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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2017年度 機械工学第2部 問題 1

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

I​

等方弾性の基板に薄膜を成膜すると、薄膜に等二軸圧縮応力が生じ、基板とともに曲がる。平面応力状態とし、σx=σy=σ\sigma_x=\sigma_y=\sigma、εx=εy=ε\varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon が成立する。基板の長さ・幅は L,WL,W、基板の定数は Es,νs,tsE_s,\nu_s,t_s、薄膜の定数は Ef,νf,tfE_f,\nu_f,t_f。

  1. 等二軸状態での基板の応力とひずみの関係を求めよ。
  2. tf≪tst_f\ll t_s とし、中立面は基板中央、薄膜応力は膜厚方向に一様とする。曲率半径を RR とし、(i) 中立面から z1z_1 離れた面の曲げひずみ、(ii) 薄膜と基板による単位幅あたりの曲げモーメント、(iii) 薄膜応力を求めよ。z1z_1 は外周側を正とする。

II​

内半径 rr、厚さ h≪rh\ll r、長さ LL の薄肉円筒を周方向に8分割し、軸方向の接着継手で再接合する。上下のふたは十分補強され、その周辺では破壊しない。母材は引張強さ σb\sigma_b、ヤング率 EE、ポアソン比 ν\nu の脆性材料。薄い接着層の引張強さは σtensile\sigma_{\mathrm{tensile}}、せん断強度は σshear\sigma_{\mathrm{shear}} とする。

  1. 軸方向引張力 FF による破壊条件を求めよ。
  2. 内圧 PP による破壊条件を求めよ。
  3. ねじりモーメント TT による破壊条件を求めよ。
  4. r=100 mm,h=5 mm,L=200 mm,E=20 GPa,ν=0.3r=100\,\mathrm{mm},h=5\,\mathrm{mm},L=200\,\mathrm{mm},E=20\,\mathrm{GPa},\nu=0.3、σb=2σtensile=2σshear=200 MPa\sigma_b=2\sigma_{\mathrm{tensile}}=2\sigma_{\mathrm{shear}}=200\,\mathrm{MPa} のとき、各荷重での破壊の様子を説明せよ。

構造・座標の模式図

题目描述​

I：各向同性基板上生长薄膜，产生等双轴压应力并弯曲。在平面应力、薄膜远薄于基板的条件下，求等双轴本构关系、弯曲应变、单位宽度弯矩和薄膜应力（Stoney 关系）。

II：薄壁圆筒沿周向分成8片，再沿轴向接缝粘合，两端盖充分加强。已知母材抗拉强度与胶层抗拉、抗剪强度，分别求轴向拉力、内压和扭矩下的破坏条件，并按给定数值判断破坏部位与荷载。

Kai​

I​

(1) 平面応力のフックの法則より

ε=1−νsEsσ.\boxed{\varepsilon=\frac{1-\nu_s}{E_s}\sigma}.

(2) 平面保持から ε1=z1/R\boxed{\varepsilon_1=z_1/R}。薄膜の圧縮応力の大きさを sf=−σf>0s_f=-\sigma_f>0 とすると

Mf≃sftfts2,Ms=∫−ts/2ts/2Esz1(1−νs)Rz1 dz1=Ests312(1−νs)R.M_f\simeq s_ft_f\frac{t_s}{2},\qquad M_s=\int_{-t_s/2}^{t_s/2}\frac{E_sz_1}{(1-\nu_s)R}z_1\,dz_1 =\frac{E_st_s^3}{12(1-\nu_s)R}.

両モーメントのつり合いより

sf=Ests26(1−νs)tfR,σf=−Ests26(1−νs)tfR（引張り正）.\boxed{s_f=\frac{E_st_s^2}{6(1-\nu_s)t_fR}},\qquad \boxed{\sigma_f=-\frac{E_st_s^2}{6(1-\nu_s)t_fR}}\quad\text{（引張り正）}.

II​

(1) σz=F/(2πrh)\sigma_z=F/(2\pi rh)。軸方向の接着面に垂直な引張りやせん断は生じないため、母材の引張破壊条件は

F≥2πrhσb.\boxed{F\ge2\pi rh\sigma_b}.

(2) σθ=Pr/h\sigma_\theta=Pr/h、σz=Pr/(2h)\sigma_z=Pr/(2h)。最大主応力も、軸方向接着面の開口応力も Pr/hPr/h である。したがって

P≥hrmin⁡(σb,σtensile).\boxed{P\ge\frac{h}{r}\min(\sigma_b,\sigma_{\mathrm{tensile}})}.

(3) 薄肉閉断面のねじりせん断応力は τ=T/(2πr2h)\tau=T/(2\pi r^2h)。母材の最大主応力は ∣τ∣|\tau|、接着面のせん断応力も ∣τ∣|\tau| なので

∣T∣≥2πr2hmin⁡(σb,σshear).\boxed{|T|\ge2\pi r^2h\min(\sigma_b,\sigma_{\mathrm{shear}})}.

(4) 各限界荷重と破壊形態は次のとおり。

荷重限界値破壊形態
軸力Fc=6.28×105 NF_c=6.28\times10^5\,\mathrm N母材が軸に垂直な断面で引張破断
内圧Pc=5.00 MPaP_c=5.00\,\mathrm{MPa}軸方向の接着継手が開口して分離
ねじりTc=3.14×104 N mT_c=3.14\times10^4\,\mathrm{N\,m}軸方向の接着継手がせん断破壊

Reference​

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