2$ より

$$\boxed{D_{\lambda\sim\lambda+d\lambda} =\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{d\lambda}{e^{hc/(\lambda k_BT)}-1}}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答