東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2016年8月実施 機械工学第2部 問題3

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• 东京大学
• 弦振动
• 梁的挠度
• 热变形协调条件
• 拉拔加工
• 压电效应

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

弦をはじいて鳴らす楽器を製作することを考える。図 3-1 に示すように，土台に固定された片持ちはりに炭素鋼の弦を張る。弦は，突起，および土台によって支持され，片持ちはりに対して平行である。また，楽器の三面図を図 3-2 に示す。片持ちはりは，長さ $L$，幅 $w$，厚み $t$ とし，片持ちはりの中心軸から弦の中心軸までの距離は $h$ とする。また，土台と突起は剛体とし，重力は無視できるものとする。工学的に妥当な近似や仮定を適宜用いながら，以下の設問に答えよ。

片持ちはりが剛体の場合について考える。

(1) 弦の 1 次モードの固有振動数を振動数 $f$ に調律したい。弦の直径が $d$，材料の体積密度が $\rho$ のとき，弦の張力 $T$ をいくらに調整すればよいか，$f,L,d,\rho$ を用いて表せ。ただし，弦を伝わる波の速さ $v$ は，以下の式で与えられる。

$$v=\sqrt{\frac{T}{\rho_0}}$$

ここで，$\rho_0$ は弦の線密度である。

次に，$f=1.1\times10^2\,\mathrm{Hz}$，$L=7.0\times10^2\,\mathrm{mm}$，$d=1.0\,\mathrm{mm}$，$\rho=8.0\,\mathrm{g/cm^3}$ のときの張力 $T$ を有効数字 2 桁で求めよ。

(2) 弦の固有振動数を調律するために，弦を巻き取って張力を調整する機構を，以下の 2 つの機能を満たすように考案せよ。

• 固有振動数の精密な調整が可能なこと
• 張力を維持できること

また，その機構によって機能が満たされる理由を説明せよ。

(3) 環境温度が $20\,{}^\circ\mathrm C$ のときに張力のない状態で長さが $7.0\times10^2\,\mathrm{mm}$ の弦は，環境温度が $30\,{}^\circ\mathrm C$ になったときどれだけ伸びるかを，有効数字 2 桁で答えよ。ただし，弦の線膨張係数は $1.0\times10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}$ とする。

(4) $20\,{}^\circ\mathrm C$ の環境で，弦の 1 次モードの固有振動数を $1.1\times10^2\,\mathrm{Hz}$ に調律した。環境温度が $30\,{}^\circ\mathrm C$ になったとき，固有振動数はいくらになるかを有効数字 2 桁で答えよ。ただし，弦の直径，体積密度，線膨張係数，ヤング率は，それぞれ $1.0\,\mathrm{mm}$，$8.0\,\mathrm{g/cm^3}$，$1.0\times10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}$，$2.0\times10^2\,\mathrm{GPa}$ とし，環境温度の変化による片持ちはりの膨張，収縮は無く，$L=7.0\times10^2\,\mathrm{mm}$ とする。

次に，片持ちはりが弾性体の場合について考える。環境温度は $20\,{}^\circ\mathrm C$ とする。

(5) 弦に張力が作用すると，片持ちはりがたわむ。弦の張力が $T$ のときのはりのたわみを $y$ とするとき，片持ちはりの曲げ剛性を，$T,h,L,y$ で表せ。ただし，$y$ は $L$ に比べて十分に小さいものとする。

(6) 設問 (5) の曲げ剛性を実現するために，片持ちはりの材料の持つヤング率 $E$ の条件を，$T,h,L,y,w,t$ で表せ。

(7) 設問 (1) で求めた張力で弦を張ったとき，図 3-3 のように片持ちはりがたわんだ。このときの，片持ちはりの先端から固定端までの直線距離 AO と，弦の長さ BC との差を，有効数字 2 桁で求めよ。ただし，$h=10\,\mathrm{mm}$，$L=7.0\times10^2\,\mathrm{mm}$，$w=30\,\mathrm{mm}$，$t=10\,\mathrm{mm}$，$E=60\,\mathrm{GPa}$ とする。

