東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2016年8月実施 機械工学第2部 問題 1

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• 东京大学
• 应力变换与主应力
• 薄壁压力容器
• 扭转

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の I，II の両方について解答せよ。I の解答に答案用紙 1 枚を，II の解答に答案用紙 1 枚をそれぞれ用いること。

I

固体の基板上に固体の薄膜を成膜する際，その内部に応力が生じて基板と薄膜が変形することを考える。基板と薄膜は等方弾性体であり，平面応力条件が適用できるほど十分に薄い。また，$x$ と $y$ 軸方向の垂直応力 $\sigma_x,\sigma_y$ 及び垂直ひずみ $\varepsilon_x,\varepsilon_y$ には，等二軸状態（$\sigma_x=\sigma_y=\sigma$ 及び $\varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon$）が成り立つ。基板の長さは $L$，幅は $W$ であり，基板と薄膜のヤング率，ポアソン比，厚さをそれぞれ $E_s,\nu_s,t_s,E_f,\nu_f,t_f$ とする。

(1) 図 1-1 に示すように，垂直応力 $\sigma_x,\sigma_y$ の下にある基板において，等二軸状態が成り立つ時，応力 $\sigma$ とひずみ $\varepsilon$ の関係を求めよ。

(2) 外部からの応力が負荷されていない基板に薄膜を成膜する。成膜により，薄膜の内部には等二軸の圧縮応力が生じて基板と薄膜は図 1-2 に示すように変形し，その曲率半径は $R$，中心角は $\theta$ となった。その時の応力分布と曲げモーメントを図 1-3 に示す。ただし，$t_f$ は $t_s$ に比べて無視できるほど小さいため，中立面は基板の中央の位置にあり，薄膜中の応力 $\sigma_f$ は，膜厚方向に一定と仮定する。

1. 中立面から $z_1$ だけ離れた面における基板のひずみ $\varepsilon_1$ を，曲率半径 $R$ と距離 $z_1$ を用いて表せ。

2. 中立面に対して，薄膜の応力 $\sigma_f$ により生じる単位幅あたりの曲げモーメント $M_f$ と，図 1-3 に示すように分布する基板の応力 $\sigma_s$ により生じる単位幅あたりの曲げモーメント $M_s$ を考える。$M_f$ と $M_s$ を $E_s,\nu_s,t_s,E_f,\nu_f,t_f,W,R,\sigma_f$ の中で必要なものを用いて表せ。

3. 平衡状態では $M_f$ と $M_s$ は等しいことを用いて薄膜の応力 $\sigma_f$ を求めよ。

II

図 1-4 のような，8 分割され，接着された薄肉円筒（内半径 $r$，厚さ $h$，長さ $L$）の構造物を考える。構造物の上下はふたで接着され，密閉されている。材料は，引張り強さ $\sigma_b$，ヤング率 $E$，ポアソン比 $\nu$ の脆性材料である。接着層は十分に薄く，接着層の引張り強度を $\sigma_{\mathrm{tensile}}$，せん断強度を $\sigma_{\mathrm{shear}}$ とする。ふたの部分は十分な補強がされており，ふた周辺では壊れないものとする。

(1) 図 1-5 のように構造物に引張力 $F$ を負荷する。構造物の破壊が生じる条件を求めよ。

(2) 構造物内に内圧 $P$ がかかる場合を考える。構造物の破壊が生じる条件を求めよ。

(3) 図 1-6 のように構造物をねじりモーメント $T$ でねじる場合を考える。構造物の破壊が生じる条件を求めよ。

(4) ここで，$r=100\,\mathrm{mm}$，$h=5\,\mathrm{mm}$，$L=200\,\mathrm{mm}$，$E=20\,\mathrm{GPa}$，$\nu=0.3$ とし，$\sigma_b=2\sigma_{\mathrm{tensile}}=2\sigma_{\mathrm{shear}}=200\,\mathrm{MPa}$ とする。設問 (1)～(3) の場合において，構造物がどのように壊れるのかをそれぞれ説明せよ。必要に応じて，図を描け。

题目描述

回答 I、II 两部分，各使用一张答题纸。

I

在固体基板上制备固体薄膜时，内部产生应力，使基板和薄膜发生变形。两者均为各向同性弹性体，且足够薄，可适用平面应力条件。$x,y$ 方向的正应力 $\sigma_x,\sigma_y$ 与正应变 $\varepsilon_x,\varepsilon_y$ 满足等双轴状态，即 $\sigma_x=\sigma_y=\sigma$，$\varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon$。基板长 $L$、宽 $W$；基板的杨氏模量、泊松比、厚度为 $E_s,\nu_s,t_s$，薄膜对应为 $E_f,\nu_f,t_f$。