(8) 弦の張力による片持ちはりのたわみを抑える方法を 1 つ考案し，50 文字以内で記述せよ。

(9) 弦の振動を電気的な信号に変換することを考える。エレキギターでは，多くの場合，永久磁石の周りに電線を巻きつけたコイルを用いて，誘導電流を発生させることで，弦の振動を電気信号に変換している。弦の振動を電気信号に変換するこれ以外の方法を 1 つ考案し，50 文字以内で記述せよ。

(10) 炭素鋼の線材は，一般的に引抜き加工で製造される。引抜き加工の長所と短所を 1 つずつあげ，それぞれ 50 文字以内で記せ。

(11) 炭素鋼の引抜き加工に用いるダイスの材料として適当なものを 1 つあげよ。

(12) 引抜き加工を行うと，表面の残留応力が引張りになることが多い。線材の表面において，引張りの残留応力を緩和したり，圧縮の残留応力を与えたりする方法を 1 つあげよ。

题目描述

考虑制作拨弦发声的乐器。如图 3-1，在固定于底座的悬臂梁上张设碳钢弦。弦由凸起和底座支承，与悬臂梁平行，三视图见图 3-2。梁长 $L$、宽 $w$、厚 $t$，梁中心轴与弦中心轴相距 $h$。底座与凸起均视为刚体，忽略重力。可适当采用工程上合理的近似与假设。

先考虑悬臂梁为刚体的情况。

(1) 要将弦的一阶固有频率调至 $f$。若弦径为 $d$、材料体积密度为 $\rho$，用 $f,L,d,\rho$ 表示所需张力 $T$。弦中波速满足 $v=\sqrt{T/\rho_0}$，其中 $\rho_0$ 为线密度。再取 $f=1.1\times10^2\,\mathrm{Hz}$、$L=7.0\times10^2\,\mathrm{mm}$、$d=1.0\,\mathrm{mm}$、$\rho=8.0\,\mathrm{g/cm^3}$，计算张力，保留 2 位有效数字。

(2) 设计通过卷绕弦来调节张力的调音机构，必须同时能够精密调节固有频率和保持张力，并说明该机构满足两项功能的理由。

(3) 环境温度 $20\,{}^\circ\mathrm C$ 时，无张力弦长 $7.0\times10^2\,\mathrm{mm}$。升温至 $30\,{}^\circ\mathrm C$ 后伸长多少？保留 2 位有效数字。线膨胀系数为 $1.0\times10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}$。

(4) 在 $20\,{}^\circ\mathrm C$ 将一阶固有频率调至 $1.1\times10^2\,\mathrm{Hz}$。环境升至 $30\,{}^\circ\mathrm C$ 后，固有频率是多少？保留 2 位有效数字。弦径、体积密度、线膨胀系数、杨氏模量分别为 $1.0\,\mathrm{mm}$、$8.0\,\mathrm{g/cm^3}$、$1.0\times10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}$、$2.0\times10^2\,\mathrm{GPa}$；梁不随环境温度伸缩，$L=7.0\times10^2\,\mathrm{mm}$。

再考虑梁为弹性体，环境温度为 $20\,{}^\circ\mathrm C$。

(5) 张力使悬臂梁弯曲。弦张力为 $T$ 时梁的挠度为 $y$，用 $T,h,L,y$ 表示梁的弯曲刚度。$y$ 远小于 $L$。

(6) 为实现 (5) 的弯曲刚度，用 $T,h,L,y,w,t$ 表示梁材料杨氏模量 $E$ 的条件。

(7) 用 (1) 的张力张弦后，梁按图 3-3 弯曲。求梁端至固定端的直线距离 AO 与弦长 BC 之差，保留 2 位有效数字。取 $h=10\,\mathrm{mm}$、$L=7.0\times10^2\,\mathrm{mm}$、$w=30\,\mathrm{mm}$、$t=10\,\mathrm{mm}$、$E=60\,\mathrm{GPa}$。

(8) 提出一种抑制弦张力所致梁挠度的方法，限 50 字以内。

(9) 电吉他通常利用绕在永久磁铁上的线圈产生感应电流，将弦振动转成电信号。提出一种不同于该方法的弦振动转电信号方法，限 50 字以内。

(10) 碳钢线材通常通过拉拔加工制造。各列出一个拉拔加工的优点与缺点，每项限 50 字以内。

(11) 举出一种适合用于碳钢拉拔模具的材料。

(12) 拉拔加工后，表面残余应力常为拉应力。举出一种减小线材表面残余拉应力或赋予其残余压应力的方法。

Kai

(1)

両端固定弦の基本波長は $\lambda=2L$、線密度は $\rho_0=\rho\pi d^2/4$ である。したがって

$$f=\frac1{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho_0}},\qquad \boxed{T=\pi\rho d^2L^2f^2}.$$

SI単位で代入すると $T=149.012\ldots\,\mathrm N$ より

$$\boxed{T=1.5\times10^2\,\mathrm N}.$$

(2)

巻取り軸をウォーム減速機で回し、軸にねじ式クランプを設ける。減速比を大きくして微小な巻取り量を調整でき、調律後はクランプを締めて逆転を防止する。弦端は軸に固定する。

(3)

$$\boxed{\Delta L=\alpha L\Delta T =7.0\times10^{-2}\,\mathrm{mm}}.$$

(4)

断面積を $A=\pi d^2/4$、初期張力を $T_0$ とする。支持間隔が一定なので

$$\begin{gathered} 0=\frac{T-T_0}{E_sA}+\alpha\Delta T,\\ T=T_0-E_sA\alpha\Delta T=133.304\ldots\,\mathrm N. \end{gathered}$$

線密度の微小変化を無視すると

$$\begin{gathered} f_{30}=f_{20}\sqrt{\frac{T}{T_0}} =104.0408\ldots\,\mathrm{Hz}\\ \Longrightarrow\\ \boxed{f_{30}=1.0\times10^2\,\mathrm{Hz}}. \end{gathered}$$

(5)

微小変形とし、軸力による曲げの二次効果を無視する。はりにはほぼ一定の曲げモーメント $M=Th$ が働く。$EIy''=Th$ を固定端の境界条件で積分すると、先端で

$$y=\frac{ThL^2}{2EI}.$$

よって

$$\boxed{EI=\frac{ThL^2}{2y}}.$$

(6)

$$\begin{gathered} I=\frac{wt^3}{12},\\ \boxed{E=\frac{6ThL^2}{ywt^3}}. \end{gathered}$$

(7)

中心軸の曲率半径を $R=EI/(Th)$、中心角を $\theta=L/R$ とする。弦は中心軸より曲率中心側に距離 $h$ だけ離れているので

$$\begin{gathered} AO=2R\sin\frac\theta2,\\ BC=2(R-h)\sin\frac\theta2. \end{gathered}$$

したがって

$$AO-BC=2h\sin\frac\theta2 \simeq\frac{hL}{R} =\frac{Th^2L}{EI}.$$

$EI=150\,\mathrm{N\,m^2}$、$T=149.012\ldots\,\mathrm N$ を代入して

$$\boxed{AO-BC=7.0\times10^{-2}\,\mathrm{mm}}.$$

(8)

はりの厚さを増して断面二次モーメントを大きくする。

(9)

弦を支持する突起に圧電素子を取り付け、振動力を電圧に変換する。

(10)

長所：切りくずを出さず、寸法精度と表面性状の良い細線を連続製造できる。

短所：加工硬化で延性が低下し、大きな減面には中間焼鈍が必要になる。

(11)

超硬合金（WC–Co）。

(12)

ショットピーニングにより表面に圧縮残留応力を与える。

Reference

• 原問題（平成29年度、PDF 11–14ページ）