(1) 对图 1-1 中受正应力 $\sigma_x,\sigma_y$ 的基板，在等双轴状态下求应力 $\sigma$ 与应变 $\varepsilon$ 的关系。

(2) 在未施加外部应力的基板上成膜。薄膜内产生等双轴压应力，基板和薄膜按图 1-2 变形，曲率半径为 $R$，圆心角为 $\theta$。应力分布和弯矩如图 1-3。因 $t_f$ 相对 $t_s$ 小到可以忽略，假设中性面位于基板厚度中央，薄膜应力 $\sigma_f$ 沿厚度均匀。

1. 用曲率半径 $R$ 和距离 $z_1$ 表示距中性面 $z_1$ 处基板的应变 $\varepsilon_1$。

2. 考虑薄膜应力 $\sigma_f$ 对中性面产生的单位宽度弯矩 $M_f$，以及图 1-3 中基板应力 $\sigma_s$ 产生的单位宽度弯矩 $M_s$。从 $E_s,\nu_s,t_s,E_f,\nu_f,t_f,W,R,\sigma_f$ 中选取必要量，表示 $M_f,M_s$。

3. 利用平衡时 $M_f=M_s$，求薄膜应力 $\sigma_f$。

II

考虑图 1-4 所示由八等分薄壁圆筒接合而成的结构，内半径 $r$、厚度 $h$、长度 $L$。上下端通过粘接端盖密封。材料为脆性材料，抗拉强度 $\sigma_b$、杨氏模量 $E$、泊松比 $\nu$。胶层足够薄，其抗拉强度为 $\sigma_{\mathrm{tensile}}$，抗剪强度为 $\sigma_{\mathrm{shear}}$。端盖经过充分加固，端盖周围不发生破坏。

(1) 按图 1-5 施加拉力 $F$，求结构发生破坏的条件。

(2) 结构内施加内压 $P$，求发生破坏的条件。

(3) 按图 1-6 施加扭矩 $T$，求发生破坏的条件。

(4) 取 $r=100\,\mathrm{mm}$、$h=5\,\mathrm{mm}$、$L=200\,\mathrm{mm}$、$E=20\,\mathrm{GPa}$、$\nu=0.3$，且 $\sigma_b=2\sigma_{\mathrm{tensile}}=2\sigma_{\mathrm{shear}}=200\,\mathrm{MPa}$。分别说明 (1)～(3) 中结构如何破坏；必要时画图。

Kai

I

(1)

平面応力のフックの法則より

$$\boxed{\varepsilon=\frac{1-\nu_s}{E_s}\sigma}.$$

(2)

平面保持から $\boxed{\varepsilon_1=z_1/R}$。薄膜の圧縮応力の大きさを $s_f=-\sigma_f>0$ とすると

$$\begin{gathered} M_f\simeq s_ft_f\frac{t_s}{2},\\ M_s=\int_{-t_s/2}^{t_s/2}\frac{E_sz_1}{(1-\nu_s)R}z_1\,dz_1 =\frac{E_st_s^3}{12(1-\nu_s)R}. \end{gathered}$$

両モーメントのつり合いより

$$\begin{gathered} \boxed{s_f=\frac{E_st_s^2}{6(1-\nu_s)t_fR}},\\ \boxed{\sigma_f=-\frac{E_st_s^2}{6(1-\nu_s)t_fR}}\\ \text{（引張り正）}. \end{gathered}$$

II

(1)

$\sigma_z=F/(2\pi rh)$。軸方向の接着面に垂直な引張りやせん断は生じないため、母材の引張破壊条件は

$$\boxed{F\ge2\pi rh\sigma_b}.$$

(2)

$\sigma_\theta=Pr/h$、$\sigma_z=Pr/(2h)$。最大主応力も、軸方向接着面の開口応力も $Pr/h$ である。したがって

$$\boxed{P\ge\frac{h}{r}\min(\sigma_b,\sigma_{\mathrm{tensile}})}.$$

(3)

薄肉閉断面のねじりせん断応力は $\tau=T/(2\pi r^2h)$。母材の最大主応力は $|\tau|$、接着面のせん断応力も $|\tau|$ なので

$$\boxed{|T|\ge2\pi r^2h\min(\sigma_b,\sigma_{\mathrm{shear}})}.$$

(4)

各限界荷重と破壊形態は次のとおり。

荷重	限界値	破壊形態
軸力	$F_c=6.28\times10^5\,\mathrm N$	母材が軸に垂直な断面で引張破断
内圧	$P_c=5.00\,\mathrm{MPa}$	軸方向の接着継手が開口して分離
ねじり	$T_c=3.14\times10^4\,\mathrm{N\,m}$	軸方向の接着継手がせん断破壊

Reference

• 東京大学 公式問題（2017年度、第2部）
• SN：H29-I 材料力学
• SN：H29-II 材料力学